2024高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3直线平面垂直的判定及其性质第2课时平面与平面垂直的判定课下能力提升含解析新人教A版必修2

PAGEPAGE7课下实力提升(十三)[学业水平达标练]题组1二面角1．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定2．(2024·泸州高一检测)从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A1的平面角等于________．题组2平面与平面垂直的判定定理4．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．多数个D．1个或多数个5．(2024·淮南高一检测)对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β6．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC7．假如直线l，m与平面α，β，γ满意：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥mB．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥mD．α∥β且α⊥γ8.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.题组3线面、面面垂直的综合问题9．在四面体ABCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：平面ABD⊥平面BCD.10．如图所示，在三棱锥A­BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD.(1)求证：平面ABD⊥平面ACD；(2)若AB＝2BD，求二面角A­DC­B的正弦值．[实力提升综合练]1．(2024·温州高一检测)如图，在立体图形D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDEC．平面ABD⊥平面BDCD．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE2．如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中相互垂直的平面共有()A．1对B．2对C．3对D．4对3．(2024·长沙高一检测)如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为()A．60°B．30°C．45°D．15°4．(2024·福州高一检测)若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝eq\r(6)，那么二面角P­BC­A的大小为________．5．(2024·泰安高一检测)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________.6．如图，已知三棱锥P­ABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.求证：(1)PA⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面ABC.7．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.答案[学业水平达标练]题组1二面角1．解析：选C若方向相同则相等，若方向相反则互补．2．解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.3．解析：依据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，依据二面角平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A­BC­A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.答案：45°题组2平面与平面垂直的判定定理4．解析：选D当两点连线与平面α垂直时，可作多数个垂面，否则，只有1个．5．解析：选C∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.6．解析：选D∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.7．解析：选AB错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．8.证明：连接AC，交BD于点F，连接EF，则EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF⊂平面EDB.∴平面EDB⊥平面ABCD.题组3线面、面面垂直的综合问题9．证明：如图所示，∵△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，∴取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.∴∠AEC为二面角A­BD­C的平面角．在△ABD中，AB＝a，BE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，AE＝eq\r(AB2­BE2)＝eq\f(\r(2),2)a.同理CE＝eq\f(\r(2),2)a.在△AEC中，AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a，AC＝a，由于AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，∴平面ABD⊥平面BCD.10．解：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又BD⊥CD且BD∩AB＝B.∴CD⊥平面ABD.又CD⊂平面ACD.∴平面ABD⊥平面ACD.(2)由(1)知∠ADB为二面角A­DC­B的平面角．在Rt△ABD中，AB＝2BD，∴AD＝eq\r(AB2＋BD2)＝eq\r(5)BD，∴sin∠ADB＝eq\f(AB,AD)＝eq\f(2\r(5),5).即二面角A­DC­B的正弦值为eq\f(2\r(5),5).[实力提升综合练]1．解析：选B由条件得AC⊥DE，AC⊥BE，又DE∩BE＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ADC，AC⊂平面ABC.∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE，故选B.2．解析：选C因为AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABC和AB⊂平面ABD，所以平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又因为BC⊥CD，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC.因为CD⊂平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD.故图中相互垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.3．解析：选C由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC.又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC，得∠PCA＝45°.4．解析：取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P­BC­A的平面角，OP＝OA＝eq\r(3)，PA＝eq\r(6)，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°5．解析：因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B­AD­C的平面角，因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°.因为AB＝AC＝1，所以BD＝DC＝eq\f(\r(2),2)，则BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝1.答案：16．证明：(1)因为△PDB是正三角形，所以∠BPD＝60°，因为D是AB的中点，所以AD＝BD＝PD，又∠ADP＝120°，所以∠DPA＝30°，所以∠DPA＋∠BPD＝90°，所以PA⊥PB，又PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC.(2)因为PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC，因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，因为BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.7．证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.∵AB＝eq\f(1,2)A