2024年秋九年级数学上册第4章锐角三角函数练习题新版湘教版

PAGEPAGE1第4章锐角三角函数本章中考演练1．2024·天津cos60°的值为()A.eq\r(3)B．1C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)2．2024·怀化在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(4,5)，AC＝6cm，则BC的长为()A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm3．2024·永州下列式子错误的是()A．cos40°＝sin50°B．tan15°·tan75°＝1C．sin225°＋cos225°＝1D．sin60°＝2sin30°4．2024·怀化如图4－Y－1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sinα的值是()A.eq\f(3,5)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(4,3)5．2024·长沙模拟已知sinα＝eq\f(\r(3),2)，则锐角α的度数是()A．30°B．37°C．45°D．60°图4－Y－1图4－Y－26．2024·益阳如图4－Y－2，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(点A，D，B在同一条直线上)()A.eq\f(h,sinα)B.eq\f(h,cosα)C.eq\f(h,tanα)D．h·cosα图4－Y－37．2024·重庆如图4－Y－3，小王在长江边某眺望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)()A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米8．2024·娄底如图4－Y－4，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自点B向点C运动(点D与点B，C不重合)，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，则BE＋CF的值()图4－Y－4A．不变B．渐渐增大C．渐渐减小D．先变大再变小9．2024·湘潭计算：cos60°＝________．10．2024·株洲模拟在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C∶∠B＝1∶2，则sinB＝________．11．2024·祁阳二模在正方形网格中，∠AOB如图4－Y－5放置，则cos∠AOB的值为________．图4－Y－5图4－Y－612．2024·邵阳如图4－Y－6所示，运载火箭从地面L处垂直向上放射，当火箭到达点A时，在位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°.n秒后，火箭到达点B，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是________km.13．2024·舟山如图4－Y－7，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝eq\f(1,3)，tan∠BA3C＝eq\f(1,7)，tan∠BA4C＝________…，按此规律，写出tan∠BAnC＝________(用含n的代数式表示)．图4－Y－714．2024·衡阳衡阳市城市标记来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内．如图4－Y－8(示意图)，为了测量来雁塔的高度，在E处用高为1.5米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10.4米，又测得塔顶C的仰角为60°.求来雁塔的高度．(结果精确到0.1米)图4－Y－815．2024·郴州小宇在学习了解直角三角形的学问后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法．如图4－Y－9，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房之间的距离为9米．请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．(结果保留整数，参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)图4－Y－916．2024·湘潭某游乐场部分平面图如图4－Y－10所示，点C，E，A在同始终线上，点D，E，B在同始终线上，测得A处与E处的距离为80米，C处与D处的距离为34米，∠C＝90°，∠ABE＝90°，∠BAE＝30°.(参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)(1)求旋转木马E处到出口B处的距离；(2)求海洋球D处到出口B处的距离(结果保留整数)．图4－Y－1017．2024·福建小明在某次作业中得到如下结果：sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.9945，sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.0018，sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.0000，sin245°＋sin245°＝(eq\f(\r(2),2))2＋(eq\f(\r(2),2))2＝1.据此，小明猜想：对于随意锐角α，均有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.(1)当α＝30°时，验证sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立．(2)小明的猜想是否成立？若成立，请赐予证明；若不成立，请举出一个反例．

详解详析1．D2．C[解析]在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sinA＝eq\f(4,5)，∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,5).设BC＝4k，AB＝5k(k＞0)，由勾股定理，得AC＝3k.又∵AC＝6cm，∴k＝2，∴BC＝8cm.3．D[解析]依据sinA＝cos(90°－∠A)知选项A正确；依据tanA·tan(90°－∠A)＝1知选项B正确；依据sin2A＋cos2A＝1知选项C正确；sin60°＝eq\f(\r(3),2)，2sin30°＝2×eq\f(1,2)＝1，所以sin60°≠2sin30°，故选项D错误．4．C[解析]过点A作AB⊥x轴于点B，如图．∵点A的坐标为(3，4)，∴OB＝3，AB＝4，∴OA＝eq\r(32＋42)＝5.在Rt△AOB中，sinα＝eq\f(AB,OA)＝eq\f(4,5).故选C.5．D6．B[解析]∵CD⊥AB，AC⊥BC，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD.在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝eq\f(CD,BC)，∴BC＝eq\f(CD,cos∠BCD)＝eq\f(h,cosα).故选B.7．A[解析]如图，延长DE交AB的延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE＝PQ＝2，CQ＝PE.∵i＝eq\f(CQ,BQ)＝eq\f(1,0.75)＝eq\f(4,3)，∴设CQ＝4x，BQ＝3x(x＞0)，由CQ2＋BQ2＝BC2可得(4x)2＋(3x)2＝102，解得x＝2(负值舍去)，则CQ＝PE＝8，BQ＝6，∴DP＝DE＋PE＝11.∵tanA＝eq\f(DP,AP)，∴AP＝eq\f(DP,tanA)＝eq\f(11,tan40°)≈13.1，∴AB＝AP－BQ－PQ＝13.1－6－2＝5.1(米)．故选A.8．C[解析]∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，∴CF∥BE，∴∠DCF＝∠DBE.设∠DCF＝∠DBE＝α，∴CF＝DC·cosα，BE＝DB·cosα，∴BE＋CF＝(DB＋DC)cosα＝BC·cosα.∵∠ABC＝90°，∴0°＜α＜90°.当点D从点B向点C运动时，α是渐渐增大的，∴cosα的值是渐渐减小的，∴BE＋CF＝BC·cosα的值是渐渐减小的．故选C.9.eq\f(1,2)10.eq\f(\r(3),2)11.eq\f(\r(2),2)[解析]如图，C为OB边上的格点，连接AC，依据勾股定理，得AO＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，AC＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，OC＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，所以AO2＝AC2＋OC2＝20，所以△AOC是直角三角形，且∠AOC＝90°，所以cos∠AOB＝eq\f(OC,AO)＝eq\f(\r(10),2\r(5))＝eq\f(\r(2),2).12．(20eq\r(3)－20)[解析]在Rt△ARL中，∵∠ARL＝30°，∴LR＝AR·cos30°＝40×eq\f(\r(3),2)＝20eq\r(3)(km)，AL＝AR·sin30°＝40×eq\f(1,2)＝20(km)．在Rt△BLR中，∵∠BRL＝45°，∴RL＝LB＝20eq\r(3)km，∴AB＝LB－AL＝(20eq\r(3)－20)km.故答案为(20eq\r(3)－20)．13.eq\f(1,13)eq\f(1,n2－n＋1)[解析]过点C作CH⊥BA4于点H，由勾股定理得，BA4＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17)，A4C＝eq\r(10)，△BA4C的面积＝1×4－eq\f(1,2)×1×4－eq\f(1,2)×1×3＝4－2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)×eq\r(17)×CH＝eq\f(1,2)，解得CH＝eq\f(\r(17),17)，则A4H＝eq\r(A4C2－CH2)＝eq\f(13\r(17),17)，∴tan∠BA4C＝eq\f(CH,A4H)＝eq\f(1,13).∵1＝12－1＋1，3＝22－2＋1，7＝32－3＋1，…，∴tan∠BAnC＝eq\f(1,n2－n＋1).14．解：由题意∠CAB＝30°，∠CBD＝60°.∵∠CBD＝∠CAB＋∠ACB，∴∠ACB＝∠CAB＝30°，∴AB＝BC＝10.4米．在Rt△CBD中，CD＝BC·sin60°＝10.4×eq\f(\r(3),2)≈9.01(米)，9．01＋1.5≈10.5(米)．答：来雁塔的高度约为10.5米．15．解：由题意可知CD＝9米．在Rt△ADC中，∵tan30°＝eq\f(AD,CD)，∴AD＝CD·tan30°＝9×eq\f(\r(3),3)＝3eq\r(3)(米)．在Rt△CDB中，∵tan45°＝eq\f(BD,CD)＝1，∴BD＝CD＝9米，∴AB＝AD＋BD＝3eq\r(3)＋9≈14(米)．答：楼房AB的高度约为14米．16．解：(1)∵在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，∴BE＝eq\f(1,2)AE＝eq\f(1,2)×80＝40(米)．(2)∵在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，∴∠AEB＝90°－30°＝60°，∴∠CED＝∠AEB＝60°，∴在Rt△CDE中，DE＝eq\f(CD,sin∠CED)＝eq\f(34,\f(\r(3),2))≈40(米)，则BD＝DE＋BE≈40＋40＝80(米)．1