2024高考高考数学二轮复习第一部分提纲挈领引领三解题有法-领悟四种数学思想巧突破学案理

PAGEPAGE1引领三解题有法——领悟四种数学思想巧突破高考数学以实力立意，一是考查数学的基础学问，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度。数学思想方法是指从数学的角度来相识、处理和解决问题，是数学意识，数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类整合思想、转化与化归思想eq\o(。,\s\do4())一、函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所探讨对象的非数学特征，用联系和改变的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，依据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行探讨，以求得问题的解决函数与方程思想在肯定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的。函数思想重在对问题进行动态的探讨，方程思想则是在动中求静，探讨运动中的等量关系【例1】(1)已知f(x)＝log2x，x∈[2,16]，对于函数f(x)值域内的随意实数m，使x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为()A．(－∞，－2]B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增。若实数a满意f(2|a－1|)>f(－eq\r(2))，则a的取值范围是________。【解析】(1)因为x∈[2,16]，所以f(x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]。不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2>0对m∈[1,4]恒成立。设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1>0，,g4>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＋x－22>0，,4x－2＋x－22>0，))解得x<－2或x>2。(2)由f(x)是偶函数且f(x)在区间(－∞，0)上单调递增可知，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减。又因为f(2|a－1|)>f(－eq\r(2))，而f(－eq\r(2))＝f(eq\r(2))，所以2|a－1|<eq\r(2)，即|a－1|<eq\f(1,2)，解得eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2)。【答案】(1)D(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))函数与方程思想在不等式问题中的应用要点(1)在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用函数的值域解决问题。(2)要留意在一个含多个变量的数学问题中，须要进行常变量分别，确定主要变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数。【变式训练1】定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满意f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式eq\f(fx,ex)<1的解集为()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)解析构造函数g(x)＝eq\f(fx,ex)，则g′(x)＝eq\f(ex·f′x－ex·fx,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)。由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝eq\f(fx,ex)在R上单调递减。又因为g(0)＝eq\f(f0,e0)＝1，所以eq\f(fx,ex)<1，即g(x)<g(0)，所以x>0，所以不等式的解集为(0，＋∞)。故选B。答案B二、数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，以数作为目的解决数学问题的数学思想借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，以形作为目的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使困难问题简洁化，抽象问题详细化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与敏捷性的有机结合【例2】已知直线(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0所过定点恰好落在函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax，0<x≤3，,|x－4|，x>3))的图象上，若函数h(x)＝f(x)－mx＋2有三个不同的零点，则实数m的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．(1，＋∞)【解析】由(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0，得(x＋y－4)－m(x－3y)＝0，所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,x－3y＝0，))可得直线过定点(3,1)，所以loga3＝1，所以a＝3。令f(x)－mx＋2＝0，得f(x)＝mx－2，在同一坐标系中作出y1＝f(x)与y2＝mx－2的图象(如图所示)，易得eq\f(1,2)<m<1。【答案】B(1)本题利用了数形结合思想，把函数h(x)＝f(x)－mx＋2有三个不同的零点转化为函数y1＝f(x)与y2＝mx－2的图象有三个不同的交点。(2)利用数形结合探究方程解的问题应留意两点①探讨方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为探讨两图象的交点问题，但用此法探讨方程的解肯定要留意图象的精确性、全面性，否则会得到错解。②正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合。【变式训练2】已知函数y＝f(x)(x∈R)满意f(x＋2)＝2f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则当x∈[－10,10]时，y＝f(x)与g(x)＝log4|x|的图象的交点个数为()A．13B．12C．11D．10解析先作出函数y＝f(x)在[－1,1]内的图象，由f(x＋2)＝2f(x)可知函数图象向右平移两个单位后，纵坐标变为原来的2倍，即函数图象纵向拉伸为原来的2倍，则向左平移两个单位后图象纵向缩为原来的eq\f(1,2)。如图，作出函数y＝f(x)在[－10,10]上的图象，然后作出函数g(x)＝log4|x|的图象。由图可知，两函数图象在y轴左侧的交点为(－1,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))，共有2个交点，在y轴右侧共有9个交点。综上，知f(x)与g(x)的图象共有11个交点。故选C。答案C【例3】已知函数f(x)＝sinx，若存在x1，x2，…，xm满意0≤x1<x2<…<xm≤6π，且|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xm－1)－f(xm)|＝12(m≥2，m∈N*)，则m的最小值为________。【解析】对随意的xi，xj，|f(xi)－f(xj)|≤f(x)max－f(x)min＝2，欲使m取得最小值，则尽可能使xi(i＝1,2，…，m)取最值点，考虑到0≤x1<x2<…<xm≤6π，|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xm－1)－f(xm)|＝12(m≥2，m∈N*)，则依据如图所示取值可以满意条件，所以m的最小值为8。【答案】8涉及三角函数的性质问题，同时还涉及肯定值及其应用，解决问题的关键是通过数形结合法进行直观分析与处理，省去不必要的推理与分析以及繁杂的运算，有效地解决有关三角函数的图象与性质问题。【变式训练3】已知函数f(x)＝sinx，若存在x1，x2，…，xm满意0≤x1<x2<…<xm≤1008π，且|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xm－1)－f(xm)|＝2016(m≥2，m∈N*)，则m的最小值为________。解析对随意的xi，xj，|f(xi)－f(xj)|≤f(x)max－f(x)min＝2，欲使m取得最小值，尽可能让xi(i＝1,2，…，m)取最值点，由以上分析知f(x1)＝f(xm)＝0，中间的f(x2)，f(x3)，…，f(xm－1)有规律地取1与－1，且逐一间隔开，即若f(x2)＝1，则f(x3)＝－1，f(x4)＝1，f(x5)＝－1，…，此时m才取得最小值，又0≤x1<x2<…<xm≤1008π，|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xm－1)－f(xm)|＝2016(m≥2，m∈N*)，那么2016－2＝2014，2014÷2＝1007，即中间有1007组|f(xi)－f(xj)|＝2的关系式，此时对应的自变量有1007＋1＝1008(个)，故此时m的值是1008＋2＝1010，即m的最小值为1010。答案1010三、分类整合思想分类整合思想是将一个较困难的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类探讨后还要对探讨结果进行整合。【例4】(1)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1，x<1，,2x，x≥1，))则满意f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B．[0,1]C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D．[1，＋∞)(2)设F1，F2为椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，P为椭圆上一点。已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则eq\f(|PF1|,|PF2|)的值为________。【解析】(1)由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1。当a<1时，有3a－1≥1，解得a≥eq\f(2,3)，所以eq\f(2,3)≤a<1。当a≥1时，有2a≥2>1，解得a≥1。综上，a≥eq\f(2,3)，故选C。(2)若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，因为|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2eq\r(5)，解得|PF1|＝eq\f(14,3)，|PF2|＝eq\f(4,3)，所以eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(7,2)。若∠F2PF1＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以eq\f(|PF1|,|PF2|)＝2。综上所述，eq\f(|PF1|,|PF2|)＝2或eq\f(7,2)。【答案】(1)C(2)2或eq\f(7,2)分类整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类。有的概念本身是分类的，如肯定值、直线斜率、指数函数、对数函数等。(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类探讨。有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一样，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。(3)由数学运算和字母参数改变引起的分类。如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。(4)由图形的不确定性引起的分类探讨。有的图形类型、位置须要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等。【变式训练4】(1)若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋eq\f(y2,m)＝1的离心率是()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\r(5)C．eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(5),2) D．eq\f(\r(3),2)或eq\r(5)(2)设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是________。解析(1)因为m是2和8的等比中项，所以m2＝2×8＝16，所以m＝±4。当m＝4时，圆锥曲线eq\f(y2,4)＋x2＝1是椭圆，其离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)；当m＝－4时，圆锥曲线x2－eq\f(y2,4)＝1是双曲线，其离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),1)＝eq\r(5)。综上可知，选项D正确。(2)因为{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0。当q＝1时，Sn＝na1>0；当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)>0，即eq\f(1－qn,1－q)>0(n＝1,2,3，…)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－q>0，,1－qn>0，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－q<0，,1－qn<0。))②由①得－1<q<1，由②得q>1。故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)。答案(1)D(2)(－1,0)∪(0，＋∞)四、转化与化归思想转化与化归思想方法就是在探讨和解决有关数学问题时采纳某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种思想。其应用包括以下三个方面：(1)将困难的问题通过变换转化为简洁的问题。(2)将难解的问题通过变换转化为简洁求解的问题。(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。【例5】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝______。(2)已知f(x)＝eq\f(\r(3),3x＋\r(3))，则f(－2017)＋f(－2016)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2018)＝________。【解析】(1)明显△ABC为等边三角形时符合题设条件，所以eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝eq\f(cos60°＋cos60°,1＋cos60°cos60°)＝eq\f(1,1＋\f(1,4))＝eq\f(4,5)。(2)f(x)＋f(1－x)＝eq\f(\r(3),3x＋\r(3))＋eq\f(\r(3),31－x＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3x＋\r(3))＋eq\f(3x,\r(3)＋3x)＝eq\f(3x＋\r(3),3x＋\r(3))＝1，所以f(0)＋f(1)＝1，f(－2017)＋f(2018)＝1，所以f(－2017)＋f(－2016)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2018)＝2018。【答案】(1)eq\f(4,5)(2)2018转化与化归思想遵循的原则(1)熟识化原则：将生疏的问题转化为我们熟识的问题。(2)简洁化原则：将困难的问题通过变换转化为简洁的问题。(3)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化)。(4)正难则反原则：若问题干脆求解困难时，可考虑运用反证法、补集法或用逆否命题间接地解决问题。【变式训练5】(1)已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数x0，使f