广西玉林市八校2024-2025学年高一下学期4月期中联合调研测试数学试卷（含答案）

考试时间：120分钟注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。A'B′=B'C'=1,则平面图形ABCD的面积为()2.已知向量a=(1,-2),b=(cosa,sina),且alb,则tana=3.复数=的共轭复数为三，且满足2z+z=3+i,则.三=()4.已知正方形ABCD的边长为4,点P满足AP=λAB(λ>0),则PCDP的最大值为异面直线的是()A.ADB.DD₁C.CDD.DC₁7.对于平面内n个起点相同的单位向量a(i=1,2,,n,n=2k,keN),若每个向量与其相邻向量的夹角均为则q与a₂+-+a的位置关系为()A.垂直B.反向平行C.同向平行D.无法确定8.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3,圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是().二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.如图所示的圆台O₁O₂,在轴截面ABCD中，,则()A.该圆台的高为1C.该圆台的体积为D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为510.已知复平面内的四个点A,B,C,D构成平行四边形，顶点A,B,C对应复数-5-2i,-4+5i,2,则点D对应的复数可以是()A.1-7iB.3+7iC.-7-3i11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是()A.若A=45°,a=√2,b=√3,则△ABC有一解B.若a²+b²<c²,则△ABC是钝角三角形C.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosBD.若,则△ABC为等腰三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则x+y的值14.正方体ABCD-AB₁C₁D₁的棱长为2,点M是棱AA的中点，过C,D₁,M三点作正方体的截面，则该截面的面积为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。15.(13分)如图，在长方体ABCD-AB₁C₁D₁中，E,F,G分别为C₁D₁,AB,DC的中16.(15分)如图，四面体A-B₁CD₁的四个顶点均为长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点.(1)若四面体A-B₁CD₁各棱长均为√2,求该四面体的表面积(2)若AD₁=√3,AC=2,AB₁=√5,求四面体A-B₁CD₁外接球的表面积.17.(15分)在锐角△ABC中，已知m=(2(1)求角B的大小；(2)若AC=1,求△ABC面积的最大值.AB=√3,BC=CD=AD=1,△ABD和△BCD的面积分别为S和T,若BD=2x19.(17分)(1)对于平面向量a,b,求证：a·b|≤lab|,,并说明等号成立的条件；《2025年春季期玉林市八校联合调研考试》参考答案123456789DBCDCABA【分析】根据给定条件，求出梯形A'B'C'D'的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形ABCD的面积.【详解】在梯形A'B'C'D'中，∠B'A'D′=45°,则该梯形的高为梯形A'B'C'D'的面积为在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的2√2,所以平面图形ABCD的面积【分析】根据a⊥b列等式，整理即可得到tana.故选：B.【分析】设z=a+bi,代入已知条件利用复数相等求解z,再求出z,最后由复数的乘法求解即可.【详解】设z=a+bi,所以2z+z=3+i即为2(a+bi)+a-bi=3+i,故选：C【分析】法一：建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解.法二：极化恒等式【详解】法一：以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x,V轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0),B(4,0),C(4,4)法二：设H为DC的中点，连接PH,当点P为AB的中点时，PH的长度最短。 PCDP=Pc(-PD=-(PCPD)=-PH²+HC²=-PH+4==4²+2²=-12【分析】举反例，排除ADC,结合异面直线定义证明C正确.【详解】对于A,当点M位于A位置时，证明BM与直线A₁D相交，A错误；对于B,当点M位于A₁C₁的中点时，如图，对于C,直线CDc平面ABCD,直线BMn平面ABCD=B,点B不在直线CD上，所以直线BM与直线CD为异面直线，C正确；【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】直线a、b为异面直线，则直线a、b不相交，反之，直线a、b不相交，直线a、b可能平行，也可能是异面直线，故选：A【分析】根据平面向量加法的运算法则即可得解.【详解】根据题意可得a₁+a₂+…+aₙ=0,所以a与a₂+…+an的位置关系为反向平行.【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案.【详解】由题意得，扇形的弧所以该圆锥的底面圆的半径设该圆锥内的球的最大半径为R,圆锥的轴截面如图所示：则依题意得【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误；利用梯形面积公式计算可得B正确；代入圆台体积公式可知C正确；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确.【详解】对于A,在梯形ABCD中，O₁O₂即代表圆台的高，利用勾股定理计算可得,所以A错误；对于B,轴截面梯形ABCD的面积,因此B正对于C,易知下底面圆的面积为π×2²=4π,上底面圆的面积为π×1²=π;所以该圆台的体积可得C正确；对于D,将圆台侧面沿直线BC处剪开，其侧面展开图如下图所示：易知圆弧BB',CC的长度分别为2π,4π,设扇形圆心为0,圆心角为θ,OB=r;设E为AD的中点，连接EC,当小虫从点C沿着EC爬行到AD的中点，所经过路程最由勾股定理可知EC=√OE²+OC²=5,可知D正确.【分析】由复数的几何意义分类讨论即可求解.所以zD=zA-ZB+zc=(-5-2i)-(-4+5i)+所以zD=Zc-zA+zB=2-(-5-2i)+(-4+5i所以zp=zB-Zc+za=(-4+5i)-2+(-5-2i)=所以点D对应的复数为1-7i或3+7i或-11+3i.【分析】根据正弦、余弦定理逐项判断即可.所以△ABC为等腰或直角三角形，故D错误.【详解】(1)当三个平面无交线，即三个平面平行时，可以把空间分为4个部分；当三个平面经过同一条直线或三个平面有两条交线(一个平面与两个平行平面相交)时，可以把空间分为6个部分；当三个平面两两相交且3条交线平行时，可以把空间分为7个部分；当三个平面两两相交且3条交线共点时，可以把空间分为8个部分，所以三个平面可以把空间分成4,6,7,8部分.(2)将一个苹果切3刀可得块数最多与最少问题，相当于三个平面把空间分成的部分数最多与最少问题，故答案为：12【详解】解：因为la|=1,5=3,a-b|=4所以，向量a在向量b上的投影向量为故答案为：【详解】取AB中点N,延长D₁M,CN交于点F,如图，四边形MNCD₁的面积即为所求，是一个等腰梯形，由几何关系可得MN为△FCD的中位线，设梯形的高为h,则故答案为：15.解：(1)如图，取BB₁的中点H,分别连接FH,C₁H,CH,…………1分因为F、H分别是A,B、B₁B的中点，所以FH//A₁所以FH//EC₁且FH=EC₁,所以四边形EFHC₁是平行四边形，…………4分故EF//HC₁,又HC₁c平面BB₁C₁C,EFø平面B(2)因为F、H分别是A₁B、B₁B的中点，所以FH//A₁B₁且…8分又G是CD的中点，则…8分所以FH//CG且FH=CG,9所以四边形CGFH为平行四边形，故FG//HC,10分又HCc平面BB₁C₁C,FGø平面BB₁C₁C,所以FG//平面BB₁C₁C,…………11分由(1)知EF//平面BB₁C₁C,所以平面EFG//平面BB₁C₁C.…………13分16.解：(1)因为四面体A-B₁CD₁各棱长均为√2,则长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁为棱长为1的正方体，…………1分,…………5分…………8分(2)由于四面体A-B₁CD₁的四个顶点均为长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点，所以四面体A-B₁CD₁外接球与长方体的外接球是同一个球，设此四面体所在长方体的棱长分别为DA=a,DD₁=b,DC=c,…………9分法一：则解得……12分设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的半径为R,则(2R)²=a²+b²+c²=6,则…………14分法二：三式相加，得以下解法同上由于B是锐角，所以,0<2B<π,所以.…………6分(2)法一：依题意，,b=1,由正弦定理得…………7分所以二…………9分,…………12分所以当时，…………14分法二：由(1)可知，…………7分(当且仅当a=c时取等号)…………12分∴△ABC面积的最大值∴△ABC面积的最大值为18.解：(1)在△BCD中，∵0<2x<1+1,∵0<x<11分(2)如图，过C作CE⊥BD交BD于点E.…………12分此时，,BD=√3又∵∠BCD是三角形的内角最大值为5,最小值为3.当且仅当a//b时，即θ=0或θ=π,等号成立…………5分(2)①设a=(a,b),b=(c,d),