天津市静海区独流中学四校联考2024-2025学年数学高二下期末质量检测模拟试题含解析

天津市静海区独流中学四校联考2024-2025学年数学高二下期末质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种 B．48种 C．96种 D．192种2．定义在上的函数满足为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（）A． B． C． D．3．下列关于独立性检验的叙述：①常用等高条形图展示列联表数据的频率特征；②独立性检验依据小概率原理；③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，与有关系的把握程度就越大.其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（）A．72种 B．48种 C．24种 D．12种5．已知,是离心率为的双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，且直线的斜率分别为，，，则的取值范围为（）A． B．C． D．)6．设，则的大小关系是A． B． C． D．7．若，则（）A． B．1 C．0 D．8．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出的产品个数为（）A．7 B．8 C．9 D．109．在数列中，若，，则（）A．108 B．54 C．36 D．1810．对于实数，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的等于()A．4 B．8 C．16 D．3212．已知函数（为自然对数的底数），，若对于任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．复数的虚部是______.14．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为___.15．的展开式中，的系数是___．（用数字填写答案）16．已知函数fx=x⋅lnx，且0<x1<x2，给出下列命题：①fx1-f三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前n项和，．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前n项和．18．（12分）近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（，简称）是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究.（I）求抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率；（Ⅱ）用表示抽取的3天中空气质量为优的天数，求随机变量的分布列和数学期望.19．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，，，后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数的值；（2）若该校高一年级共有学生1000人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．（3）若从样本中数学成绩在，与，两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率．20．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点.（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）若a=2，求二面角P-AC-E的余弦值.21．（12分）某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设的长为毫米.（注：，其中为球半径，为圆柱底面积，为圆柱的高）（1）求容器中防蚊液的体积关于的函数关系式；（2）如何设计与的长度，使得最大？22．（10分）已知函数.（1）设是的极值点，求的单调区间；（2）当时，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】试题分析：设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C．考点：分步计数原理点评：本题需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可．2、C【解析】

由，以及，联想到构造函数，所以等价为，通过导数求的单调性，由单调性定义即可得出结果。【详解】设，等价为，，故在上单调递减，所以，解得，故选C。本题主要考查利用导数研究函数的单调性的问题，利用单调性定义解不等式，如何构造函数是解题关键，意在考查学生数学建模能力。3、C【解析】分析：根据独立性检验的定义及思想，可得结论．详解：①常用等高条形图展示列联表数据的频率特征；正确；②独立性检验依据小概率原理；正确；③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；正确；④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，与有关系的把握程度就越大.故④错误.故选C.点睛：本题考查了独立性检验的原理，考查了推理能力，属于基础题．4、A【解析】试题分析：先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4x3x2x3=72种，故选A．考点：本题主要考查分步计数原理的应用．点评：从某一区域涂起，按要求“要求相邻的矩形涂色不同”，分步完成．5、B【解析】

因为M,N关于原点对称，所以设其坐标，然后再设P坐标，将表示出来.做差得，即有，最后得到关于的函数，求得值域.【详解】因为双曲线的离心率，所以有，故双曲线方程即为.设M,N,P的坐标分别是,则，并且做差得，即有，于是有因为的取值范围是全体实数集，所以或，即的取值范围是，故选B.本题考查双曲线的性质，有一定的综合性和难度.6、A【解析】试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．7、D【解析】分析：根据题意求各项系数和，直接赋值法令x=-1代入即可得到.详解：已知，根据二项式展开式的通项得到第r+1项是，故当r为奇数时，该项系数为负，故原式令x=-1代入即可得到.故答案为D.点睛：这个题目考查了二项式中系数和的问题，二项式主要考查两种题型，一是考查系数和问题；二是考查特定项系数问题；在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.8、C【解析】

根据题意，设至少应抽出个产品，由题设条件建立不等式，由此能求出结果.【详解】解：要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，设至少抽出个产品，则基本事件总数为，要使这3个次品全部被抽出的基本事件个数为，由题设知：，所以，即，分别把A，B，C，D代入，得C，D均满足不等式，因为求的最小值，所以.故选：C.本题考查概率的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理的进行等价转化.9、B【解析】

通过，可以知道数列是公比为3的等比数列，根据等比数列的通项公式可以求出的值.【详解】因为，所以数列是公比为的等比数列，因此，故本题选B.本题考查了等比数列的概念、以及求等比数列某项的问题，考查了数学运算能力.10、A【解析】

先判断和成立的条件，然后根据充分性和必要性的定义可以选出正确答案.【详解】成立时，需要；成立时，需要，显然由能推出，但由不一定能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.本题考查了充分不必要条件的判断，掌握对数的真数大于零这个知识点是解题的关键.11、C【解析】初如值n=11,i=1,i=2,n=13,不满足模3余2.i=4,n=17,满足模3余2,不满足模5余1.i=8,n=25,不满足模3余2,i=16,n=41,满足模3余2,满足模5余1.输出i=16.选C．12、A【解析】，在区间上为增函数，在区间上为减函数.，，又，则函数在区间上的值域为.当时，函数在区间上的值域为.依题意有，则有，得.当时，函数在区间上的值域为，不符合题意.当时，函数在区间上的值域为.依题意有，则有，得.综合有实数的取值范围为.选A.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用错位相消法可以化简式子,最后求出它的虚部.【详解】令,,得,,.故答案为：本题考查了错位相消法,考查了等比数列的前项和公式,考查了乘方运算的性质,考查了数学运算能力.14、【解析】

转化为，由于，即可得解.【详解】又由于即故答案为：本题考查了极坐标和直角坐标的互化，考查了学生概念理解，转化划归的能力，属于基础题.15、28【解析】分析：由题意知本题要求二项式定理展开式的一个项的系数，先写出二项式的通项，使得变量x的指数等于5，解出r的值，把r的值代入通项得到这一项的系数．详解：要求x5的系数，

∴8-=5，

∴r=2，

∴x5的系数是（-1）2C82=28，

故答案为28点睛：本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的通项，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键．16、②③【解析】

根据每一个问题构造相应的函数，利用导数研究函数的单调性，进而判断命题正误.【详解】∵f当0<x<1e时，f'(x)<0，当x>1e时，f'(x)>0，①令g(x)=f(x)-x=xlnx-x，则g'(x)=ln∴g(x)在(1,+∞)单调递增，当x2>x∴f(x2)-②令g(x)=f(x)x=lnx∵0<x1<x2③当lnx>-1时，则x>1e，∴f(x)在(∴x1f(∴x④令h(x)=f(x)+x=xlnx+x，则∴x∈(0,1e2)时，h'设x1,x2∈(0,∴x证明函数不等式问题，经常与函数性质中的单调性有关.解决问题的关键在于构造什么样函数？三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）将代入可求得.根据通项公式与前项和的关系,可得数列为等比数列,由等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式.（2）由（1）可得数列的通项公式,代入中,结合裂项法求和即可得前n项和.【详解】（1）当时,由得；当时,由得是首项为3,公比为3的等比数列当,满足此式所以（2）由（1）可知,本题考查了通项公式与前项和的关系,裂项法求和的应用,属于基础题.18、（I）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）可先计算对立事件“抽取的3天空气质量都不为良”的概率，再利用相关公式即得答案；（Ⅱ）找出随机变量的所有可能取值，分别计算相关概率，从而列出分布列计算数学期望.【详解】（Ⅰ）解：设事件为“抽取的3天中至少有一天空气质量为良”，事件的对立事件为“抽取的3天空气质量都不为良”，从7天中随机抽取3天共有种不同的选法，抽取的3天空气质量都不为良共有种不同的选法，则,所以，事件发生的概率为.（Ⅱ）解：随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.，所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.本题主要考查对立事件的相关概念与计算，超几何分布的分布列与数学期望，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力和计算能力.19、（1）a=0.1．（2）850（人）．（3）．【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图的性质能求出的值；（2）先求出数学成绩不低于分的概率，由此能求出数学成绩不低于分的人数；（3）数学成绩在的学生为分，数学成绩在的学生人数为人，由此利用列举法能求出这名学生的数学成绩之差的绝对值大于的概率．试题解析：（1）由频率分布直方图，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.1.（2）数学成绩不低于60分的概率为：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴数学成绩不低于60分的人数为：1000×0.85=850（人）．（3）数学成绩在[40，50）的学生为40×0.05=2（人），数学成绩在[90，100]的学生人数为40×0.1=4（人），设数学成绩在[40，50）的学生为A，B，数学成绩在[90，100]的学生为a，b，c，d，从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，{bd}，{c，d}，其中两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的情况有：{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8种，∴这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率为．考点：频率分布直方图；古典概型及其概率的求解．20、(1)证明见解析.（2）63【解析】试题分析：（1）在直角梯形ABCD中利用勾股定理证明AC⊥BC，而PC⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以平面EAC⊥平面PBC；（2）取AB中点F，以C为原点，CF,CD,CP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用平面PAC,EAC的法向量，求解得二面角的余弦值为63试题解析：（1）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=4,∴BC=22+(4-2)2=22EAC,∴平面EAC⊥平面PBC.（2）取AB中点