陕西省延安市实验中学大学区校际联盟2025年高二下数学期末学业水平测试试题含解析

陕西省延安市实验中学大学区校际联盟2025年高二下数学期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的正整数a的可能取值的集合是（

）A． B．C． D．2．若离散型随机变量的分布列为则的数学期望（）A． B．或 C． D．3．如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（）A． B． C． D．4．已知集合,,则（）A． B． C． D．5．函数的定义域为（）A． B．C． D．6．已知方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．7．已知直线，，点为抛物线上的任一点，则到直线的距离之和的最小值为（）A．2 B． C． D．8．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A． B． C． D．9．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f(x)+fA．(-∞,0) B．(0,+∞) C．(-∞,1) D．(1,+∞)10．已知全集U=R，集合A=xxx+2<0，A．-2,1 B．-1,0C．(-2,-1]∪[0,1] D．(0,1)11．已知点满足，则到坐标原点的距离的点的概率为（）A． B． C． D．12．已知，是两个向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是月日，张老师把告诉了甲，把告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择:2月5日，2月7日，2月9日，3月2日，3月7日，5月5日，5月8日，7月2日，7月6日，7月9日．看完日期后，甲说“我不知道，但你一定也不知道”，乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说，“哦，现在我也知道了”．请问张老师的生日是_______．14．若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___.15．若（其中i是虚数单位），则实数_____.16．已知函数若关于的方程恰有4个不同的实数解，则的取值范围是_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）大型水果超市每天以元/千克的价格从水果基地购进若干水果，然后以元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了水果最近天的日需求量（单位：千克），整理得下表：日需求量频数以天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.（1）求该超市水果日需求量（单位：千克）的分布列；（2）若该超市一天购进水果千克，记超市当天水果获得的利润为（单位：元），求的分布列及其数学期望.18．（12分）函数f(x)对任意的m，，都有，并且时，恒有(1)求证：f(x)在R上是增函数(2)若，解不等式19．（12分）已知函数（为常数）．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若函数在上单调递增，求的取值范围．20．（12分）已知函数，当时，函数有极大值8.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知函数.（1）判断的奇偶性；（2）若在是增函数，求实数的范围.22．（10分）已知函数，其中均为实数，为自然对数的底数．（I）求函数的极值；（II）设，若对任意的，恒成立，求实数的最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由题意，循环依次为，，所以可能取值的集合为，故选A.2、C【解析】

由离散型随机变量的分布列，列出方程组，能求出实数，由此能求出的数学期望.【详解】解：由离散型随机变量的分布列，知：

，解得，

∴的数学期望.

故选：C.本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列等基础知识，是基础题.3、A【解析】试题分析：的单调变化情况为先增后减、再增再减因此的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A符合，故选A.考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.4、D【解析】分析：先化简集合P,Q，再求.详解：由题得，，所以.故答案为：D.点睛：本题主要考查集合的化简与交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平，属于基础题.5、B【解析】

利用二次根式的性质和分式的分母不为零求出函数的定义域即可.【详解】由题意知，，解得且，所以原函数的定义域为.故选：B本题考查函数定义域的求解；考查二次根式的性质和分式的分母不为零；考查运算求解能力；属于基础题.6、C【解析】

由于恒成立，构造函数，则方程在上有两个不等的实数根等价于函数在上有两个不同的零点，利用导数研究函数在的值域即可解决问题。【详解】由于恒成立，构造函数，则方程在上有两个不等的实数根等价于函数在上有两个不同的零点，则，（1）当时，则在上恒成立，即函数在上单调递增，当时，，，根据零点定理可得只有唯一零点，不满足题意；（2）当时，令，解得：，令，解得：或，故的单调增区间为，的单调减区间为，①当，即时，则在单调递增，当时，，，根据零点定理可得只有唯一零点，不满足题意；②当，即时，则在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，，，故要使函数在上有两个不同的零点，则，解得：；综上所述：方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为：故答案选C本题考查方程根的个数问题，可转为函数的零点问题，利用导数讨论函数的单调区间以及最值即可解决问题，有一定的综合性，属于中档题。7、C【解析】分析：由抛物线的定义可知P到直线l1，l1的距离之和的最小值为焦点F到直线l1的距离．详解：抛物线的焦点为F（﹣1，0），准线为l1：x=1．∴P到l1的距离等于|PF|，∴P到直线l1，l1的距离之和的最小值为F（﹣1，0）到直线l1的距离．故选：C．点睛：本题主要考查了抛物线定义的应用，属于基础题.8、B【解析】

解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得，故选B．9、B【解析】

不等式的exfx<1的解集等价于函数g(x)=exf(x)图像在y=1下方的部分对应的x的取值集合，那就需要对函数g(x)=exf(x)的性质进行研究，将fx+f'x【详解】解：令g(x)=因为f所以，(故g故gx在R又因为f所以，g所以当x>0，gx<1，即e故选B.不等式问题往往可以转化为函数图像问题求解，函数图像问题有时借助函数的性质（奇偶性、单调性等）进行研究，有时还需要构造新的函数.10、C【解析】

先弄清楚阴影部分集合表示的含义，并解出集合A、B，结合新定义求出阴影部分所表示的集合。【详解】由题意知，阴影部分区域表示的集合S=x集合A=xxx+2A∪B=-2,1，A∩B=因此，阴影部分区域所表示的集合为S=-2,-1∪0,1本题考查集合的运算、集合的表示法以及集合中的新定义，考查二次不等式以及对数不等式的解法，解题的关键就是要弄清楚Venn图表示的新集合的意义，在计算无限集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中等题。11、B【解析】

作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为正方形，到坐标原点O的距离的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，由此利用几何概型能求出到坐标原点O的距离的点P的概率．【详解】点满足，

当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，．

作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为正方形，

到坐标原点O的距离的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，

到坐标原点O的距离的点P的概率为：

．

故选：B.本题考查概率的求法，几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12、B【解析】分析：先化简已知条件，再利用充分条件必要条件的定义判断.详解：由题得，所以，所以或或，所以或或.因为或或是的必要非充分条件,所以“”是“”的必要非充分条件.故答案是：B.点睛：（1）本题主要考查充分条件和必要条件，考查向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法，本题利用的是集合法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3月2日【解析】

甲说“我不知道，但你一定也不知道”，可排除五个日期，乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，再排除2个日期，由此能求出结果.【详解】甲只知道生日的月份，而给出的每个月都有两个以上的日期，所以甲说“我不知道”，根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”，而5月、7月中8日6日是唯一的，所以5月、7月不正确，乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，而剩余的5个日期中乙能确定生日，说明一定不是7日，甲接着说，“哦，现在我也知道了”，可排除2月5日2月9日，现在可以得知张老师生日为3月2日.本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，正确解题的关键是读懂题意，能够根据叙述合理运用排除法进行求解.14、【解析】

将题意转化为：，使得，利用参变量分离得到，转化为，结合导数求解即可。【详解】，其中，则。由于函数存在单调递增区间，则，使得，即，，构造函数，则。，令，得。当时，；当时，。所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则，所以，，故答案为：。本题考查函数的单调性与导数，一般来讲，函数的单调性可以有如下的转化：（1）函数在区间上单调递增，；（2）函数在区间上单调递减，；（3）函数在区间上存在单调递增区间，；（4）函数在区间上存在单调递减区间，；（5）函数在区间上不单调函数在区间内存在极值点。15、【解析】

由可知，根据复数的乘法运算，及复数相等的概念即可求解.【详解】因为所以所以本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于中档题.16、【解析】

先求得的零点，由此判断出方程恰有2个不同的实数解，结合图像求得的取值范围.【详解】有两个零点，画出图像如下图所示，依题意恰有4个不同的实数解，则方程恰有2个不同的实数解，由图可知，故的取值范围为．故答案为：本小题主要考查根据分段函数图像以及方程零点个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)分布列见解析.(2)分布列见解析；元．【解析】分析：（1）根据表格得到该超市水果日需求量（单位：千克）的分布列；（2）若A水果日需求量为140千克，则X=140×（15﹣10）﹣（150﹣140）×（10﹣8）=680元，则P（X=680）==0.1．若A水果日需求量不小于150千克，则X=150×（15﹣10）=750元，且P（X=750）=1﹣0.1=0.2．由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．详解：（1）的分布列为（2）若水果日需求量为千克，则元，且.若水果日需求量不小于千克，则元，且.故的分布列为元.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.18、（1）证明见解析（2）不等式的解集为:.【解析】

(1)利用=和增函数的定义证明;(2)先通过赋值法得到,再根据(1)的增函数可解得不等式的解集.【详解】(1)证明:任取,则==,因为,所以,因为时，恒有,所以,所以,所以,所以,根据增函数的定义可知,f(x)在R上是增函数.(2)在中,令得,即,在中,令得,即,所以,又,所以,所以,所以等价于,因为函数在上是增函数,所以,即,所以,所以,所以不等式的解集为:.本题考查了用定义证明增函数,利用增函数的性质解不等式,属于中档题.19、（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）当时，，求得，令令，解得或，分类讨论即可求解函数的单调性；（2）当时，，由题意，在上恒成立．即在上恒成立，当时，不等式成立；当时，令，求得，分类讨论即可求解．详解：（1）当时，．；令，解得或．∴当，即时，增区间为，减区间为；当，即时，增区间为，无减区间；当，即时，增区间为，减区间为．（2）当时，．由题意，在上恒成立．即即在上恒成立．1）显然时，不等式成立；2）当时，令，则．①当时，只须恒成立．∵恒成立，（可求导证明或直接用一个二级结论：）．∴当时，，单减；当时，，单增；∴．∴．②当时，只须恒成立．∵此时，即单减．∴．∴．综上所述，．点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．20、（I）（II）【解析】

（Ⅰ）求导，当时，导函数为0，原函数为8，联立方程解得（Ⅱ）参数分离，设，求在区间上的最大值得到答案.【详解】（I）∵当时，函数有极大值8∴，解得