云南省普洱市墨江第二中学2024-2025学年高二数学第二学期期末达标测试试题含解析

云南省普洱市墨江第二中学2024-2025学年高二数学第二学期期末达标测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．812．设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（）.A．与 B．与 C．与 D．与3．已知曲线与直线围成的图形的面积为，则（）A．1 B． C． D．4．设i为虚数单位，复数等于()A． B．2i C． D．05．若，则（）A． B． C． D．6．设，“”，“”，则是的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，由得参照附表，得到的正确结论是（）.爱好不爱好合计男生20525女生101525合计302050附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”8．已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．9．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A． B． C．3 D．510．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A． B．C． D．11．设方程的两个根为，则（）A． B． C． D．12．已知函数，对于任意，且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设为虚数单位，若，则________．14．函数，当时，恒成立，求．15．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，则甲乙两人都抢到红包的情况有________种16．已知过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，，则=_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）有3名男生和3名女生，每人都单独参加某次面试，现安排他们的出场顺序．(Ⅰ)若女生甲不在第一个出场，女生乙不在最后一个出场，求不同的安排方式总数；(Ⅱ)若3名男生的出场顺序不同时相邻，求不同的安排方式总数(列式并用数字作答）．18．（12分）已知函数.(1)若,解不等式;(2)若不等式对任意的实数恒成立，求的取值范围.19．（12分）设，复数，其中为虚数单位.（1）当为何值时，复数是虚数？（2）当为何值时，复数是纯虚数？20．（12分）已知椭圆C：，点P（0，1）.（1）过P点作斜率为k（k＞0）的直线交椭圆C于A点，求弦长｜PA｜（用k表示）；（2）过点P作两条互相垂直的直线PA，PB，分别与椭圆交于A、B两点，试问：直线AB是否经过一定点？若存在，则求出定点，若不存在，则说明理由？21．（12分）某医药开发公司实验室有瓶溶液，其中瓶中有细菌，现需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验次；方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为.(1)假设，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；(2)现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为.若采用方案一.需检验的总次数为,若采用方案二.需检验的总次数为.(i)若与的期望相等.试求关于的函数解析式;(ii)若,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求的最大值.参考数据：22．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若，且，，求

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题意可得，成立，需要分五种情况讨论：当时，只有一种情况，即；当时，即，有种；当时，即，有种；当时，即，有种当时，即，有种，综合以上五种情况，则总共为：种，故选D.【点睛】本题主要考查了创新型问题，往往涉及方程，不等式，函数等，对涉及的不同内容，先要弄清题意，看是先分类还是先步，再处理每一类或每一步，本题抓住只能取相应的几个整数值的特点进行分类，对于涉及多个变量的排列，组合问题，要注意分类列举方法的运用，且要注意变量取值的检验，切勿漏掉特殊情况.2、C【解析】

易知，有三个零点因为为二次函数，所以，它有两个零点由图像易知，当时，；当时，，故是极小值类似地可知，是极大值.故答案为：C3、D【解析】分析：首先求得交点坐标，然后结合微积分基本定理整理计算即可求得最终结果.详解：联立方程：可得：，，即交点坐标为，，当时，由定积分的几何意义可知围成的图形的面积为：，整理可得：，则，同理，当时计算可得：.本题选择D选项.点睛：(1)一定要注意重视定积分性质在求值中的应用；(2)区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.4、B【解析】

利用复数除法和加法运算求解即可【详解】故选B本题考查复数的运算，准确计算是关键，是基础题5、C【解析】分析：由题意根据二项式展开式的通项公式可得，再分别求得的值，从而可得结果.详解：由常数项为零，根据二项式展开式的通项公式可得，且，，，故选C.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6、C【解析】

利用不等式的性质和充分必要条件的定义进行判断即可得到答案.【详解】充分性：.所以即：，充分性满足.必要性：因为，所以，.又因为，所以，即.当时，，不等式不成立.当时，，，不等式不成立当时，，，不等式成立.必要性满足.综上：是的充要条件.故选：C本题主要考查充要条件，同时考查了对数的比较大小，属于中档题.7、A【解析】

对照表格，看在中哪两个数之间，用较小的那个数据说明结论．【详解】由≈8.333＞7.879，参照附表可得：有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选：A．本题考查独立性检验，属于基础题．8、C【解析】

设为边的中点，由双曲线的定义可得，因为正三角形的边长为，所以有，进而解得答案。【详解】因为边的中点在双曲线上，设中点为，则，,因为正三角形的边长为，所以有，整理可得故选C本题考查双曲线的定义及离心率，解题的关键是由题意求出的关系式，属于一般题。9、A【解析】

因为抛物线的焦点是，所以双曲线的半焦距，，，所以一条渐近线方程为，即，，故选A.【点考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系，考查推理论证能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想10、A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11、D【解析】

画出方程左右两边所对应的函数图像，结合图像可知答案。【详解】画出函数与的图像，如图结合图像容易知道这两个函数的图像有两个交点，交点的横坐标即为方程的两个根，结合图像可知，，根据是减函数可得，所以有图像可知所以即，则，所以，而所以故选D本题考查对数函数与指数函数的图像与性质，解题的关键是画出图像，利用图像解答，属于一般题。12、A【解析】

解：由题意可知f（x）在[0，+∞）上单调递增，值域为[m，+∞），∵对于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一实数t，使得f（s）＝f（t），且s≠t，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m，+∞），∴a＜0，且﹣b+1＝m，即b＝1﹣m．∵|f（x）|＝f（）有4个不相等的实数根，∴0＜f（）＜﹣m，又m＜﹣1，∴0m，即0＜（1）m＜﹣m，∴﹣4＜a＜﹣2，∴则a的取值范围是（﹣4，﹣2），故选A．点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由，得，则，故答案为.14、【解析】试题分析：由题意得，，因此，从而，考点：二次函数性质15、72【解析】第一步甲乙抢到红包，有种，第二步其余三人抢剩下的两个红包，有种，所以甲乙两人都抢到红包的情况有种．16、2【解析】试题分析：焦点坐标，准线方程，由|AF|＝2可知点A到准线的距离为2，所以轴，考点：抛物线定义及直线与抛物线相交的弦长问题点评：抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，依据定义可实现两个距离的转化三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）504（Ⅱ）576【解析】

(Ⅰ)按女生甲分类：甲在最后一位出场，女生甲不在最后一位出场，两种情况相加得到答案.(Ⅱ)先考虑3名男生全相邻时的安排数，再用总的安排数减去此数得到答案.【详解】解：（Ⅰ）方法一：不考虑任何限制，6名同学的出场的总数为，女生甲在第一个出场和女生乙在最后一个出场的总数均为，女生甲在第一个出场且女生乙在最后一个出场的总数为，则符合条件的安排方式总数为；方法二：按女生甲分类，甲在最后一位出场的总数为，女生甲不在最后一位出场，甲只能在除首尾之外的四个位置中选择一个，女生乙再在余四个位置中选择一个，出场的总数为，则符合条件的安排方式总数为；（Ⅱ）3名男生全相邻时，将3名男生看成一个整体，与3名女生一起看作4元素，共有种安排方式.本题考查了排列组合里面的加法原理和排除法，意在考查学生解决问题的能力.18、（1）；（2）【解析】分析：第一问先将代入解析式，之后应用零点分段法将绝对值不等式转化为若干个不等式组，最后取并集即可得结果；第二问将恒成立问题转化为最值问题来处理，应用绝对值的性质，将不等式的左边求得其最小值，之后将其转化为关于b的绝对值不等式，利用平方法求得结果.详解：（1）所以解集为：.(2)所以的取值范围为：.点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的求解问题，在解题的过程中，需要用到零点分段法求绝对值不等式的解集，再者对于恒成立问题可以向最值来转化，而求最值时需要用到绝对值不等式的性质，之后应用平方法求解即可得结果.19、（1）且；（2）.【解析】

（1）根据虚数概念列条件，解得结果；（2）根据纯虚数概念列条件，解得结果．【详解】(1)要使复数是虚数，必须使且当且时，复数是虚数.（2）要使复数是纯虚数，必须使解得：当时，复数是纯虚数.本题考查复数虚数与纯虚数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.20、（1）；（2）直线AB过定点.【解析】

（1）先由题意得到直线PA的方程，联立直线与椭圆，得到A点坐标，再由弦长公式，即可求出结果；（2）先由题意，得到，直线的斜率必存在，设直线为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，得到，再由，结合题意，求出，进而可得出结果．【详解】解：（1）把代入得：，所以（2）由题意可以，直线的斜率必存在，设直线为，有,所以，即直线AB过定点本题主要考查