机器人学导论 课件 第3章 机器人力学

机器人技术基础

第3章机器人力学

3.1机器人静力学

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）10325.1.1静力学5.1.2静力学的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐标变换本节目录静力学的概念32025/6/1已知机器人末端负载（静力学不考虑杆件质量）求解机器人静止状态下，各关节的驱动力或力矩机器人静力学分析方法假定关节为锁定状态从末端到基座逐级列出各连杆的静力平衡方程逐级求解关节负载关节负载中包含运动副的结构约束力和关节驱动力关节负载的符号定义fi：连杆i-1施加在连杆i上的力ni：连杆i-1施加在连杆i上的力矩45.1.1静力学5.1.2静力学的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐标变换本节目录静力的迭代求解52025/6/1力平衡方程单个连杆的静力平衡方程力矩平衡方程其中：ifi为连杆i-1作用在连杆i上的力在{i}中的描述ifi+1为连杆i+1反作用于连杆i的力（或末端杆件所受外力）在{i}中的描述其中：ini为连杆i-1作用在连杆i上的力矩在{i}中的描述ini+1为连杆i+1反作用于连杆i的力矩（或末端杆件所受外力矩）在{i}中的描述iPi+1×ifi+1为ifi+1附加作用于连杆i的力矩在{i}中的描述静力的迭代求解62025/6/1将旋转矩阵代入，重写静力平衡方程静力迭代公式上式即为静力迭代公式，可根据末端负载逐次迭代计算各杆件之间的作用力（包含运动副的结构约束力和关节驱动力）问题：如何求解关节驱动力/力矩思路：连杆i-1对连杆i的作用力ifi或力矩ini矢量中，沿移动关节导路的力分量或绕旋转关节轴的力矩分量显然由驱动器提供关节力/力矩应为关节负载与关节轴线矢量的点积（沿关节轴线分量）移动关节驱动力转动关节驱动力矩静力的迭代求解72025/6/1建立各连杆坐标系，如右图实例：右图所示2R平面机器人，已知末端力矢量3f3，以及当前位形的关节角，求关节力矩

写出从末端到基座各坐标系间的旋转矩阵、坐标原点矢量、负载矢量将上述已知量从末端{3}到基座{0}，逐次代入下式，计算关节转矩静力的迭代求解82025/6/1

对于关节2，已知则静力的迭代求解92025/6/1

对于关节1，已知则静力的迭代求解102025/6/1

最终，得到：写成矩阵形式：思考：当θ2=0°或180°，且fy=0时会发生什么现象？此时，无论fx多大，关节力矩始终为零！数学上，末端负载到关节负载的映射矩阵奇异！静力的迭代求解112025/6/1

回顾坐标系{3}中表达的速度雅可比矩阵：JT在末端坐标系中，末端负载到关节负载的映射矩阵是速度雅可比矩阵的转置这不是巧合！125.1.1静力学5.1.2静力学的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐标变换本节目录力雅可比矩阵132025/6/1虚功原理当受力物体的位移趋向无穷小时，不同广义坐标系下力做的功相等虚功等于广义力与广义微位移的点积功是标量，可在不同广义坐标系下描述利用虚功原理可建立不同广义坐标系下的力、位移映射关系对6自由度机器人而言，其中：F为笛卡尔空间的广义力，6×1维δX为笛卡尔空间微位移，6×1维τ为关节空间的广义力，6×1维δΘ为关节空间的微位移，6×1维力雅可比矩阵142025/6/1根据雅可比矩阵的定义可得：虚功原理δΘ是广义坐标的变分，可任意取，上式成立则必然有：上式是在末端坐标系中的结论，如果已知相对于{0}坐标系的雅可比矩阵，则用下式：力雅可比矩阵的特性152025/6/1力雅可比矩阵建立了从笛卡尔空间的力F到关节空间的力τ之间的映射关系从末端力到关节力的映射直接基于正运动学模型获得，而无需求逆运算，这一特性有利于在控制中实现末端力控制或补偿末端负载力雅可比矩阵同样存在奇异性，对应着机器人的奇异位形在奇异位形，微小的关节力矩将对应着极大的末端力，几何上对应着机构死锁位置（连杆间压力角为90°）165.1.1静力学5.1.2静力学的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐标变换本节目录速度和力矢量在不同坐标系间的变换172025/6/1假定在一个刚体上存在两个坐标系{A}、{B}，已知在{A}中定义的力矢量和{A}的速度矢量问题：如何获得在坐标系{B}中定义的力矢量和{B}的速度矢量由前述定义，可知如下表达：6×1维速度矢量6×1维力矢量思路：需要考虑由于{A}、{B}坐标原点偏移引起的线速度变化和附加力矩可以利用连杆速度和力迭代计算的方法，区别仅在于没有关节速度和关节力速度和力矢量在不同坐标系间的变换182025/6/1回顾速度迭代公式：

于是，可得：写成矩阵形式：速度矢量的变换其中，叉乘算子为：速度和力矢量在不同坐标系间的变换192025/6/1把上式写成紧凑形式：速度矢量的变换反之，如果已知坐标系{B}的速度矢量，则：注意速度伴随变换矩阵与坐标变换矩阵的区别和联系速度伴随变换矩阵速度和力矢量在不同坐标系间的变换202025/6/1回顾力迭代公式：类似的，可得同一个刚体上两个坐标系之间的力矢量转换方法力矢量的变换简写为：注意力伴随变换矩阵与坐标变换矩阵的区别和联系力伴随变换矩阵力矢量变换实例212025/6/1

思路:

根据：得到：根据下式可得所需参数：静力学结束机器人技术基础

第3章机器人力学

3.2惯量参数

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）103刚体质量分布242025/6/1对绕任意轴做旋转运动的刚体质量分布的描述对物体转动惯量的广义度量惯量张量（惯性张量）刚体相对于坐标系{A}

的惯量张量其中：Ixx、Iyy、Izz称为惯量矩惯量矩也称为绕某轴的转动惯量Ixy、Iyz、Ixz称为惯量积注意：惯量张量与坐标系选取有关当选取的坐标系使惯量积全为零时，坐标系主轴称为主轴，对应的惯量矩称为主惯量矩25例题：

已知：如图所示坐标系中长方体，密度为ρ；

求：长方体的惯量张量。2025/6/1均匀密度的刚体解：首先，计算惯量矩已知体积单元，故：式中，m是刚体的总质量。同理可得Iyy和Izz：惯量张量26然后计算Ixy：2025/6/1同理可得:因此，图示物体的惯量张量为:惯量张量平行移轴定理272025/6/1同一个刚体在两个坐标系中的惯量张量之间的转换关系平行移轴定理设已知定义在刚体质心{C}处的惯量张量，则平移到任意坐标系{A}的惯量张量为：其中：为{C}坐标原点在{A}中的位置矢量平行移轴定理的矢量形式：282025/6/1惯量张量的几个性质惯量张量表示刚体质量分布的特征随坐标系定义的不同，惯量矩永远为正三个惯量矩的和（迹）保持不变惯量积正负都有可能当惯量积Ixy，Iyz和Izx均为0时，惯量张量变成对角型任意坐标系中的惯量张量矩阵的特征值即为刚体主惯量矩，对应的特征向量即为主轴惯量张量的性质机器人技术基础

第3章机器人力学

3.3牛顿-欧拉方程

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）103303.3.1动力学概念3.3.2牛顿-欧拉平衡方程3.3.3刚体的线加速度3.3.4刚体的角加速度3.3.5牛顿-欧拉方程的递推迭代本节目录动力学的概念312025/6/1在考虑机器人连杆惯量的前提下，研究力与运动的关系动力学的核心问题分析方法基于力平衡的方法——牛顿-欧拉方程基于能量的方法——拉格朗日方程应用分类

——逆动力学，用于控制——正动力学，用于仿真323.3.1动力学概念3.3.2牛顿-欧拉平衡方程3.3.3刚体的线加速度3.3.4刚体的角加速度3.3.5牛顿-欧拉方程的递推迭代本节目录牛顿-欧拉力/力矩平衡方程（Newton-EulerEquation）332025/6/1针对每个杆件应用力/力矩平衡方程，逐次递推获得杆件之间的作用力/力矩杆件之间的作用力/力矩在关节轴上的分量，即为关节驱动力/力矩牛顿-欧拉方程的思想力平衡——牛顿方程

F力矩平衡——欧拉方程

牛顿-欧拉力/力矩平衡方程342025/6/1求解动力学方程的前提是：

利用牛顿-欧拉方程求解动力学方程的主要工作是：计算各连杆角速度、角加速度、质心线加速度计算各连杆之间的力和力矩牛顿-欧拉力/力矩平衡方程353.3.1动力学概念3.3.2牛顿-欧拉平衡方程3.3.3刚体的线加速度和角加速度3.3.4牛顿-欧拉方程的递推迭代本节目录刚体的线加速度362025/6/1上式直接对时间求导，得：AVBORF≠0BVQ≠0AΩB≠0回顾：两刚体{A}和{B}之间既有平动，也有转动，且{B}中向量Q相对于{B}有运动的情况，其Q在{A}中的速度表达为：因为：代入上式，得：刚体的线加速度372025/6/1整理，得：线加速度求和科氏加速度欧拉加速度向心加速度当BQ是常量时，可简化为：刚体的角加速度382025/6/1同样，把上式直接对时间求导，得：运动坐标系{B}相对于{A}的角速度为AΩB运动坐标系{C}相对于{B}的角速度为BΩC则{C}相对于{A}的角速度为：因为：代入上式，得：假定存在固定的参考坐标系{A}393.3.1动力学概念3.3.2牛顿-欧拉平衡方程3.3.3刚体的线加速度和角加速度3.3.4牛顿-欧拉方程的递推迭代本节目录牛顿-欧拉方程的向外递推迭代402025/6/1

可得：

思路：采用与速度外推迭代类似的方法进行求解首先回顾前一章机器人连杆间角速度递推公式根据前述刚体间角加速度关系：上式即为机器人旋转关节相邻连杆间角加速度迭代公式当第i+1个关节是移动关节时，上式可简化为：412025/6/1对于通过旋转关节连接的两连杆，根据刚体间线加速度关系公式：转换到i+1坐标系，得旋转关节相邻连杆间的线加速度迭代公式：对于i+1关节为移动关节的情况，根据：可得：可得：上式即为移动关节相邻连杆间的线加速度迭代公式牛顿-欧拉方程的向外递推迭代422025/6/1对于连杆i+1，再次应用刚体间线加速度关系公式：可得连杆i+1质心C的线加速度迭代公式：至此，我们已经得到了牛顿-欧拉方程所需的角速度、角加速度，以及坐标系i的线加速度还需要求解质心线加速度回顾牛顿-欧拉方程牛顿-欧拉方程的向外递推迭代牛顿-欧拉方程的向外递推迭代小结—i+1为旋转关节432025/6/1连杆i+1质心C的线加速度迭代公式：相邻连杆间的角加速度迭代公式：相邻连杆间的角速度迭代公式相邻连杆间的线加速度迭代公式：442025/6/1连杆i+1质心C的线加速度迭代公式：相邻连杆间的角加速度递推公式：相邻连杆间的线加速度迭代公式相邻连杆间的角速度迭代公式注意，在不考虑重力时：牛顿-欧拉方程的向外递推迭代小结—i+1为移动关节452025/6/1根据每个连杆的角加速度和质心线加速度，根据牛顿-欧拉公式，得：其中：Fi和Ni可理解为惯性力和力矩显然，每个连杆的惯性力/力矩应等于其所受外力之和由右图可知，每个连杆质心处的力平衡方程为：

注意：方程里没有重力项牛顿-欧拉方程的向内递推迭代462025/6/1每个连杆质心处力矩平衡方程为：其中：为连杆i作用在连杆i+1上的力矩的反作用力矩，在{i}坐标系中的表达最后，可得到力矩平衡方程：后两项为连杆间作用力在质心C处耦合的力矩之和，可化简为：牛顿-欧拉方程的向内递推迭代472025/6/1将前述连杆的力/力矩平衡方程整理如下：把上式写成由末端到基座的迭代递推形式，可得连杆i-1作用于连杆i的力/力矩：其中：

iFi和iNi为连杆i质心处的惯性力/力矩，可根据质心线角速度和角加速度求得把ifi和ini为向关节轴线投影，可得关节i的驱动力/力矩：移动关节：旋转关节：牛顿-欧拉方程的向内递推迭代482025/6/1连杆i-1作用于连杆i的力/力矩：关节i的驱动力/力矩：移动关节：旋转关节：连杆i质心处的惯性力/力矩：

牛顿-欧拉方程的向内递推迭代-小结牛顿-欧拉动力学方程——实例492025/6/1首先确定牛顿-欧拉递推公式中的连杆参数和初始值如右图所示的2R平面机器人，假设每个连杆的质量都集中在杆件末端，连杆参数如图每个连杆坐标原点及质心的位置矢量：假设质量集中于质心，则各连杆质心的惯量张量为零矩阵：末端执行器不受外力，所以：机器人基座固定，所以：考虑重力因素，有：X0Y0OX1Y1X2Y2502025/6/1相邻连杆坐标系之间的旋转矩阵如下：用外推迭代求解两个连杆的速度、加速度以及惯性力/力矩连杆1角速度：连杆1角加速度：X0Y0OX1Y1X2Y2牛顿-欧拉动力学方程——实例512025/6/1连杆1坐标原点线加速度：连杆1质心线加速度：牛顿-欧拉动力学方程——实例522025/6/1连杆1惯性力：连杆1惯性力矩：牛顿-欧拉动力学方程——实例532025/6/1连杆2角速度：连杆2角加速度：牛顿-欧拉动力学方程——实例542025/6/1连杆2坐标原点线加速度：连杆2质心线加速度：牛顿-欧拉动力学方程——实例552025/6/1连杆2惯性力：连杆2惯性力矩：牛顿-欧拉动力学方程——实例562025/6/1用内推迭代求解连杆间的力/力矩连杆2受连杆1作用力：连杆2末端受环境作用力牛顿-欧拉动力学方程——实例572025/6/1用内推迭代求解连杆间的力/力矩连杆2受连杆1作用力矩：连杆2关节力矩：牛顿-欧拉动力学方程——实例582025/6/1用内推迭代求解连杆间的力/力矩连杆1受连杆0作用力：牛顿-欧拉动力学方程——实例592025/6/1用内推迭代求解连杆间的力/力矩连杆1受连杆0作用力矩：牛顿-欧拉动力学方程——实例602025/6/1用内推迭代求解连杆间的力/力矩连杆1关节力矩：牛顿-欧拉动力学方程——实例机器人技术基础

第3章机器人力学

3.4拉格朗日法

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）103623.4.1一般质点系的拉格朗日方程3.4.2两自由度平面机械系统的拉格朗日方程3.4.3操作臂的拉格朗日方程本节目录拉氏函数L=K-U自由度广义坐标广义力广义速度一般质点系的拉格朗日方程以能量观点来研究机械系统的真实运动规律；属于分析力学范畴；区别于牛顿矢量力学；求解步骤规范、统一（确定广义坐标，列出动能、势能和广义力的表达式，代入上式即可）。有关拉氏方程的推导步骤，可以选修研究生阶段的机器人动力学643.4.1一般质点系的拉格朗日方程3.4.2两自由度平面机械系统的拉格朗日方程3.4.3操作臂的拉格朗日方程本节目录两自由度机械系统的动力学分析若机械臂在垂直平面上，考虑重力若机械臂在垂直平面上，无重力X0Y0系统动能是各个连杆动能之和式中，第j个连杆的动能Kj可表示为

事实上，操作臂的动能可以写成一般形式是操作臂惯性矩阵，

n╳n维，二次型，正定的，动能永远为正（1）系统的动能两自由度机械系统的动力学分析（2）系统的势能系统势能是各个连杆势能之和

第j个连杆的势能Pj可表示为式中，

注意：需要为系统定义一个重力势能参考平面，而不要为每个广义坐标定义一个重力势能参考平面。两自由度机械系统的动力学分析例：平面2R机械手的动力学建模选取2个转角为广义坐标。将两个杆均看作是位于在各杆末端的集中质量（即各杆的质心在其末端）。杆1质心的位置和速度：杆2质心的位置和速度：还有其它广义坐标的选择吗？两自由度机械系统的动力学分析例：平面2R机械手的动力学建模两杆的动能项两杆的势能项两自由度机械系统的动力学分析例：平面2R机械手的动力学建模

两自由度机械系统的动力学分析713.4.1一般质点系的拉格朗日方程3.4.2两自由度平面机械系统的拉格朗日方程3.4.3操作臂的拉格朗日方程本节目录操作臂的拉格朗日动力学方程（LagrangianDynamics）722025/6/1关于机械系统动力学的拉格朗日函数其中：

基于拉格朗日函数的动力学方程其中：τ

d为仅考虑惯量和重力的关节驱动力矢量732025/6/1机器人系统动能其中：

构件i

质心线速度动能构件i

角速度动能操作臂的拉格朗日动力学方程742025/6/1对于构件i的线速度和角速度项，根据速度雅可比矩阵可知：其中：

代入构件动能方程，得：Mi(Θ)为构件i的广义质量矩阵，是Θ的函数操作臂的拉格朗日动力学方程752025/6/1于是，机器人系统的总动能可表达为：其中：M(Θ)为系统在关节空间中的广义质量矩阵，n×n维，是Θ的函数我们知道，质点的动能表达式为：可见，机器人等多刚体机械系统的动能表达式，在形式上与质点的动能表达式类似操作臂的拉格朗日动力学方程762025/6/1机器人系统势能

构件i重力势能的构造定义一个零势能参考坐标系{ref}势能增量是重力做功的负值：其中：0gT=[0,0,-g]T为重力矢量

操作臂的拉格朗日动力学方程772025/6/1机器人系统势能

由于：于是，得：使参考面势能为零的项urefi其中：

操作臂的拉格朗日动力学方程782025/6/1完整的机器人拉格朗日动力学方程系统动能：系统势能：

操作臂的拉格朗日动力学方程792025/6/1例：右图所示两自由度及机器人，关节1为旋转关节，关节2为移动关节，l连杆1质心与关节1轴线距离为l1，连杆2质心与关节1轴线的距离为变量d2。两连杆各自的惯性张量为：连杆1动能：连杆2动能：系统总动能：X0Y0X1Y1操作臂的拉格朗日动力学方程X0Y0X1Y1802025/6/1连杆1势能：势能参考点在θ1=－90°位置连杆2势能：势能参考点在θ1=－90°、d2=d2max（最大值）位置系统总势能：根据拉格朗日方程：得：操作臂的拉格朗日动力学方程812025/6/1系统总势能：根据拉格朗日方程：首先，对θ1项求偏微分：系统总动能：得到τ1的表达式：惯性力科氏力重力操作臂的拉格朗日动力学方程822025/6/1系统总势能：根据拉格朗日方程：系统总动能：然后，对d2项求偏微分：得到τ2的表达式：惯性力向心力重力操作臂的拉格朗日动力学方程832025/6/1把系统动力学方程