求线段比问题+教学设计-2024《几何模型教学设计培优专题》

“百师助学”课程《求线段比问题的常见解决方法》教学设计一、内容分析求线段比值的考试题型，一般出现在选择题，填空题，甚至还是出现在最后一道压轴题中。所以这是一个难点和重点。求三角形中线段的比值问题的考试题型，一般思路：1.不需要做辅助线直接找相似三角形2.利用平行线构造相似三角形证线段比3.通过垂直线段构造全等或者三角形，设参数求线段比特别是在题目条件中没有给出线段长度的前提下，很多同学感到毫无头绪，这个时候，需要引入能表示线段长度的量，即设参数。设参数也是初中数学的常用方法，可广泛用于求线段比值，角度比值，面积比值，因为在求比值的过程中，参数通常会被消掉，使用参数，一定记得“过河拆桥”，即消参在使用参数之前，如何想到用参数？题目条件没有线段长，却要求比值是其一，存在特殊边长之间的关连。例如等腰直角三角形，含30゜角的直角三角形等是其二，存在等量关系例如全等，对称等是其三。教材以及学情分析学生已经学习了相交线，平行线，三角形，四边形（主要是四边形）等图形的性质和图形的判定，积累的较为丰富的教学活动经验，空间观念逐步增强，几何直观与推理能力都得到了一定的培养，对数学思想，方法也有了初步的感悟，特别是经过有关平行线、三角形、平行四边形性质与判定的学习，合理推理能力和演绎推理能力都得到了大幅度的提高。以上都为本节课的学习打下了坚实的基础教学重点构造相似三角形的思路联想设参数的思想渗透一题多解开拓解题思维教学难点：构造全等或者相似三角形求线段比综合知识点的应用三、教学过程模块一：作平行线构造相似三角形求线段比这之类的题目主要思路是：1.过已知的比例节点作平行构造相似三角形向外补齐作平行构造相似三角形过未知的节点作平行线知识梳理：例题1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2.D为边AB上一点，连接CD.且tan∠BCD＝，E为BC中点，连接AE交CD于点F，求的值.解法一：过点作EM//AB交CD于点M∴∠CEM=∠B又∵∠C=∠C∴ΔCEM∽ΔCBD∴∴∴EM=∵EM//AB∴∠FEM=∠A又∵∠EFM=∠AFD∴ΔEFM∽ΔAFD∴∴∴解法二：过点A作AM//BC交CD的延长线于点M∴∠C=∠M又∵∠BDC=∠ADM∴ΔCBD∽ΔMAD∴∴∴AM=6∵AM//BC∴∠C=∠M又∵∠EFC=∠AFM∴ΔEFC∽ΔAFM∴∴∴解法三：过点F作FM//BC,交AB于点M∴∠DMF=∠B又∵∠BDC=∠BDC∴ΔDMF∽ΔDBC∴∴设DM=x,MF=2x∵MF//BE∴∠AMF=∠B∴ΔAMF∽ΔABE∴∴∴又∵ΔAMF∽ΔABE∴∴∴总结：胡乱作平行，但是从已知节点作平行线构造三角形会更加方便我们解题跟进练习：1.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MNBM的长为．【解答】解：延长CE、DA交于Q，如图1，∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，∵F为AD中点，∴AF＝DF＝3，在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5，∵AD∥BC，∴∠Q＝∠ECB，∵E为AB的中点，AB＝4，∴AE＝BE＝2，在△QAE和△CBE中∴△QAE≌△CBE（AAS），∴AQ＝BC＝6，即QF＝6+3＝9，∵AD∥BC，∴△QMF∽△CMB，∴＝＝，∵BF＝5，∴BM＝2，FM＝3，延长BF和CD，交于W，如图2，同理AB＝DW＝4，CW＝8，BF＝FW＝5，∵AB∥CD，∴△BNE∽△WND，∴＝，∴＝，解得：BN＝∴MN＝BN﹣BM＝﹣2＝，2.在ΔABC中，AD是ΔABC的中线，点E为AB上一点.（1）如图①，若点E是AB的中点，CE与AD交于点0，证明：AO=2OD（2）如图②，点F为AC上一点，连接EF交AD于点0，若,，求的值.【解答】证明：过点D作DM//CE交AB于点M∵AD是BC边上的中线∴BD=CD∴BM=EM∵E是AB的中点∴BE:EA=1:1则AO:OD=AE:EG=2:1∴AO=2OD延长CB,FE交于点M,过点D作DN//FE交AC于点N，∴△AOF∽△ADN,△CMF∽△CDN∴AO:OD=AF:FN=2:1=6:3∵AF:FC=3:2=6:4,∴FN:NC=MD:DC=3:1∵BD=CD∴MD:CD=MD:BD=3:1过点B作BP//EF交AD于点于点P∴△AOE∽△APB,△BDP∽△MDO∴MB:BD=OP:PD=2:1∵AO:OD=2:1=6:3∴AO:OP=6:2=AE:EB=3:1∴AE:BE=33.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，则＝．【解答】解：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，∵DM∥BC，∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，∴＝＝tan∠ACB＝，＝＝，又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，∴∠BAC+∠NAD＝90°，∵∠BAC+∠BCA＝90°，∴∠NAD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAN，∴＝＝，设BC＝4a，由＝＝得，DM＝3a，∴AB＝2a，DN＝a，AN＝a，∴NB＝AB+AN＝2a+a＝a，∴＝＝＝．∴=故答案为：．模块二：通过作垂直线段求线段比例.如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是?解法一：【解答】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，设∠ADB＝x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，∴∠CBD＝∠ADB＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠DAB＝，∴x+＝105°，∴x＝30°，∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，∵BH⊥AD，∴BD＝2BH，DH＝BH，∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，∴∠AEB＝45°，∴∠AEB＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH，∴DE＝BH﹣BH＝（﹣1）BH，∵AB＝＝＝（﹣）BH＝CD，∴＝，解法二：过点D作DN⟂AB于点N，过点D作DM⟂BE，BE延长线的延长线于点M在▱ABCD中，CD//AB,∴∠A=180°-105°=75°∵AD＝BD∴∠BDA=180°-75°×2=30°又∵DN⟂AB∴∠BDN==∴在△BDN和△DBM中,∴△BDN≌△DBM（AAS）∴MD=BN设MD=BN=x，在▱ABCD中，AB=CD=2X在Rt△BEM中,∴DE=∴方法总结：作垂线段的题目中，往往都暗示有特殊角：30度，45度，60度角，或者有等腰三角形，或者有三角函数或者有角平分线或者和面积有关的计算跟进练习：1.如图，，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，H为AC上一点，∠ABC＝∠HDC，CB＝CD，直接写出＝．【解答】:解法一：解：过点C作CM⟂AB于点M，过点C作CN⟂DH于点N，过点D作DP⟂AH于点P设BC=3,AC=4,AB=5则△BMC∽△BCA∴∴∵BC＝DC且CM⟂AB，∴,∴∵DP⟂AH,∠ACB＝90°且∠A=∠A∴△ADP∽△ABC∴∴∵∠ABC＝∠HDC∠ABC=∠BDC∴∠BDC=∠HDC又∵CM⟂AB，CN⟂DH∴∵∠DHP＝∠CHN∠DPH=∠CNH=∴△DPH∽△CNP∴解法二：过点C作CE⊥CD交DH的延长线于E，过点C作CF⊥AB于F，∴∠DCE＝∠BCA＝90°，∵∠ABC＝∠HDC，CB＝CD，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴∠A＝∠E，CE＝AC，∵∠AHD＝∠EHC，∴△ADH∽△ECH，∴，设AC＝CE＝4x，∵，∠ACB＝90°，∴BC＝3x，AB＝5x，∴cosB＝，∴BF＝BC＝x，∵CB＝CD，∴DF＝BF＝x，∴AD＝5x﹣x﹣x＝x，∴＝，2．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE⊥CD于F，交BC于E，连接BF，若∠BFE＝45°，则的值为．【解答】解：过点B作BG⊥AE交AE的延长线于点G，∵AE⊥CD，∠BFE＝45°，∴△BFG为等腰直角三角形，设BG＝FG＝a，∵AG⊥DF，AG⊥BG，D为AB边上的中点，∴DF为△AGB的中位线，∴DF＝a，AG＝2a，∴AB＝a，在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴CD＝a，∴CF＝a，∵CF∥GB，∴△CFE∽△BGE，∴＝＝，故答案为：．3．如图，在矩形ABCD中，E是AB上一点，，连接DE，F是BC上一点，且∠DEF＝30°，，则＝．【解答】解：过点F作FN⊥DE于N,延长DE,CB相交于点M设FN=3,DN=4,DF=5;则EN=,EF=6∴设AE=，BE=2x由8字相似△DAE∽△MBE，得,∴∴∵∠M＝∠M∠MBE=∠MNF=90°∴△MEB∽△MNF∴∴∴∴∴模块三：图形变换中求线段比例.如图，在△ABC中，AB＝AC，tanB＝，点D为BC上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，则＝．解法一：【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AH⊥DE于点H，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根据折叠的性质可知，∠B＝∠E，AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，∴∠E＝∠C，设CG＝a，则AG＝3a，∴AB＝AC＝AE＝4a，在Rt△ABF中，tanB＝＝，∴BF＝AF，∴，解得：或AF＝（舍去），∴AH＝AF＝，BF＝EH＝，在Rt△AGH中，GH＝＝＝，∴EG＝EH﹣GH＝＝，∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，∴△AEG∽△DCG，∴，即，∴，∴＝，解法二：过点G作GM⊥AE于点M,过点A作AN⊥BC于点N设AG=3,CG=1,∴AC=AB=4在Rt△ABN中,BN=∴在等腰三角形ABC中，BC=2BN=2由翻折可知∴ 在Rt△MEG中，设∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，∴△AEG∽△DCG∴∴∴∴∴可得：x=1，或者x=∵GE＜DG,∴x=1舍去方法总结：此类问题往往含有相等的线段，相等的角，折叠后往往有相似三角形，再分别求出线段长跟进练习：1.已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝20，点D为斜边中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折得△B′CD，B′D交AC于点E，则的值为（） B． C． D．【解答】解：如图，过点B作BH⊥CD于H，过点E作EF⊥CD于F，∵∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝20，∴AB＝＝＝10，S△ABC＝×10×20＝100，∵点D为斜边中点，∠ACB＝90°，∴AD＝CD＝BD＝5，∴∠DAC＝∠DCA，∠DBC＝∠DCB，∴sin∠BCD＝sin∠DBC＝＝，∴＝，∴BH＝4，∴CH＝＝＝2，∴DH＝3，∵将△BCD沿CD翻折得△B′CD，∴∠BDC＝∠B'DC，S△BCD＝S△DCB'＝50，∴tan∠BDC＝tan∠B'DC＝，∴＝＝，∴设DF＝3x，EF＝4x，∵tan∠DCA＝tan∠DAC＝，∴，∴FC＝8x，∵DF+CF＝CD，∴3x+8x＝5，∴x＝，∴EF＝，∴S△DEC＝×DC×EF＝，∴S△CEB'＝50﹣＝，∴＝，故选：A．2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为．【解答】解：以O为原点