专题18数轴上的动点问题专项讲练

专题18数轴上的动点问题专项讲练数轴动点问题属于各版本七年级上册必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高。1.知识储备：①求A、B两点间的距离：若能确定左右位置：右—左若无法确定左右位置：②求A、B的中点：2.数轴动点问题主要步骤：①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“—”表示；③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。注意：要注意动点是否会来回往返运动。【题型一】单动点问题【典题1】（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（

）①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．【详解】解：设点B对应的数是x，∵点A对应的数为8，且AB=12，∴8x=12，∴x=4，∴点B对应的数是4，故①正确；由题意得：12÷2=6（秒），∴点P到达点B时，t=6，故②正确；分两种情况：当点P在点B的右侧时，∵AB=12，BP=2，∴AP=ABBP=122=10，∴10÷2=5（秒），∴BP=2时，t=5，当点P在点B的左侧时，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，∴14÷2=7（秒），∴BP=2时，t=7，综上所述，BP=2时，t=5或7，故③错误；分两种情况：当点P在点B的右侧时，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP+NP=AP+BP=AB=×12=6，当点P在点B的左侧时，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MPNP=APBP=AB=×12=6，∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确；所以，上列结论中正确的有3个，故选：C．【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．【变式练习】1．（2021·北京·人大附中七年级期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），，下列结论①；②当点与点重合时，；③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（

）A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④【答案】D【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法和中点的表示方法去证明命题的正确性．【详解】解：∵，，且，∴，，解得，，故①正确；当点与点重合时，∵，，∴，故②错误；设点P表示的数是，当点与点重合时，点B表示的数是2，，，，∴，故③正确；设点B表示的数是，则点C表示的数是，∵M是OB的中点，∴点M表示的数是，∵N是AC的中点，∴点N表示的数是，则，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查数轴的性质，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解，中点的表示方法．【题型二】单动点问题（规律变化）【典题1】（2021·浙江温州·七年级期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点．(1)求点A与点C的距离．(2)若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数．(3)动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，当点P满足PC＝2PA时，则点P移动次．【答案】(1)12(2)17或5(3)2或29【分析】(1)根据两点间的距离公式可得A与C的距离；(2)设点P表示的数是x，根据题意列出方程，再解方程即可；(3)设点P表示的数是x，根据题意列出方程可得x=−16或0，再根据点P的移动规律可得答案．(1)解：AC＝|8(4)|＝12，故答案为：12；(2)解：设点P表示的数是x，则PB＝|x＋1|，PC＝|x﹣8|，∴|x＋1|＝2|x﹣8|，解得x＝17或5；(3)解：设点P表示的数是x，则PA＝|x＋4|，PC＝|x﹣8|，∴|x﹣8|＝2|x＋4|，解得x＝﹣16或0，根据点P的移动规律，它到达的数字分别是﹣2，0，﹣3，1，﹣4，2，﹣5，3，……，它移动奇数次到达的数是从﹣2开始连续的负整数，故移动到﹣16需29次，移动到0需2次．故答案为：2或29．【点睛】本题主要考查数字的变化类、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的性质、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离是解决本题的关键．【变式练习】1．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______．【答案】①②④【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x5m=m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值．【详解】根据题意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列举知①②正确，符合题意；由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m．∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③错误，不合题意；∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数．【题型三】新定义问题【典题1】（2021·江西赣州·七年级期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2．（1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？【答案】（1）G，4或16；（2）1.5或3或9【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．【详解】解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，故答案是：G．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是16．故答案是：4或16．（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为23=1，因此t=1.5秒；第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为26=4，因此t=3秒；第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为218=16，因此t=9秒；综上所述，t的值为：1.5或3或9．【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．【变式练习】1．（2022·福建南平·七年级期末）【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，1，那么．(1)若，则x的值为．(2)当x＝（x是整数）时，式子成立．(3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：当时，点P叫点A的1倍伴随点，当时，点P叫点A的2倍伴随点，……当时，点P叫点A的n倍伴随点．试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)5或1(2)2、1、0、1(3)存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1【分析】（1）根据数轴上，两点间的距离，即可求解；（2）根据题意可得表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，再由，即可求解；（3）设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，根据题意可得，然后分四种情况讨论，即可求解．(1)解：∵，∴在数轴上到3和x的点的距离为2，∴x=5或x=1，故答案为：5或1；(2)解：∵，∴表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，∵，∴，∵x是整数，∴x取2、1、0、1；故答案为：2、1、0、1；(3)解：存在，理由如下：设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，∵点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，∴，∴，当时，，∴，即AB=1；当时，，∴，即AB=3；当时，，∴，即AB=3；当时，，∴，即AB=1；综上所述，存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1．【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，理解新定义，并利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．【题型四】双动点问题（匀速）【典题1】（2021·陕西·西安铁一中滨河学校七年级期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．（1）a＝，b＝；（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为；（3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）秒或秒．【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根据非负数的性质得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9；（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值；（3）先由点C表示的数是1，点B表示的数是9，计算出B、C两点之间的距离，确定t的取值范围，再按t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可．【详解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，∴a＝﹣3，b＝9，故答案为：﹣3，9．（2）∵a＝﹣3，b＝9，∴代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；当﹣3≤x＜9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，∵﹣12≤2x﹣6＜12，∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，综上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值为12，故答案为：≥9，12．（3）∵点C表示的数是1，点B表示的数是9，∴B、C两点之间的距离是9﹣1＝8，当点Q与点C重合时，则2t＝8，解得t＝4，当0＜t≤4时，如图1，点P表示的数是﹣3﹣t，点Q表示的数是9﹣2t，根据题意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，解得t＝；当4＜t≤8时，如图2，点P表示的数仍是﹣3﹣t，∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，∴点Q表示的数是2t﹣7，根据题意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），解得t＝，综上所述，第秒或第秒，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍．【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．【变式练习】1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6．(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C；(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒．①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________个单位长度；②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________【答案】(1)见解析；(2)①4，2，4；②或或或【分析】（1）根据题意画出数轴即可；（2）①先求出当时，P点表示的数为64=2，然后根据数轴上两点距离公式求解即可；②分当P从C向A运动和当P从A向C运动两种情况讨论求解即可．(1)解：如图所示，即为所求；(2)解：①当时，P点表示的数为64=2，∴，，，故答案为：4、2、4；②当P从C向A运动，时，，，，∵，∴，解得；当P从C向A运动，时，，，，∵，∴，解得；当P从A向C运动时，当时，，，，∵，∴，解得；当P从A向C运动时，当时，，，，∵，∴，解得；综上所述，t的值为或或或．【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解．2．（2022·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则．问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______．(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．【答案】(1)；(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7(3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为；（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为

13−2t；②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；（3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），即得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1．(1)∵A表示的数为−2，点B表示的数为13，∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；故答案为：15；．(2)①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；故答案为：−2＋3t；13−2t．②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7．(3)由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A，返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1，答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示的数．【题型五】双动点问题（变速）【典题1】（2021·江苏·无锡市江南中学七年级期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为_____秒时，P、Q两点到点B的距离相等．【答案】或30【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可．【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，∴b＝9，c＝15，∴B表示的数是9，C表示的数是15，①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒，故答案为：或30．【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路．【变式练习】1.（2021·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：，点F在数轴上对应的数为：．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）．【答案】（1）a＝12，b＝﹣20；（2）12﹣6t，﹣20+2t；（3）秒或秒秒或秒【分析】（1）由题意根据关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，即可求出a、b；（2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解；（3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可．【详解】解：（1）∵关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，∴（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）＝﹣20x2+ax﹣y+12﹣bx2﹣12x﹣6y+3）＝（﹣20﹣b）x2+（a﹣12）x﹣7y+15，∴﹣20﹣b＝0或a﹣12＝0，解得b＝﹣20，a＝12；设运动时间为t秒．由题意得：点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣20+2t，故答案为：12﹣6t，﹣20+2t；（3）设当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为t秒，相遇前：12﹣6t＝﹣20+2t+2，解得：t＝；相遇后：E、F相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒），相遇点为﹣20+2×4＝﹣12，点F在原地停留4秒时，6（t﹣4）＝2，解得：t＝；由题意得：当E、F相遇后，点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣12﹣2×5（t﹣4﹣4）＝68﹣10t．当E在F左侧时，68﹣10t﹣（12﹣6t）＝2，解得：t＝；当E在F右侧时，12﹣6t﹣（68﹣10t）＝2，解得：t＝．答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键．【题型六】多动点问题【典题1】（2022·福建·厦门市金鸡亭中学七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点；(1)a＝，b＝.(2)若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.）(3)若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样.【答案】（1）3、9；（2）点C的速度为每秒1个单位长度；（3）的值没有发生变化，理由见解析.【分析】（1）根据几个非负数的和为0，则每一个数都是0，建立关于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根据点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，可表示，，再由CA=CB建立关于x的方程求解即可；（3）根据点的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示点D、P、Q、M、N对应的数，再分别求出PQ、OD、MN的长，然后求出的值为常量，即可得出结论.【详解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，∴a+3=0，b9=0，解得a=3，b=9；（2）设3秒后点C对应的数为x，则，，∵CA=CB，∴，当，无解；当，解得x=3，此时点C的速度为3÷3=1个单位每秒，∴点C的速度为每秒1个单位长度；（3）的值没有发生变化，理由如下：设运动时间为t秒，则点D对应的数为2t；点P对应的数为33t；点Q对应的数为9+6t；点M对应的数为1.50.5t；点N对应的数为4.5+3t；则PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6，∴，为定值，即的值没有发生变化.【点睛】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题关键是根据数轴表示的数正确列出代数式.【变式练习】1．（2021·剑阁县公兴初级中学校七年级月考）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c6）2+|a+b|=0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a=___，b=___，c=___．（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A、B之间运动时，请化简式子：|x+1||x1|2|x+5|（请写出化简过程）（3）在（1）的条件下，数轴上的A，B，M表示的数为a，b，y，是否存在点M，使得点M到点A，点B的距离之和为5？若存在，请求出y的值；若不存在，请说明理由．（4）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒n（n>0）个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BCAB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1）1、1、6；（2）10；（3）存在，y=2.5或y=2.5；（4）值不变，BCAB=3．【分析】（1）据最小正整数的意义和非负数的性质作答；（2）先去绝对值号，再去括号，最后合并即可；（3）据绝对值的性质用y表示出点M到点A，点B的距离之和，再令其等于5，列方程求解；（4）结合题意，用t和n表示出BCAB再化简即可判断．【详解】解：（1）由b是最小正整数得b=1；由（c6）2+|a+b|=0得c6=0和a+b=0，解之得c=6，a=1．故a=1，b=1，c=6．（2）∵点P在A、B之间运动∴1＜x＜1∴x+1＞0、x1＜0、x+5＞0∴|x+1||x1|2|x+5|=(x+1)(1x)2(x+5)=x+11+x2x10=10．（3）由题意知AB=2，所以M不可能在AB之间，下面讨论M在AB之外的情况第一种情况，当M在A点左侧时由MA+MB=MA+MA+AB=5，得MA=1.5∴|y(1)|=1.5且y＜1∴y=2.5；第二种情况，当M在B点右侧时由MA+MB=MA+MAAB=5，得MA=3.5∴|y(1)|=3.5且y＞1∴y=2.5；故存在这样的点M，对应的y=2.5或y=2.5．(4)如下图用A1、B1、C1分别表示A、B、C的初始位置由题意得，当t秒时，A1A=nt，B1B=2nt，C1C=5nt∴AB=A1A+A1B1+B1B=nt+2+2nt=3nt+2，BC=B1CB1B=B1C1+C1CB1B=5+5nt2nt=3nt+5∴BCAB=(3nt+5)(3nt+2)=3故BCAB的值不变，且BCAB的值为3．【点睛】此题综合考查了绝对值的意义和数轴上两点之间的距离．弄清数轴上点及点的运动与所表示的数之间的关系是解决本题的关键．1．（2021·江苏南京·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为，点Q对应的数为；P、Q两点间的距离为．（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为．（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离．【答案】（1）5，－11；6．（2）－10＋t．（3）当0≤t≤8时，PQ＝－2t＋16；当8＜t≤12时，PQ＝2t－16；当12＜t≤20时，PQ＝20－t．【分析】（1）由题意根据数轴上动点向正方向移动用加法以及两点间距离公式进行分析计算；（2）根据题意点P的移动时间为t秒列出代数式即可；（3）根据题意分当0≤t≤8时，当8＜t≤12时，当12＜t≤20时三种情况进行分析即可.【详解】解：（1）由题意可得当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为：，点Q对应的数为：，P、Q两点间的距离为：，故答案为：－5,－11；

6．（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为：－10＋t．故答案为：－10＋t．（3）当0≤t≤8时，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t)＝－2t＋16；当8＜t≤12时，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；

当12＜t≤20时，PQ＝10－(－10＋t)＝20－t．【点睛】本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握列代数式表示动点以及两点间距离公式，运用数形结合思维和分类讨论思维进行分析是解题的关键.2．（2021·吉林·四平市铁西区教师进修学校七年级期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向右移动到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示．（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；（2）把点C到点A的距离记为，则_______．（3）若点A沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为？（4）若点A以每秒的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒、的速度匀速向右移动。设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）秒或秒；（4）不变化，值为．【分析】（1）根据题意，在数轴上表示点A、B、C的位置即可；（2）利用数轴上两点间的距离公式解题；（3）分两种情况讨论：点A在点C的左侧或点A在点C的右侧；（4）表示出，再相减即可解题．【详解】解：（1）如图，（2）故答案为：；（3）①当点A在点C的左侧时：

②点A在点C的右侧时：所以，经过或秒后点A到点C的距离为3cm，

（4）BA=，CB=的值不会随着的变化而变化，BACB=．【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．3．（2022·广东广州·七年级期末）如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒．（1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）；（2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t；（3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t．【答案】（1）点M、点N分别所对应的数分别为，；（2）；（3）t=1或18【分析】（1）根据题意进行求解即可；（2）由（1）所求，根据数轴上两点距离公式可得，，再由，得到，由此即可得到答案；（3）分当M、N均在A点右侧时，当N在A点左侧，M在A点右侧时，当M、N都在A点左侧时，三种情况讨论求解即可．【详解】解：（1）由题意得：点M、点N分别所对应的数分别为，；（2）∵点A表示的数为6，点M、点N分别所对应的数分别为，，∴，，∵，∴，∴；（3）如图1所示，当M、N均在A点右侧时，由（1）（2）得点M、点N分别所对应的数分别为，，∵点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，∴点P和点Q表示的数分别为，，∴∵，∴，∴；如图2所示，当N在A点左侧，M在A点右侧时，同图1可知点P和点Q表示的数分别为，，∴∵，∴，∴，不符合题意；如图3所示，当M、N都在A点左侧时，同图1可得点P和点Q表示的数分别为，，∴，，∵，∴，此时方程无解；如图4所示，当M、N都在A点左侧时，同理可得点P和点Q表示的数分别为，，∴，，∵，∴，解得，∴综上所述，当，t=1或18．【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，熟知数轴的相关知识是解题的关键．4．（2022·广东实验中学七年级期中）如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足|a＋2|＋（b﹣1）2＝0，点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．（1）求AB的长；（2）若点C在数轴上对应的数为，在数轴上是否存在点P，使得PA＋PB＝PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，经过t秒后，请问：AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．【答案】（1）3；（2）存在，或；（3）不变，值为．【分析】（1）先利用几个非负数的和为零，则每个数都为零，列式求出a，b的值，最后根据已知的关系式即可求出AB；（2）根据数轴上表示两点距离的方法设出P点代表的数字为x，再分别表示出对应的PA、PB、PC，最后代入关系式PA＋PB＝PC即可解答；（3）由于运动时间为t秒，A、B、C的运动方向和运动速度已知，利用路程＝速度×时间可表示出AB和BC，再计算出AB﹣BC的值，再与运动前AB﹣BC的值比较即可得出结论，进而求出这个常数值．【详解】解：（1）∵|a＋2|＋（b﹣1）2＝0，又∵|a＋2|≥0，（b﹣1）2≥0，∴a＋2＝0，b﹣1＝0.∴a＝﹣2，b＝1.∵点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|，∴AB＝|﹣2﹣1|＝3答：AB的长为3；（2）存在点P，使得PA＋PB＝PC．设点P对应的数为x，当点P在点A的左侧时，即x＜﹣2，∴PA＝|﹣2﹣x|＝﹣2﹣x，PB＝|1﹣x|＝1﹣x，PC＝|﹣x|＝﹣x．∵PA＋PB＝PC，∴﹣2﹣x＋1﹣x＝﹣x．解得：x＝﹣．当点P在点A的右侧，点B的左侧时，即﹣2＜x＜1，∴PA＝|﹣2﹣x|＝x＋2，PB＝|1﹣x|＝1﹣x，PC＝|﹣x|＝﹣x．∴x＋2＋1﹣x＝﹣x．解得：x＝﹣．当点P在点B的右侧时，PA＋PB＞PC，不合题意．综上，点P对应的数为﹣或﹣；（3）AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变．由（1）知：AB＝3，由（2）知：BC＝﹣1＝，∴AB﹣BC＝．∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒4单位长度的速度向右运动，∴AB＝t＋3＋4t＝5t＋3.∵点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，∴BC＝（9﹣4）t＋（﹣1）＝5t＋．∴AB﹣BC＝（5t＋3）﹣（5t＋）＝．∴AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变．∴AB﹣BC的值不会随着时间t的变化而改变且这个常数的值为．【点睛】本题主要考查了数轴两点之间的距离公式的应用，掌握根据数字的大小去掉绝对值符号，再结合已知条件列出方程并求解成为解答本题的关键．5．（2022·河北·景县第二中学七年级期中）自主学习：连接两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离．[问题1]数轴上任意两点之间的距离与这两点对应的数的关系．观察数轴如图，填空：①点与点的距离是2；②点与点的距离是________；③点与点的距离是________；[发现1]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则、两点之间的距离是________（用含，的代数式表示）如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点．[问题2]以数轴上任意两点为端点的线段中点所表示的数与这两个点对应的数的关系．①的中点表示的数是1；②的中点表示的数是________；③的中点表示的数是________；[发现2]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是________（用含，的代数式表示）[应用]在数轴上，点表示的数为6，且、两点之间的距离是9，则线段的中点表示的数是________．【答案】[问题1]②2；③4；[发现1]；[问题2]②2；③；[发现2]；[应用]或【分析】问题1：②③直接根据数轴上两点间的距离公式进行解答即可；发现1：直接根据数轴上两点间的距离公式进行解答即可；问题2：②③利用数轴计算得出中点坐标即可；发现2：利用数轴上两点间的中点坐标求解即可应用：分点N在M的左边和右边，求得N点坐标，再利用中点坐标公式求得答案即可．【详解】解：[问题1]②点与点的距离为；③点与点的距离为；[发现1]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则、两点之间的距离是（用含，的代数式表示）[问题2]②的中点表示的数是；③的中点表示的数是；[发现2]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是．[应用]由题意得，解得：或，线段中点表示的数为或，【点睛】本题考查了数轴相关知识，解答此类题目可以采取“数形结合”的数学思想，注意分类思想的应用.6．（2021·四川·成都市三原外国语学校七年级阶段练习）如图，在数轴上所对应的数为．（1）点与点相距4个单位长度，则点所对应的数为______．（2）在（1）的条件下，如图，点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离．（3）如图，若点对应的数是10，现有点从点出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点从点出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒．在运动过程中，到的距离、到的距离以及到的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时的值；若没有，请说明理由．【答案】（1）或2；（2）4或12；（3）有，2.4或4或或6或3【分析】（1）分类讨论，分别求出点B在点A左侧以及点B在点A右侧时点B所对应的数即可．（2）分类讨论，分别求出点B对应的数为2和－6时，A、B两点之间的距离即可．（3）由题可知：点表示的数为，点表示的数为，分别表示出AP、BQ、PQ、PB，分三类讨论，分别求出①当时，②当时，③当时对应的t的值．【详解】（1）点在点左侧时，为：，点在点右侧时，为：，综上所述，点对应的数为或2．（2）①当对应的数为时，：个单位，（秒），：，∴；②当对应的数为2时，：个单位，（秒），：，．综上所述，，两点之间的距离为4或12．（3）在运动过程中，会有两段距离相等的时候，由题可知：点表示的数为，点表示的数为，∴，，，，分三种情况：①当时，为中点或与重合，若为中点，如图，则，即，解得，若与重合，如图，则，即，解得．②当时，为中点或，重合，若为中点，如图，则，即，解得，若，重合，则（不合题意）③当时，为中点或，重合，若为中点，如图，则，即，解得，若，重合，则，即，解得．综上所述，当或4或或6或3时，线段，，中存在两条线段相等．【点睛】本题主要考查数轴上两点间距离的表示方法，熟记数轴上两点间距离的表示方法以及分类讨论思想的运用是解题关键．7．（2022·河北·邯郸市第十一中学七年级阶段练习）在数轴上标出数所对应的点；两点间距离=____；两点间距离=；数轴上有两点，点对应的数为，点对应的数为，那么两点之间的距离=；若动点分别从点同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，设运动时间为，问：①为何值时两点重合？②为何值时两点之间的距离为？【答案】（1）见解析；（2）；（3）（4）①；②2或4【分析】直接根据数轴上的点与有理数的对应关系即可得出答案；用数轴上右边的点对应的有理数减去左边点对应的有理数即可求出距离；根据距离等于两点表示的数之差的绝对值即可得出答案；①分别用含t的代数式表示出P，Q表示的有理数，通过题意建立方程，解方程即可；②根据两点之间的距离为1，建立方程，解方程即可．【详解】如图，之间的距离为，B，C两点间距离为；两点之间的距离为；①设点表示的数为，点表示的数为，令解得，②间的为，令解得．【点睛】本题主要考查数轴上的点与有理数，掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的关键．8．（2022·四川·达州市第一中学校七年级期中）已知数轴上，M表示－10，点N在点M的右边，且距M点40个单位长度，点P，点Q是数轴上的动点．（1）直接写出点N所对应的数；（2）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒向左运动，设点P、Q在数轴上的D点相遇，求点D的表示的数；（3）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒向右运动，问经过多少秒时，P，Q两点重合？【答案】（1）30；（2）15；（3）20秒【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离得出结果；（2）利用时间=路程÷速度和算出相遇时间，再计算出点D表示的数；（3）利用时间=路程÷速度差算出相遇时间即可．【详解】解：（1）10+40=30，∴点N表示的数为30；（2）40÷（3+5）=5秒，10+5×5=15，∴点D表示的数为15；（3）40÷（53）=20，∴经过20秒后，P，Q两点重合．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握相遇问题和追击问题之间的数量关系．9．（2021·山东·夏津县万隆实验中学七年级期中）如图在数轴上点表示数，点表示数、、满足；（1）点表示的数为______；点表示的数为______；（2）若在原点处放一挡板．一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动：同时另小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒）．①当时，甲小球到原点的距离＝_______；乙小球到原点的距离＝________．当时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=______．②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由，若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【答案】（1）2，4；（2）①3，2；5，2；②t=秒或t=6秒．【分析】（1）利用绝对值的非负性即可确定出a，b即可；（2）①根据运动确定出运动的单位数，即可得出结论．②根据（I）0＜t≤2，（Ⅱ）t＞2，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵|a+2|+|b4|=0；∴a=2，b=4，∴点A表示的数为2，点B表示的数为4，故答案为：2，4；（2）①当t=1时，∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，∴甲小球1秒钟向左运动1个单位，此时，甲小球到原点的距离=3，∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴乙小球1秒钟向左运动2个单位，此时，乙小球到原点的距离=42=2，故答案为：3，2；当t=3时，∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，∴甲小球3秒钟向左运动3个单位，此时，甲小球到原点的距离=5，∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴乙小球2秒钟向左运动4个单位，此时，刚好碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动1秒钟，运动2个单位，∴乙小球到原点的距离=2．故答案为：5，2；②当0＜t≤2时，得t+2=42t，解得t=；当t＞2时，得t+2=2t4，解得t=6．故当t=秒或t=6秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．故答案为：t=秒或t=6秒．【点睛】此题主要考查了数轴，点的运动特点，解本题的关键是抓住运动特点确定出结论．10．（2022·四川阿坝·七年级期末）如图：在数轴上点表示数点示数点表示数是最大的负整数，在左边两个单位长度处，在右边个单位处；_；_；若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数___表示的点重合；点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为，则__，__，___；（用含的代数式表示）请问:的值是否随着时间的变化而改变﹖若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不会随着时间t的变化而改变，该值是21．【分析】（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据在左边两个单位长度处，在右边个单位处即可得出a、c的值；（2）根据折叠的性质结合a、b、c的值，即可找出与点B重合的数；（3）根据运动的方向和速度结合a、b、c的值，即可找出t秒后点A、B、C分别表示的数，利用数轴上两点间的距离即可求出AB、AC、BC的值；（4））将（3）的结论代入中，可得出的值不会随着时间的变化而变化，即为定值，此题得解．【详解】（1）b是最大的负整数，在左边两个单位长度处，在右边个单位处，（2）将数轴折叠，使得点与点重合（3）点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动t秒钟过后，根据得：，，又，，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为，，，；（4）由（3）可知：，的值为定值21．故答案为：（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不会随着时间t的变化而改变，该值是21．【点睛】本题考查了数轴及两点间的距离，根据点运动的方向和速度找出点A、B、C运动后代表的数是解题的关键．11．（2021·广东·绿翠现代实验学校七年级期中）如图，点A、B是数轴上的两个点，它们分别表示的数是和1．点A与点B之间的距离表示为AB．（1）AB=．（2）点P是数轴上A点右侧的一个动点，它表示的数是，满足，求的值．（3）点C为6．若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：的值是否随着运动时间t（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1）3.（2）存在．x的值为3.(3)不变，为2.【分析】（1）根据非负数的性质和数轴上两点间距离即可求解；（2）分两种情况讨论，根据数轴上两点间的距离公式列方程即可求解；(3)先确定运动t秒后，A、B、C三点对应的数，再根据数轴上两点间的距离公式列方程即可求解．【详解】解：（1）∵点A、B是数轴上的两个点，它们分别表示的数是和1∴A，B两点之间的距离是1（2）=3．故答案为3．（2）存在．理由如下：①若P点在A、B之间，x+2+1x=7，此方程不成立；②若P点在B点右侧，x+2+x1=7，解得x=3．答：存在．x的值为3．（3）的值不随运动时间t（秒）的变化而改变，为定值，是2.理由如下：运动t秒后，A点表示的数为2t,B点表示的数为1+2t,C点表示的数为6+5t.所以AB=1+2t(2t)=3+3t.BC=6+5t(1+2t)=5+3t.所以BCAB=5+3t33t=2.【点睛】本题考查了一元一次方程、数轴、非负数、两点之间的距离，解决本题的关键是数轴上动点的运动情况．12．（2022·江西·七年级期末）已知数轴上点在原点的左边，到原点的距离为4，点在原点右边，从点走到点，要经过16个单位长度．（1）写出、两点所对应的数；（2）若点也是数轴上的点，点到点的距离是点到原点距离的3倍，求对应的数；（3）已知点从点开始向右出发，速度每秒1个单位长度，同时从点开始向右出发，速度每秒2个单位长度，设线段的中点为，线段的值是否会发生变化？若会，请说明理由，若不会，请求出求其值．【答案】（1）4，12；（2）6或3；（3）不变化，6【分析】（1）直接根据实数与数轴上各点的对应关系求出A，B表示的数即可；（2）设点C表示的数为c，再根据点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍列出关于c的方程，求出c的值即可；（3）设运动时间为t秒，则AM=t，NO=12+2t，再根据点P是NO的中点用t表示出PO的长，再求出POAM的值即可．【详解】（1）∵数轴上点A在原点左边，到原点的距离为4个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过16个单位长度，∴点A表示4，点B表示12；（2）设点C表示的数为c，∵点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，∴|c12|=3|c|，∴c12=3c或c12=3c，解得c=6或c=3；（3）不变化．设运动时间为t秒，则AM=t，NO=12+2t，∵点P是NO的中点，∴PO=6+t，∴POAM=6+tt=6，∴POAM的值没有变化．【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上各点与全体实数是一一对应关系是解答此题的关键．13．（2021·湖北武汉·七年级期中）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化．材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解．（1）|x﹣3|＝4解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1（2）|x+2|＝5解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5．∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值．由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值．∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位．故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5．阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为；（2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值．（3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围．【答案】（1）5；（2）﹣7或8；（3）当x＝，最小值为；当x＝时，最小值为【分析】（1）由阅读材料直接可得；（2）由已知可得：x=31=4或x=10+1=11，当y=3时，|y3|+|y+2|+|y5|有最小值7；（3）当n是奇数时，中间的点为，所以当x=时，|x1|+|x2|+…+|xn|=0+2+4+…+（n3）+（n1）=；当n是偶数时，中间的两个点相同为，所以当x=时，|x1|+|x2|+…+|xn|=1+3+5+…+（n3）+（n1）=．【详解】解：（1）由阅读材料可得：：|x﹣3|+|x+2|的最小值为5，故答案为5；（2）|x+3|+|x﹣10|的最小值为13，∵|x+3|+|x﹣10|＝15，∴x＝﹣3﹣1＝﹣4或x＝10+1＝11，∵|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|表示数轴上表示y到﹣2，3，5之间的距离和最小，∴当y＝3时，有最小值7，∴x﹣y＝﹣7或x﹣y＝8；（3）|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小，当n是奇数时，中间的点为，∴当x＝时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝0+2+4+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝，∴最小值为；当n是偶数时，中间的两个点相同为，∴当x＝时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝1+3+5+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝，∴最小值为．【点睛】本题考查数轴的性质；理解阅读材料的内容，掌握绝对值的几何意义，利用数轴上点的特点解题是关键．14．（2021·江苏苏州·七年级期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动.(1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇?(2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度;(3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值.【答案】（1）18秒相遇；(2)Q的运动速度为11cm/s或者cm/s；(3)2.【分析】（1）设运动时间为t秒，先求出OC=90，根据速度乘以时间得到OP=2t，CQ=3t，再根据相遇公式路程和等于距离列方程解答即可；（2）先求出线段OB的长度得到中点Q所表示的数，再根据只存在两种情况，求出点P的运动时间即点Q的运动时间即可得到速度；（3）分别求出OB、AP及EF的长，即可代入计算得到答案.【详解】（1）设运动时间为t秒，此时OP=2t，OQ=3t，∵cm，cm，cm，∴OC=OA+AB+BC=90cm，∴2t+3t=90，t=18，∴经过18秒两点相遇；（2）∵点运动到的位置恰好是线段的中点，OB=40+30=70，∴点Q表示的数是35，此时CQ=903