第06讲圆锥的体积-六年级下册数学寒假自学课（苏教版）

第06讲

圆锥的体积【知识梳理】1、圆锥的体积计算公式。圆锥的体积=底面积×高×13，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=12、圆柱和圆锥的关系。（1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积少23（2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。（3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。【典例精讲】例1一个圆柱底面直径为2厘米，高是5厘米，把它浸没在一个盛有水的圆柱形玻璃容器中，量得水面上升了3厘米。再把一个底面直径为6厘米的圆锥浸没在水中，量得水面又上升了9厘米。求圆锥的体积。（容器中两次水都没有溢出）【答案】3.14×（2÷2）2×5÷3×9＝3.14×1×5÷3×9＝3.14×5×3＝3.14×15＝47.1（立方厘米）答：圆锥的体积是47.1立方厘米。例2粮仓里有一圆锥形小麦堆。淘气想估计这堆小麦有多重，他量出小麦堆的底面周长大约为18米，高大约为2米。网上查找资料得知，每立方米小麦的质量大约为800千克，请帮淘气估一估，这堆小麦的质量大约多重？【分析】先利用圆的周长公式r＝C÷2π求出小麦堆的底面半径，进而利用圆锥的体积V＝Sh即可求出这堆小麦的体积，用这堆小麦的体积乘每立方米小麦的质量，就是这堆小麦的总质量。【详解】底面半径：18÷（2×3.14）＝18÷6.28≈3（米）这堆小麦的总重量：×3.14×32×2×800＝3.14×6×800＝18.84×800＝15072（千克）答：这堆小麦质量大约是15072千克。【点睛】此题主要考查圆锥的体积计算在实际生活中的应用，关键是先求出小麦堆的底面半径，进而逐步得解。【过关检测】一、选择题1．一个底面半径为12厘米的圆柱形杯中装有水，里面有一个底面直径是12厘米，高是18厘米的圆锥形铁块（完全浸没在水中），当铁块从杯中取出后，杯中的水面会下降（

）厘米。A．2 B．1.5 C．1 D．0.52．将下图中的直角三角形ABC以直角边AB所在的直线为轴旋转一周，求所得图形的体积，列式正确的是（

）。A． B．C． D．3．下图中3个图形的体积比是（

）。A．3∶9∶1 B．1∶9∶1 C．1∶3∶1 D．3∶1∶14．一个圆锥的体积是113.04cm3，底面积是28.26cm2，它的高是（

）。A．4cm B．8cm C．12cm5．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去的体积是圆锥体积的（

）倍。A．3 B．2 C．9二、填空题6．一个圆柱体铁块的侧面积是75.36cm2，底面半径是2cm，把它铸成一个体积和底面积都不变的圆锥，这个圆锥的高是()cm。7．将一个两条直角边分别是3厘米和4厘米的直角三角形绕其中一条直角边所在直线旋转一周，得到一个()，所得立体图形的高是()厘米，底面半径是()厘米，体积是()立方厘米。8．如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水高()厘米。9．一辆货车车厢是一个长方体，它的长是4米，宽是1.5米，高是4分米，装满一车沙，卸后堆成一个高是5分米的圆锥形，它的底面积是()平方米。10．把一个高为的圆柱截成两个相等的小圆柱后，表面积增加，把这样的一个小圆柱削成最大的圆锥，圆锥的体积是()。三、计算题11．计算下面组合图形的体积。四、解答题12．绕一个直角三角形（如图）的长直角边旋转一周，得到一个立体图形。（1）这个立体图形是什么？（2）这个立体图形的体积是多少？（单位：厘米，π≈3.14）13．一辆长6米，宽1.5米，高3米的长方体货车车厢，装满一车厢沙子卸下后堆成一个高为2米的圆锥体沙堆，这个沙堆的底面积是多少平方米？参考答案1．B【分析】根据题意，水面下降的部分的体积等于这个圆锥形铁块的体积，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出铁块的体积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积；代入数据，即可求出杯中的水面会下降多少厘米。【详解】3.14×（12÷2）2×18×÷（3.14×122）＝3.14×36×18×÷（3.14×144）＝113.04×18×÷452.16＝2034.72×÷452.16＝678.24÷452.16＝1.5（厘米）一个底面半径为12厘米的圆柱形杯中装有水，里面有一个底面直径是12厘米，高是18厘米的圆锥形铁块（完全浸没在水中），当铁块从杯中取出后，杯中的水面会下降1.5厘米。故答案为：B【点睛】熟练掌握和利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。2．C【分析】根据题意可知，以直角三角形AB为轴旋转一周，所得图形是底面半径是5，高是6的圆锥体，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。【详解】根据分析可知，旋转后的体积是：3.14×52×6×。故答案为：C【点睛】明确旋转后的图形是圆锥体，圆锥的底面半径和高的确定是解答本题的关键。3．C【分析】等积等底的圆锥的高是圆柱高的3倍，由此将圆锥转化为与它等底等高的圆柱，再比较即可。【详解】观察发现：圆柱、圆锥的底面积相等，圆锥的体积相当于高是12÷3＝4，底面直径是9的圆柱的体积；由于底面积相等，体积比等于高的比，由此可得体积比为：4∶12∶4＝1∶3∶1。故答案为：C【点睛】本题主要考查圆锥、圆柱的体积关系，也可分别计算出体积，再求出比。4．C【分析】根据圆锥的体积公式：，那么，由此代入数据计算解答即可。【详解】（厘米）故答案为：C。【点睛】此题主要根据圆锥的体积计算方法解决问题，注意不要漏除以或乘3。5．B【分析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥与圆柱底面积和高都是相等的，所以圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此解答。【详解】由分析可知，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，那么削去的体积就是圆锥体积的3－1＝2倍。故答案为：B【点睛】此题考查了圆柱和圆锥体积之间的关系，明确圆柱和削下来的圆锥底面积和高都相等是解题关键。6．18【分析】由圆柱的侧面积75.36cm、底面半径2cm，可以求出圆柱的高是75.36÷（3.14×2×2）＝6（cm）。当把这个圆柱铸成体积和底面积都不变的圆锥时，利用、，从而推导出圆锥的高是圆柱高的3倍，即18cm。【详解】＝75.36÷（3.14×2×2）＝75.36÷12.56＝6（cm），＝6×3＝18（cm）。【点睛】理解体积相等、底面积相等的圆柱和圆锥，圆锥的高是是圆柱高的3倍，是解答本题有关键。7．圆锥体

3

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50.24【分析】根据题意，如果以3厘米长的直角边为轴旋转一周，得到一个底面半径是4厘米，高3厘米的圆锥；如果以4厘米长的直角边为轴旋转一周，得到一个底面半径是3厘米，高4厘米的圆锥；根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出两个圆锥的体积。【详解】×3.14×42×3＝3.14×16＝50.24（立方厘米）×3.14×32×4＝9.42×4＝37.68（立方厘米）【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。8．4【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出甲容器的体积，甲容器的水倒入乙容器，体积不变，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，代入数据，即可解答。【详解】3.14×（10÷2）2×12×÷[3.14×（10÷2）2]＝3.14×25×12×÷[3.14×25]＝12×＝4（厘米）【点睛】利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式进行解答，关键是熟记公式，灵活运用。9．14.4【分析】根据长方体体积公式：长×宽×高，代入数据，求出这车沙子的体积；由于沙子体积不变，即长方体体积等于圆锥的体积；根据圆锥体的体积公式：底面积×高×，底面积＝圆柱体积÷高×3，代入数据，即可解答。【详解】4分米＝0.4米；5分米＝0.5米4×1.5×0.4÷0.5×3＝6×0.4÷0.5×3＝2.4÷0.5×3＝4.8×3＝14.4（平方米）【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式和圆锥体体积公式是解答本题的关键，注意单位名数的统一。10．15【分析】把一个高是的圆柱截成两个相等的小圆柱后，增加的表面积为圆柱底面积的2倍，根据圆柱的体积公式，算出大圆柱的体积；小圆柱的底面积不变，高为原来圆柱高的，根据圆柱的体积公式，先算出小圆柱的体积，再乘即为圆锥的体积，由此即可解答。【详解】6×（30÷2）××＝6×15××＝15（）【点睛】此题考查了圆柱和圆锥的体积公式的灵活应用，抓住圆柱的切割特点得出圆柱的底面积是解决本题的关键。11．21980cm3【分析】组合图形的体积＝底面直径是20cm，高是60cm的圆柱的体积＋底面直径是20cm，高是30cm的圆锥的体积；根据圆柱的体积公式：底面积×高；圆锥的体积公式：底面积×高×，代入数据，即可解答。【详解】3.14×（20÷2）2×60＋3.14×（20÷2）2×30×＝3.14×100×60＋3.14×100×30×＝314×60＋314×30×＝18840＋9420×＝18840＋3140＝21980（cm3）12．（1）圆锥体；（2）37.68立方厘米【分析】（1）直角三角形旋转后得到一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆锥体；（2）圆锥体底面半径是3厘米，高是4厘米，根据圆锥体体积＝，代数解答即可。【详解】（1）答：绕一个直角三角形（如图）的长直角边旋转一周，得到一个圆锥体。（2）3.14×32×4×＝28.26×4×＝37