陕西省西安市莲湖区2024-2025学年高二数学第二学期期末复习检测模拟试题含解析

陕西省西安市莲湖区2024-2025学年高二数学第二学期期末复习检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图所示，圆为正三角形的内切圆，为切点，将一颗豆子随机地扔到该正三角形内，在已知豆子落在圆内的条件下，豆子落在（阴影部分）内的概率为（）A． B． C． D．2．已知，则（）A． B． C． D．或3．若是两个非零向量，且，则与的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．设，，则A． B．， C． D．，5．用反证法证明命题“若，则全为”，其反设正确的是（）A．至少有一个不为 B．至少有一个为C．全不为 D．中只有一个为6．根据下表样本数据689101265432用最小二乘法求得线性回归方程为则当时，的估计值为A．6.5 B．7 C．7.5 D．87．已知复数，，.在复平面上，设复数，对应的点分别为，，若，其中是坐标原点，则函数的最大值为（）A． B． C． D．8．函数（）A． B．C． D．9．已知函数，则()A． B．e C． D．110．在三棱柱面，，，，则三棱柱的外接球的表面积为（）A． B． C． D．11．在平面直角坐标系中，，，，，若，，则的最小值是（）A.B.C.D.12．在上可导的函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.14．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数k的取值范围是________．15．若，则展开式中的常数项为______。16．从集合的子集中选出个不同的子集，需同时满足以下两个条件：①、都至少属于其中一个集合；②对选出的两个子集、，必有或．那么，共有______种不同的选法．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在极坐标系中，极点为0，已知曲线与曲线交于不同的两点.求：(1)的值；(2)过点且与直线平行的直线的极坐标方程．18．（12分）一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能得出正确答案的概率分别为p、、，且每题答对与否相互独立．(1)当时，求考生填空题得满分的概率；(2)若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求的p值．19．（12分）已知函数，，（1）当时，求函数的最小值．（2）当时，对于两个不相等的实数，，有，求证：．20．（12分）已知抛物线，过定点作不垂直于x轴的直线，交抛物线于A，B两点.（1）设O为坐标原点，求证：为定值；（2）设线段的垂直分线与x轴交于点，求n的取值范围；（3）设点A关于x轴的对称点为D，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.21．（12分）随着生活水平的提高，越来越多的人参与了潜水这项活动.某潜水中心调查了100名男性与100女性下潜至距离水面5米时是否耳鸣，下图为其等高条形图：①绘出列联表；②根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系？附：，其中.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.82822．（10分）小王每天自己开车上班，他在路上所用的时间（分钟）与道路的拥堵情况有关.小王在一年中随机记录了200次上班在路上所用的时间，其频数统计如下表，用频率近似代替概率.（分钟）15202530频数（次）50506040（Ⅰ）求小王上班在路上所用时间的数学期望；（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路拥堵情况彼此独立，设一周内上班在路上所用时间不超过的天数为，求的分布列及数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

设正三角形的边长为，内切圆半径为，求得内切圆半径，即可得阴影部分的面积；再求得三角形的面积，结合几何概型的求法即可得解.【详解】设正三角形的边长为，内切圆半径为，则由三角形面积公式可得，解得，则，所以由几何概型概率可得落在阴影部分的概率为,故选：A.本题考查了等边三角形内切圆的性质应用，几何概型概率求法，属于基础题.2、B【解析】分析：根据角的范围利用同角三角函数的基本关系求出cos（α）的值，再根据sinα=sin[（α）+]，利用两角差的正弦公式计算求得结果．详解：∵，，∴∈（，π），∴cos（）=﹣，或（舍）∴sinα=sin[（）+]=sin（）cos+cos（）sin=-=，故选B．点睛：本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，解题关键根据角的取值范围对cos（）的值进行取舍，属于中档题．3、A【解析】

画出图像：根据计算夹角为，再通过夹角公式计算与的夹角.【详解】形成一个等边三角形，如图形成一个菱形.与的夹角为故答案选A本题考查了向量的加减和夹角，通过图形可以简化运算.4、A【解析】

利用一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性，求出集合，，然后进行交集的运算即可。【详解】，；，故选．本题主要考查区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域及单调性，以及交集的运算．5、A【解析】由反证法的定义：证明命题“若，则全为”，其反设为至少有一个不为.本题选择A选项.6、C【解析】

先根据回归直线方程过样本点的中点求解出，然后再代入求的值.【详解】因为，所以，即，所以回归直线方程为：，代入，则，故选：C.本题考查依据回归直线方程求估计值，难度较易.回归直线方程一定过样本点的中心，也就是，这一点要注意.7、B【解析】

根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，，，且，所以，，化简得，，当时，取得最大值为.本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.8、A【解析】

由于函数为偶函数又过（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.9、C【解析】

先求导，再计算出，再求.【详解】由题得，所以.故选：C.本题主要考查导数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力，属基础题.10、C【解析】

利用余弦定理可求得，再根据正弦定理可求得外接圆半径；由三棱柱特点可知外接球半径，求得后代入球的表面积公式即可得到结果.【详解】且由正弦定理可得外接圆半径：三棱柱的外接球半径：外接球表面积：本题正确选项：本题考查多面体外接球表面积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，从而利用底面三角形外接圆半径和三棱柱的高，通过勾股定理求得外接球半径.11、A【解析】试题分析：设P（x,y）,则，，所以，所以P点轨迹为，根据条件，可以整理得到：，所以M,Q,N三点共线，即Q点在直线MN上，由M（8，0），N（0，8）可知Q点在直线上运动，所以的最小值问题转化为圆上点到直线的最小距离，即圆心到直线的距离减去圆的半径，。考点：1.平面向量的应用；2.直线与圆的位置关系。12、B【解析】

分别讨论三种情况，然后求并集得到答案.【详解】当时：函数单调递增，根据图形知：或当时：不成立当时：函数单调递减根据图形知：综上所述：故答案选B本题考查了根据图像判断函数的单调性，意在考查学生的读图能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析】

先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，若选出的2名学生都是女生，有种情况，所以所求的概率为.计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.14、【解析】由题意可知，故答案为.15、-1【解析】

根据定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项的值．【详解】若，

则，即a=2，

∴展开式的通项公式为：令6-2r=0，解得r=3；

∴展开式的常数项为：

故答案为：-1．本题考查了二项式展开式的通项公式与定积分的计算问题，是基础题目．16、【解析】

由题意可知，集合和可以互换，只需考查，由题意可知，分为二元集、三元集和四元集三种情况，利用真子集的个数公式可得出对应的集合的个数，然后利用分类计数原理可得出答案.【详解】由于或，集合和可以互换，现考查，且，则，由题意知，.①当为二元集时，，，则集合的个数为；②当为三元集时，若，，则集合的个数为；若，同理可知符合条件的集合也有个；③若为四元集时，，，则集合的个数为.综上所述，共有种.故答案为：.本题考查了集合的化简与运算以及集合真子集个数的求法，同时也考查了分类讨论思想的应用，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

试题分析：（1）把曲线C1和曲线C2的方程化为直角坐标方程，它们分别表示一个圆和一条直线．利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d的值，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值．

（2）用待定系数法求得直线l的方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得l的极坐标方程试题解析：（1）∵，∴，又∵，可得,∴，圆心(0,0)到直线的距离为∴．（2）∵曲线的斜率为1，∴过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为，∴直线的极坐标为，即．18、（1）；（2）【解析】

（1）设考生填空题得满分为事件A，利用相互独立事件概率乘法公式能求出考生填空题得满分的概率．（2）设考生填空题得15分为事件B，得10分为事件C，由考生填空题得10分与得15分的概率相等，利用互斥事件概率加法公式能求出．【详解】设考生填空题得满分、15分、10分为事件A、B、C（1）（2）因为，所以得本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19、（1）；（2）见解析【解析】

（1）先由得，对函数求导，用导数的方法研究其单调性，即可求出最值；（2）先由，得到，对函数求导，得到其单调区间，再设，令，用导数的方法研究函数的单调性，进而可证明结论成立.【详解】（1）当时，，∴，由得；由得；∴在上单调递减，在上单调递增，∴.（2）当时，，对于两个不相等的实数，，有，∵，由得；由得；∴在上单调递增，在上单调递减，不妨设，令，∴，当时，，，，∴，∴在单调递减，∴，即，因为，则，由以上可知，∵在上单调递增，在上单调递减，∴，又，，在上单调递减，所以，因此.本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.20、（1）见解析；（2）；（3）定点为。【解析】

（1）设直线的方程为，直线方程与抛物线方程联立消元得的二次方程，判别式，设，由韦达定理得，计算并代入即得；（2）写出线段的垂直平分线方程，令求出，利用可得的范围．（3）求出点坐标，求出直线方程，把分别用代入并化简，然后再代入(1)中的，整理后可知直线过定点．【详解】（1）设过点的直线的方程为，由得，设，则，∴为定值；（2）由（1）知的中点坐标为，则的中垂线方程为：，令得，又，即，∴。（3）点A关于x轴的对称点为，则直线方程为：，整理得，而，∴直线方程为，∴直线过定点，定点为。本题考查直线与抛物线相交问题，方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，用直线方程与抛物线方程联立消元后用韦达定理得，题中其他关系都向靠拢，最后代入可得结论．21、①答案见解析；②能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系.【解析】分析：①.由题意结合等高条形图求得相应的人数，然后绘制列联表即可；②.结合①中的列联表计算的观测值：，则能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系.详解：①由男女生各100人及等高条形图可知耳鸣的男生有人，耳鸣的女生有人，∴无耳鸣的男生有100-30=70人，无耳鸣的女生有100-50=50人，所以列联表如下：有耳鸣无耳鸣总计男3070100女5050100总计80120200②公式计算的观测值：，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系.点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析