中学生标准学术能力诊断2025年高二数学第二学期期末联考试题含解析

中学生标准学术能力诊断2025年高二数学第二学期期末联考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲、乙等人在南沙聚会后在天后宫沙滩排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（）．A．种 B．种 C．种 D．种2．已知各项不为的等差数列，满足，数列是等比数列，且，则（）A． B． C． D．3．如图，和都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在内”，表示事件“豆子落在内”，则（）A． B． C． D．4．“中国梦”的英文翻译为“”，其中又可以简写为，从“”中取6个不同的字母排成一排，含有“”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（）A．360种 B．480种 C．600种 D．720种5．以为焦点的抛物线的标准方程是（）A． B． C． D．6．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩，已知，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（）A．0.15 B．0.50 C．0.70 D．0.857．若是极坐标系中的一点，则四个点中与点重合的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．已知函数的导数是，若，都有成立，则()A． B．C． D．9．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（）A． B． C． D．10．已知,,,则实数的大小关系是()A． B． C． D．11．设A、B是非空集合，定义：且.已知，，则等于（）A． B． C． D．12．设，则的展开式中的常数项为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设每门高射炮命中飞机的概率为，且每一门高射炮是否命中飞机是独立的，若有一敌机来犯，则需要______门高射炮射击，才能以至少的概率命中它．14．已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为__________．15．在极坐标系中，已知两点，，则线段的长度为__________.16．函数，当时，恒成立，求．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题:函数对任意均有;命题在区间上恒成立.（1）如果命题为真命题，求实数的值或取值范围；（2）命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.18．（12分）为了响应党的十九大所提出的教育教学改革，某校启动了数学教学方法的探索,学校将髙一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班40人，甲班按原有传统模式教学，乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60），[60,70)，[70,80），[80，90)，[90,100]进行分组,绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制）为优秀，，(I)完成表格,并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”〔Ⅱ）从乙班[70,80），[80，90)，[90,100]分数段中,按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言,记来自[80，90)发言的人数为随机变量x，求x的分布列和期望.19．（12分）已知函数.（1）若函数在处的切线方程为，求的值；（2）若函数无零点，求的取值范围.20．（12分）已知向量，设函数（1）求的最小正周期（2）求函数的单调递减区间（3）求在上的最大值和最小值21．（12分）总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示：第x度y/cm0479111213作出这组数的散点图如下(1)请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第144天这株幼苗的高度(结果保留1位小数).附：，参考数据：140285628322．（10分）某校高二理科1班共有50名学生参加学业水平模拟考试，成绩（单位：分，满分100分）大于或等于90分的为优秀，其中语文成绩近似服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如图.（1）这50名学生中本次考试语文、数学成绩优秀的大约各有多少人？（2）如果语文和数学两科成绩都优秀的共有4人，从语文优秀或数学优秀的这些同学中随机抽取3人，设3人中两科都优秀的有X人，求X的分布列和数学期望；（3）根据（1）（2）的数据，是否有99%以上的把握认为语文成绩优秀的同学，数学成绩也优秀？语文优秀语文不优秀合计数学优秀数学不优秀合计附：①若，则，；②；③0.10.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题意利用捆绑法求解，甲、乙两人必须相邻的方法数为种．选．2、B【解析】根据等差数列的性质得：，变为：，解得（舍去），所以，因为数列是等比数列，所以，故选B.3、D【解析】如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，包含个小三角形，同时又在内的小三角形共有个，所以，故选D.4、C【解析】从其他5个字母中任取4个,然后与“”进行全排列,共有,故选B.5、A【解析】

由题意和抛物线的性质判断出抛物线的开口方向，并求出的值，即可写出抛物线的标准方程．【详解】因为抛物线的焦点坐标是，

所以抛物线开口向右，且=2，

则抛物线的标准方程.

故选：A．本题考查抛物线的标准方程以及性质，属于基础题．6、D【解析】

根据正态密度曲线的对称性得出，于是可计算出，于此可得出结果．【详解】由于，由正态密度曲线的对称性可得，因此，，故选D.本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，解题的关键在于利用正态密度曲线的对称性将所求概率转化为已知区间概率进行计算，属于基础题．7、C【解析】

分别将各点化为直角坐标即可判断【详解】P（2，）化直角坐标为，即为同理化直角坐标分别为则与点P重合的点有3个．故选：C．本题考查了极坐标与直角坐标互化公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8、D【解析】分析：由题意构造函数，结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果.详解：令，则：，由，都有成立，可得在区间内恒成立，即函数是区间内单调递减，据此可得：，即，则.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.9、B【解析】试题分析：记“系统发生故障、系统发生故障”分别为事件、，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件，则，解得，故选B．考点：对立事件与独立事件的概率．10、A【解析】

容易得出30.6＞1，0＜0.63＜1，log0.63＜0，从而可得出a，b，c的大小关系．【详解】∵30.6＞30＝1，0＜0.63＜0.60=1，log0.63＜log0.61＝0；∴a＞b＞c．故选：A．本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记单调性是关键，是基础题11、A【解析】求出集合中的函数的定义域得到：，即可化为或解得，即，则故选12、B【解析】

利用定积分的知识求解出，从而可列出展开式的通项，由求得，代入通项公式求得常数项.【详解】展开式通项公式为：令，解得：，即常数项为：本题正确选项：本题考查二项式定理中的指定项系数的求解问题，涉及到简单的定积分的求解，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项公式的形式.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设需要门高射炮，由题意得出，解出的取值范围，可得出正整数的最小值.【详解】设需要门高射炮，则命不中的概率为，由题意得出，得，解得，而，因此，至少需要门高射炮.故答案为：.本题考查独立事件概率乘法公式的应用，在涉及“至少”问题时，可以利用对立事件的概率公式来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.14、【解析】分析：作出不等式对应的平面区域，利用的几何意义，即可求解．详解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由，得表示，斜率为-1纵截距为z的一组平行直线，

平移直线，当直线经过点B时，直线的截距最小，此时最小，

由，解得，

此时．

故答案为.点睛：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．15、4【解析】

可将点P和点Q先化为直角坐标系下的点，从而利用距离公式求解.【详解】根据，可将化为直角坐标点为，将化为直角坐标点为，从而.本题主要考查极坐标点和直角坐标点的互化，距离公式，难度不大.16、【解析】试题分析：由题意得，，因此，从而，考点：二次函数性质三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）根据为真命题先判断出的单调性，然后利用分析的取值或取值范围；（2）先分别求解出为真时的取值范围，然后根据含逻辑联结词的复合命题的真假判断出的真假，从而求解出的取值范围.【详解】（1）在上单调递增则对恒成立∴；（2）在区间上恒成立，即在区间上恒成立，命题为真命题：即，所以，由命题“”为真命题，“”为假命题知一真一假若真假，若假真，则综上所述，.本题考查利用导数研究函数的单调性以及根据含逻辑联结词的复合命题真假求解参数范围，其中涉及到用分离参数法解决恒成立问题，属于综合型问题，难度一般.（1）注意定义法判断函数单调性的转换：在定义域内单调递增，在定义域内单调递减；（2）根据含逻辑联结词的复合命题的真假求解参数范围时，注意先判断各命题的真假.18、(1)列联表见解析，有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.(2)分布列见解析，【解析】分析：（1）先根据数据填表，再代入卡方公式求，最后与参考数据作比较得结论，（2）先根据分层抽样得抽取人数，再确定随机变量取法，利用组合数确定对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：（1)依题意得有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.（2）从乙班分数段中抽人数分别为2、3、2.依题意随机变量的所有可能取值为点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.19、（1）a=2；（2）.【解析】

（1）求得的导数，可得切线的斜率，由切线的方程可得，的方程，进而得到；（2）求得的导数，讨论，，，求得单调性和极值，最值，结合图象可得所求范围．【详解】（1）函数的导数为，由在处的切线方程为，可得，，解得，；（2）函数的导数为，当，由可得，即在递增，有且只有一个零点；当时，由，递减，，递增，可得处取得极大值，且为最大值，由题意可得，解得，综上可得时，函数无零点．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程思想和分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题．20、（1）；（2）；（3）最大值为1，最小值为【解析】

（1）先根据向量数量积坐标表示得，再根据二倍角公式以及配角公式得，最后根据正弦函数性质求周期，（2）根据正弦函数单调性得，解得结果，（3）先根据自变量范围得，再根据得最值.【详解】解：（1）由题意得三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．21、(1)更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型；(2)；预测第144天幼苗的高度大约为24.9cm.【解析】

（1）根据散点图，可直接判断出结果；（2）先令，根据题中数据，得到与的数据对，根据新的数据对，求出，，再由最小二乘法求出，即可得出回归方程，从而可求出预测值.【详解】解：(1)根据散点图，更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型；(2)令，则构造新的成对数据，如下表所示：x149162536491234567y0479111213容易计算，，.通过上表计算可得：因此∵回归直线过点(，)，∴，故y关于的回归直