上海市六十中学2025届数学高二下期末质量检测试题含解析

上海市六十中学2025届数学高二下期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°3．已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A． B．C． D．4．已知曲线：，：，则下面结论正确的是（）A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线5．若是关于x的实系数方程的一个虚数根，则（）A．， B．， C．， D．，6．若，则“成等比数列”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A．-40 B．-20 C．20 D．408．已知直线y＝3x﹣1与曲线y＝ax+lnx相切，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则的离心率是（）A． B． C． D．10．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，正面向上的次数为，则（）A． B．C． D．11．已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（）A．7 B．6 C．5 D．412．已知复数，若，则实数的值为()A． B．6 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在正方体中，与所成角的大小为________.14．8人排成前后两排，前排3人后排5人，甲、乙在后排，且不相邻的排法有几种______15．已知，则展开式中的系数为__________．16．已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：①对于任意，函数是上的减函数；②对于任意，函数存在最小值；③存在，使得对于任意的，都有成立；④存在，使得函数有两个零点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知集合（1）若，求实数的值；（2）若命题命题且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18．（12分）已知椭圆的右顶点为，定点，直线与椭圆交于另一点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）试问是否存在过点的直线与椭圆交于两点，使得成立？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.19．（12分）已知f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}.20．（12分）在中，己知（1）求的值；（2）求的值.21．（12分）已知函数.（1）画出函数的大致图象，并写出的值域；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.22．（10分）已知函数，.（1）若在区间上单调，求的取值范围；（2）设，求证：时，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集．当时，，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，当时，．则在的值域为．当时，，则有，解得，当时，，不符合题意；当时，，则有，解得．综上所述，可得的取值范围为．故本题答案选．点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该不重复不遗漏．2、B【解析】

“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论.【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设是假设三内角都大于.故选：B.本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.3、A【解析】

分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.4、C【解析】

由题意利用诱导公式得，根据函数的图象变换规律，得出结论．【详解】已知曲线，，∴把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线的图象，故选C．本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．5、D【解析】

利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．【详解】解：∵1i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，∴1i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，∴，解得b＝﹣2，c＝1．故选：D．本题考查了实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系，属于基础题．6、B【解析】分析：根据等比数列的定义和等比数列的性质，即可判定得到结论．详解：由题意得，例如，此时构成等比数列，而不成立，反之当时，若，则，所以构成等比数列，所以当时，构成等比数列是构成的等比数列的必要不充分条件，故选B．点睛：本题主要考查了等比数列的定义和等比数列的性质，其中熟记等比数列的性质和等比数列的定义的应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．7、D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.故常数项==-40+80=408、B【解析】

对函数求导，设切点，表示出切线方程，与已知切线相同，从而得到关于和的方程组，解出的值.【详解】设切点，因为，所以所以切线斜率则切线为整理得又因为切线方程为所以得，解得故选B项.本题考查利用导数的几何意义，未知切点表示切线方程，属于中档题.9、A【解析】试题分析：由题意得，因此，选A.考点：双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a，b，c的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a，b，c的不等式求解，正确把握c2＝a2＋b2的应用及e＞1是求解的关键．10、D【解析】分析：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数，由此能求出正面向上的次数的分布列详解：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数.故选D.点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．11、B【解析】

求得圆心角的弧度数，用求得扇形半径.【详解】依题意为，所以．故选B.本小题主要考查角度制和弧度制转化，考查扇形的弧长公式的运用，属于基础题.12、D【解析】

根据题目复数，且，利用复数的除法运算法则，将复数z化简成的形式，再令虚部为零，解出的值，即可求解出答案．【详解】，∵，∴，则．故答案选D．本题主要考查了利用复数的除法运算法则化简以及根据复数的概念求参数．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

记点正上方的顶点为，在正方体中，得到即是与所成的角，进而可得出结果.【详解】如图，记点正上方的顶点为，在正方体中，显然，所以即是与所成的角，易得：故答案：本题主要考查异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角，即可求解，属于常考题型.14、8640【解析】

根据题意，分2步进行分析：①，在除甲乙之外的6人中任选3人，与甲乙一起排在后排，满足甲乙不相邻，②，将剩下的三人全排列，安排在前排，由分步计数原理计算可得答案。【详解】根据题意，分2步进行分析：①，在除甲乙之外的6人中任选3人，与甲乙一起排在后排，由于甲乙不能相邻，则有C6②，将剩下的三人全排列，安排在前排，有A3则有1440×6=8640种排法；故答案为：8640。(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)。(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法。15、448.【解析】由题意可得：,则展开式的通项公式为：，令可得：,则的系数为：.16、②④【解析】函数的定义域是，且，当时，在恒成立，所以函数在上单调递增，故①错误；对于，存在，使，则在上单调递减，在上单调递增，所以对于任意，函数存在最小值，故②正确；函数的图象在有公共点，所以对于任意，有零点，故③错误；由②得函数存在最小值，且存在，使，当时，，当时，，故④正确；故填②④.点睛：本题的易错点在于正确理解“任意”和“存在”的含义，且正确区分两者的不同.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2)或.【解析】分析：（1）分a＞0和a＜0两种情况讨论是否存在满足条件的实数a的值，综合讨论结果，可得答案；（2）若p是q充分不必要条件，则A⊊B，分类讨论，可得满足条件的a的取值范围．详解：(1)当时当时显然故时，，（2）当时，则解得当时，则综上是的充分不必要条件，实数的取值范围是或.点睛：注意区别：“命题是命题的充分不必要条件”与“命题的充分不必要条件是命题”18、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，或【解析】

（1）由已知可得，再将点代入椭圆方程，求出即可；（2）设，由已知可得，结合，可得，从而有，验证斜率不存在时是否满足条件，当斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，根据根与系数关系，得出关系式，结合，即可求解.【详解】（Ⅰ）由椭圆的右顶点为知，.把点坐标代入椭圆方程，得.解得.所以椭圆的标准方程为.（Ⅱ），所以.由，得，即，所以.设，，则，，所以.①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，，这与矛盾.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.联立方程得.，.由可得，，即.整理得.解得.综上所述，存在满足条件的直线，其方程为或.本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.19、(1)见解析.(2)见解析.(3)M＝{m|0<m<1}.【解析】

（1）借助对称性作f（x）=|x2﹣4x+3|的图象即可，（2）由图象写出函数f（x）的单调区间即可；（3）作f（x）=|x2﹣4x+3|与y=m的图象，由二者的交点个数确定出集合M．【详解】(1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，∴f(x)＝∴f(x)的图象为：(2)由函数的图象可知f(x)的单调区间是(－∞，1]，(2，3)，(1，2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2，3)是减区间；(1，2]，[3，＋∞)是增区间.(3)由f(x)的图象知，当0<m<1时，f(x)＝m有四个不相等的实根，所以M＝{m|0<m<1}.（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。20、(1);(2)【解析】

（1）通过，可计算出C