2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）第1节平面向量的概念及线性运算

第1节平面向量的概念及线性运算高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引0102领航备考路径新课标核心考点20202021202220232024Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.平面向量的概念与线性运算

T3

T3

2.平面向量坐标运算

T10

T4T3

T3

3.平面向量的数量积T7

T15

T13T3T34.复数T2T2T2T1T2T2T2T1T2T1优化备考策略考情分析:平面向量和复数在高考中每年必考,一般情况下各命制一道客观题,复数多为选择题,且题号比较靠前,属于简单的保分题,主要考查复数的基本概念、四则运算.平面向量的考查则相对灵活,题型多变,难度不等.主要考点有平面向量的数量积及其应用、平面向量的坐标运算及线性运算等.平面向量有时也作为工具,与平面几何、解三角形、解析几何等知识综合呈现.复习策略:1.复数部分:本部分知识不用研究过难过深,能准确地进行复数的四则运算,并熟练记忆复数的模、共轭、实部、虚部、纯虚数等概念,明确复数的几何意义,还要关注一元二次方程复数根的问题.2.平面向量部分:(1)本部分知识较为琐碎,需要通过梳理分类,构建完整的知识体系,记忆相关的概念、公式和结论.(2)重视向量“数”“形”兼备的特点,解题时要注意数形结合思想和转化化归的数学思想.(3)重视向量的工具作用,复习时要了解并体会向量与其他知识交汇命题的特点.(4)向量数量积公式及其变形是本部分知识的重点,要理清各个知识点间的联系.掌握常用的解题技巧与规律.课标解读1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和相等向量的含义,理解向量的几何表示.2.通过实例,掌握向量的加、减运算,并理解其几何意义.3.通过实例,掌握向量的数乘运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.4.理解向量的线性运算性质及其几何意义.强基础•固本增分知识梳理1.向量的有关概念

名称定义备注向量零向量长度为

的向量叫做零向量

记作0单位向量长度等于

的向量,叫做单位向量

一个与之同向,另一个反向,这两个单位向量互为相反向量大小方向长度模01个单位长度名称定义备注平行向量(共线向量)方向

或

的非零向量叫做平行向量(共线向量)

零向量与任意向量平行相等向量长度

且方向

的向量叫做相等向量

两向量只有相等或不相等,不能比较大小相反向量长度

且方向

的向量叫做相反向量

零向量的相反向量仍是零向量相同相反相等相同相等相反

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算,叫做向量的加法

三角形法则

适用于任意两个非零向量求和

平行四边形法则

只能用于两个不共线向量求和交换律:a+b=

结合律:(a+b)+c=

b+aa+(b+c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差.求两个向量差的运算叫做向量的减法

三角形法则—数乘求实数λ与向量a的积的运算叫做向量的数乘|λa|=

;

当λ>0时,λa的方向与a的方向

;当λ<0时,λa的方向与a的方向

;当λ=0时,λa=0

λ(μa)=

;

(λ+μ)a=

;λ(a+b)=

(λ,μ为实数)

|λ||a|相同相反(λμ)aλa+μaλa+λb[教材知识深化]1.两个向量的和仍然是一个向量.2.利用三角形法则时,两向量要首尾相连,利用平行四边形法则时,两向量要有相同的起点.3.当两个向量共线时,三角形法则仍然适用,而平行四边形法则不再适用.3.共线向量定理不能漏掉这一条件向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得

.[教材知识深化]1.只有a≠0才能保证实数λ的存在性和唯一性.2.三点共线的几个等价关系b=λa自主诊断

√×√×2.(人教A版必修第二册习题6.2第10(1)题改编)已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为

.[2,6]解析

当a与b方向相同时,|a-b|=2,当a与b方向相反时,|a-b|=6,当a与b不共线时,2<|a-b|<6,所以|a-b|的取值范围为[2,6].

C

C

研考点•精准突破考点一平面向量的基本概念例1(1)(2024·重庆期末)下列说法正确的是(

)A.若|a|=|b|,则a=b,或a=-bB.单位向量的模是1,所有单位向量是相等向量C.相反向量的长度相等D.表示共线向量的有向线段在同一条直线上C解析

对于A,由|a|=|b|只知两向量长度相等,方向不确定,故A错误;对于B,因为单位向量的方向不确定,故B错误;对于C,根据定义,一对相反向量要方向相反,模相等,故C正确;对于D,因为平面向量是自由向量,故表示共线向量的有向线段既可以在一条直线上,也可以分别在平行直线上,故D错误.

C

BC

考点二平面向量的线性运算(多考向探究预测)考向1

向量加、减法的几何意义例2若向量a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则向量a与向量a+b的夹角是

.(用弧度制表示)

[对点训练2]已知|a|=