2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）第1节数列的概念与简单表示法

第1节数列的概念与简单表示法高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引0102领航备考路径新课标核心考点20202021202220232024Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.等差数列模型T14T15T17T17

T3T7,T20T18T19T122.等比数列模型T18T18

T8

T193.等差数列与等比数列的交汇模型

T17

4.数列求和问题T18T18T16

T17

T18

优化备考策略考情分析:从题型和题量上看,高考对本章的考查多为“一大一小”的形式,有时也只考一道解答题.从内容上看,小题主要考查等差、等比数列基本量的运算,等差、等比数列的性质以及数列的递推关系等.解答题主要考查数列通项公式的求解、等差(等比)数列的判断与证明、数列求和等综合问题.复习策略:1.熟记公式.要熟练记忆等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、性质等.2.重视提高运算正确率.本单元中数学运算素养无处不在,需要加强训练,如乘公比错位相减法求和等,要掌握方法,规避易错点,不但要会做,还要做对.3.关注数学文化背景的数列试题.数列非常适宜与数学文化结合命题,尤其是中国古代数学名著中涉及的一些常见数列题,解决此类问题的关键是理解题意,转化为等差或等比数列等模型.课标解读1.掌握数列的有关概念和表示方法.2.能利用an与Sn的关系以及递推关系求数列的通项公式.3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题.强基础•固本增分知识梳理1.数列的有关概念

概念含义数列按照

排列的一列数

数列的项数列中的

数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,这个式子叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n项和确定的顺序每一个数[教材知识深化]1.从函数观点看,数列{an}可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.2.对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化规律,是不能确定这个数列的.微思考数列的通项公式an=3n+5,n∈N*与函数y=3x+5有何区别与联系?提示

数列的通项公式an=3n+5,n∈N*是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的定义域是R,an=3n+5,n∈N*的图象是离散的点,且排列在y=3x+5的图象上.2.数列的表示方法

列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n,an)画在平面直角坐标系中

数列的图象是坐标系中的一些孤立的点公式法通项公式把数列的通项用公式表示给出了数列相邻两项或多项之间的关系递推公式使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表示数列的方法[教材知识深化]通项公式和递推公式的异同点:公式不同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值,直接代入求出an都可确定一个数列,也都可求出数列的任意一项递推公式可通过赋值,逐项求出数列的项,也可通过变形转化,直接求出an

S1Sn-Sn-14.数列的分类

分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an+1>ann∈N*递减数列an+1<an常数列an+1=an摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项微思考数列的单调性与对应函数的单调性相同吗?

自主诊断一、基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.(

)(2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.(

)(3)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(

)(4)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(

)√××√

ABC

3

4.(人教B版选择性必修第三册5.2.2节练习B第4题)写出数列2,0,2,0,…的一个通项公式为

.

B

研考点•精准突破考点一由an与Sn的关系求通项公式

C

(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3n2+2n,则数列{an}的通项公式an=

.6n-1解析

由题知Sn=3n2+2n,则Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1(n≥2),所以an=Sn-Sn-1=6n-1(n≥2).又a1=S1=5,符合上式,所以an=6n-1(n∈N*).变式探究本例(2)中将“Sn=3n2+2n”改为“Sn=3n2+2n+1”,其余不变,则{an}的通项公式an=

.

B

考点二由数列的递推关系求通项公式例2(1)(2024·河北唐山二模)已知数列{an}满足an+1=an+a1+2n,a10=130,则a1=(

)

A.1 B.2

C.3

D.4D

D

[对点训练2](1)(2024·福建厦门模拟)南宋数学家在《解析九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,高阶等差数列中前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,2,4,7,11,16,22,则该数列的第50项为(

)A.1224 B.1225 C.1226 D.1227C

C

考点三数列的性质(多考向探究预测)考向1

数列的周期性例3

斐波那契数列{an}可以用如下方法定义:an+2=an+1+an,且a1=a2=1,若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn},则数列{bn}的前2025项和为(

)A.2703 B.2702 C.2700 D.2701C解析

∵an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),a1=a2=1,∴数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,此数列各项除以4的余数依次构成的数列{bn}为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,又2

025=6×337+3,∴数列{bn}是以6为周期的周期数列,∴S2

025=337×(1+1