浙江省绍兴市上虞区城南中学2025届高二数学第二学期期末考试试题含解析

浙江省绍兴市上虞区城南中学2025届高二数学第二学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在的展开式中，项的系数为（）A． B．40 C． D．802．一物体在力（单位）的作用下沿与力相同的方向，从处运动到处（单位，则力所做的功为（）A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦3．函数的极值点所在的区间为（）A． B． C． D．4．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是()A．[－3,3] B．C． D．[－1,1]5．由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为()A．6 B．4 C． D．6．已知，命题“若，则.”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为3，则判断框中填入的条件可以是（）A． B． C． D．8．如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是()A．0 B．256 C．64 D．9．若函数存在增区间，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．10．已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（）A．7 B．6 C．5 D．411．双曲线与双曲线有相同的（）A．顶点 B．焦点 C．渐近线 D．离心率12．函数的单调递增区间为(

)A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有一个倒圆锥形的容器，其底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为________厘米14．若，满足不等式，则的取值范围是________.15．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）16．正方体ABCD-A1B1C1D三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且、、成等比数列.（1）求通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．（12分）设分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆的左顶点，点为椭圆的上顶点，且.（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，且在第一象限内，直线与轴相交于点，若以为直径的圆经过点，证明：点在直线上.19．（12分）已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数），设点．(Ⅰ)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程化为普通方程；(Ⅱ)设直线与曲线相交于两点，求的值．20．（12分）已知定义在上的函数的图象关于原点对称，且函数在上为减函数．（1）证明：当时，；（2）若，求实数的取值范围．21．（12分）在正四棱锥P-BCD中，正方形ABCD的边长为32，高OP=6，E是侧棱PD上的点且PE=13PD，F是侧棱PA上的点且PF=12(1)求平面EFG的一个法向量n；(2)求直线AG与平面EFG所成角θ的大小；(3)求点A到平面EFG的距离d．22．（10分）记为等差数列的前项和，已知，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求，并求的最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

通过展开二项式即得答案.【详解】在的展开式中,的系数为，故答案为D.本题主要考查二项式定理，难度很小.2、C【解析】

本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是，，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案【详解】由题意得：．故选：C．本题考查定积分的应用，物理中的变力所做的功用定积分求解是定积分在物理中的重要应用，正确解答本题的关键是理解功与定积分的对应．3、A【解析】

求出导函数，然后运用函数零点存在性定理进行验证可得所求区间．【详解】∵，∴，且函数单调递增．又，∴函数在区间内存在唯一的零点，即函数的极值点在区间内．故选A．本题考查函数零点存在性定理的应用，解答本题时要弄清函数的极值点即为导函数的零点，同时还应注意只有在导函数零点左右两侧的函数值变号时，该零点才为极值点，否则导函数的零点就不是极值点．4、D【解析】

根据充分、必要条件的定义，可知当时，恒成立，解一元二次不等式即可。【详解】依题意可知，当时，恒成立，所以，解得，故选D。本题主要考查充分、必要条件定义的应用以及恒成立问题的解法。5、D【解析】

先求可积区间，再根据定积分求面积.【详解】由,得交点为，所以所求面积为，选D.本题考查定积分求封闭图形面积，考查基本求解能力，属基本题.6、C【解析】

先写出原命题的逆命题，否命题，再判断真假即可,这里注意的取值,在判断逆否命题的真假时，根据原命题和它的逆否命题具有相同的真假性判断原命题的真假即可.【详解】解：逆命题:设，若，则a＞b,由可得，能得到a＞b，所以该命题为真命题;否命题设，若a≤b，则,由及a≤b可以得到，所以该命题为真命是题；因为原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以只需判断原命题的真假即可，当时，，所以由a＞b得到，所以原命题为假命题，即它的逆否命题为假命题;故为真命题的有2个.故选C.本题主要考查四种命题真假性的判断问题，由题意写出原命题的逆命题，否命题并判断命题的真假是解题的关键.7、B【解析】

模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件．【详解】程序运行中，变量值变化如下：，判断循环条件，满足，，判断循环条件，满足，……，，判断循环条件，满足，，，判断循环条件，这里应不满足，输出．故条件为．判断框中填入，故选：B.本题考查程序框图，解题时可模拟程序运行，根据输出结论确定循环条件．8、D【解析】分析：先确定n值，再根据赋值法求所有项的系数和.详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n＝6.令x＝1，则展开式中所有项的系数和是,选D.点睛：二项式系数最大项的确定方法①如果是偶数，则中间一项(第项)的二项式系数最大；②如果是奇数，则中间两项第项与第项的二项式系数相等并最大.9、C【解析】

先假设函数不存在增区间，则单调递减，利用的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数的取值范围.【详解】若函数不存在增区间，则函数单调递减，此时在区间恒成立，可得，则，可得，故函数存在增区间时实数的取值范围为．故选C.本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.10、B【解析】

求得圆心角的弧度数，用求得扇形半径.【详解】依题意为，所以．故选B.本小题主要考查角度制和弧度制转化，考查扇形的弧长公式的运用，属于基础题.11、C【解析】

根据选项分别写出两个双曲线的几何性质，比较后得到答案.【详解】的顶点是，焦点是，渐近线方程是，离心率是；的顶点是，焦点是，渐近线方程是，离心率，比较后可知只有渐近线方程一样.故选C.本题考查了双曲线的几何性质，属于简单题型.12、D【解析】

先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解即可．【详解】由可得或，∴函数的定义域为．设，则在上单调递减，又函数为减函数，∴函数在上单调递增，∴函数的单调递增区间为．故选D．（1）复合函数的单调性满足“同增异减”的结论，即对于函数来讲，它的单调性依赖于函数和函数的单调性，当两个函数的单调性相同时，则函数为增函数；否则函数为减函数．（2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6【解析】

设水面的高度为，根据圆锥体的体积等于全部玻璃的体积加上水的体积列方程求解即可.【详解】解：设在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为，则，解得.故答案为：6.本题考查圆锥体积和球的体积的运算，关键要找到体积之间的关系，是基础题.14、【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】解：由，满足不等式作出可行域如图，

令，目标函数经过A点时取的最小值，

联立，解得时得最小值，．

目标函数经过B点时取的最大值，

联立，解得，此时取得最大值，．

所以，z＝2x＋y的取值范围是．

故答案为：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．15、660【解析】

第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.16、60°【解析】

由正方体的性质可以知道：DC1//AB1,根据异面直线所成角的定义,可以知道∠B1AD1【详解】如图所示：连接AB1,因为DC1//AB1,所以∠AB1、AD1、D1∠B1AD1=60°故答案为60°本题考查了异面直线所成的角,掌握正方体的性质是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根据条件列方程组，根据首项和公差求通项公式；（2）数列是等比数列，根据等比数列的前项求和公式求解.【详解】设等差数列的首项为，公差，解得：；（2），，是公比为8，首项为的等比数列，.本题考查等差和等比数列的基本量的求解，属于基础题型，只需熟记公式.18、（1）；（2）见解析【解析】

（1）设，由，得，且，得，，，∴椭圆的方程为；（2）由题意，得，∴椭圆的方程，则，，，设，由题意知，则直线的斜率，直线的方程为，当时，，即点，直线的斜率为，∵以为直径的圆经过点，∴，∴，化简得，又∵为椭圆上一点，且在第一象限内，∴，，，由①②，解得，，∴，即点在直线上．19、（Ⅰ）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为：，直线的参数方程化为普通方程为：（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用两角和的余弦公式化简曲线的极坐标方程，然后两边乘以转化为直角坐标方程.利用加减消元法消掉参数，求得直线的普通方程.(Ⅱ)写出直线标准的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，化简后根据直线参数方程的几何意义，求得的值.【详解】解：(Ⅰ)曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为：，即；直线的参数方程化为普通方程为：．(Ⅱ)直线的参数方程化为标准形式为，①将①式代入，得：，②由题意得方程②有两个不同的根，设是方程②的两个根，由直线参数方程的几何意义知：．本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查参数方程转化为普通方程，考查直线标准参数方程的求法，考查直线参数方程的几何意义，属于中档题.20、（1）证明见解析；（2）．【解析】

（1）由于是奇函数，，因此要证明的不等式可变形为要证明，因此只要说明与异号，即与的大小和与的大小关系正好相反即可，这由减函数的定义可得，证明时可分和分别证明即可；（2）这个函数不等式由奇函数的性质可化为，然后由单调性可去“”，并注意将和限制在定义域内，可得出关于的不等式组，就可解得范围．【详解】（1）∵定义在上的函数的图象关于原点对称，∴为奇函数．若，则，∴，∴，∴成立．若，则，∴．∴，∴成立．综上，对任意，当时，有恒成立．（2），得，解得，故所求实数的取值范围是．本题考查函数单调性的定义以及单调性与奇偶性解不不等式，解题的关键就是利用奇偶性将不等式进行变形，结合单调性转化，同时要注意自变量要限制在定义域内，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21、（1）n=(0,1，2)（2）直线AG与平面EFG所成角θ=arcsin（3）6【解析】

(1)建立空间直角坐标系，求出EF=(3,2，-1)，EG=(-2,4，-2)，设平面EFG的一个法向量n=(x,y，z)，由n⋅EF(2)求出AG=(-8,2，2)，由sinθ=|cos<AG,n(3)求出EA=(6,2，-4)，由点A到平面EFG的距离d=【详解】(1)∵在正四棱锥P-BCD中，正方形ABCD的边长为32，高OP=6E是侧棱PD上的点且PE=13PD，F是侧棱PAG是△PBC的重心.如图建立空间直角坐标系．∴D(0,-6,0)，P(0,0，6)，E(0,-2,4)，A(6,0，0)，B(0,6，0)，C(-6,0，0)，G(-2,2，2)，EF=(3,2，-1)，EG=(-2,4，设平面EFG的一个法向量n=(x,y，z)则n⋅EF=3x+2y-z=0平面EFG的一个法向量n=(0,1，2)(2)AG=(-8,2，则sinθ=|∴直线AG与平面EFG所成角θ=arcsin(3)EA=(6,2，∴点A到平面EFG的距离d=|本题主要考查了平面的法向量