2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）第4节幂函数、二次函数

第4节幂函数、二次函数高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引0102课标解读

强基础•固本增分知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数

叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

(2)常见的五种幂函数的图象y=xα(3)幂函数的性质①幂函数在(0,+∞)内都有定义;②当α>0时,幂函数的图象都过点

和

,且在(0,+∞)内单调递增;

③当α<0时,幂函数的图象都过点

,且在(0,+∞)内单调递减;

④当α为奇数时,y=xα为

;当α为偶数时,y=xα为

.

(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数

微思考幂函数的图象可以经过第四象限吗?提示

不可以.因为当x>0时,y=xα>0,所以幂函数的图象一定经过第一象限,但一定不经过第四象限.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式:f(x)=

.

顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为

.

零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的

.

ax2+bx+c(a≠0)(m,n)零点(2)二次函数的图象和性质

函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)图象(抛物线)

定义域

值域

对称轴x=

顶点坐标

R

函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)奇偶性当b=0时是

函数,当b≠0时是非奇非偶函数

单调性偶减增增减微思考如何求解二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[m,n]上的最值?

3.二次函数、一元二次方程与一元二次不等式间的关系

判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根没有实数根一元二次不等式的解集ax2+bx+c>0(a>0){x|x<x1或x>x2}实数集Rax2+bx+c<0(a>0){x|x1<x<x2}⌀⌀自主诊断一、基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)(1)函数f(x)=2x4是幂函数.(

)(2)若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象不经过第一象限,则必有a<0.(

)(3)函数f(x)=sin2x+4sinx-1的最小值为-5.(

)(4)幂函数的图象若与坐标轴有交点,则交点一定是原点.(

)×√×√

3.(人教B版必修第一册复习题B组第4题改编)已知f(x)=x2+2(a-1)x+2在(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是

.

(-∞,-3]解析

依题意有-(a-1)≥4,解得a≤-3.所以a的取值范围是(-∞,-3].二、连线高考4.(2023·天津,3)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则(

)A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>cD解析

因为函数y=1.01x为增函数,所以1.010.6>1.010.5>1.010=1.又0.60.5<0.60=1,所以1.010.6>1.010.5>0.60.5,即b>a>c.故选D.

2

研考点•精准突破考点一幂函数的图象与性质例1(1)(2024·湖南岳阳模拟)如图,已知幂函数y=xa,y=xb,y=xc在(0,+∞)上的图象分别是下降、急速上升、缓慢上升,则(

)A.c<b<a B.a<c<bC.c<a<b D.a<b<cB解析

由题意结合图象可知a<0<c<1<b.故选B.

A

(2)幂函数y=xα的图象关键要抓住第一象限内的特征与形状,其余象限部分由奇偶性、单调性决定.(3)比较幂值大小时,务必结合幂值特点,选择恰当的函数,借助单调性进行比较.

C

(2)(2024·山东济宁模拟)幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在区间(0,+∞)上单调递减,则下列说法正确的是(

)A.m=4 B.f(x)是减函数C.f(x)是奇函数 D.f(x)是偶函数C

考点二二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.

考点三二次函数的图象与性质(多考向探究预测)考向1

二次函数图象的识别例3(多选题)(2025·海南海口开学考试)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,则下面四个结论正确的是(

)A.b2>4ac

B.2a-b=1C.a-b+c<0 D.5a<bAD

[对点训练3](多选题)(2024·陕西榆林期中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中,错误的是(

)A.a+b+c>0 B.a-b+c<0C.abc>0 D.b=2aCD

考向2

二次函数的单调性例4(2024·湖北随州模拟)已知函数f(x)=(m+1)x2-mx-1(m∈R)在(0,+∞)内单调递增,则实数m的取值范围是

.

[-1,0]

变式探究1本例中,函数解析式不变,若函数在[1,2]上单调递减,则实数m的取值范围是

.

(-∞,-2]

变式探究2本例中,函数解析式不变,若函数在区间[-3,-2]上不单调,则实数m的取值范围是

.

[-1,2]

考向3

二次函数的最值例5(2024·湖北武汉联考)已知函数f(x)=ax2-2ax+1+b(a>0).(1)若a=b=1,求函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值;(2)若函数f(x)在区间[2,4]上的最大值为9,最小值为1,求实数a,b的值.

[对点训练4](2024·云南昆明模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(-2,0)和原点,且对于任意x∈R,都有f(x)≥2x.(1)求函数f(x)的表达式;(2)设g(x)=f(x)+2mx,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值h(m).

考向4

与二次函数有关的恒成立问题例6

已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数.(1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),求k的取值范围;(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围;(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求k的取值范围.解

(1)设h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0.由二次函数的性质可知h(x)max=h(3)=86-k,由86-k≤0,得k≥86,即k的取值范围为[86,+∞).(2)由题意,存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k≤0在x∈[-3,3]上有解,故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min=h(-1)=-10-k,由-10-k≤0,得k≥-10,即k的取值范围为[-10,+∞).(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),所以f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3].由二次函数的性质可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x