2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）第4节数列求和

第4节数列求和高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引0102课标解读1.巩固等差数列、等比数列前n项和公式.2.掌握数列求和的裂项相消法、错位相减法、分组转化法、并项求和法、倒序相加法,能够解决数列的求和问题.强基础•固本增分知识梳理

2.倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.3.分组转化法:一个数列的通项公式是若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式的和(或差),则求和时可用分组转化法,分别求和后再相加(或减).如已知an=2n+(2n-1),求Sn.4.并项求和法:若一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.错位相减时,要注意最后一项的符号5.错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.6.裂项相消法:把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.自主诊断

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3.(人教A版选择性必修第二册习题4.3第6题改编)已知数列1,11,111,1111,11111,…,则它的前n项和为

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二、连线高考5.(2020·全国Ⅰ,理17)设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求{an}的公比;(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.

研考点•精准突破考点一分组转化法例1(2024·贵州毕节一模)已知数列{an}满足a1=1,an+1+2an=3n-5,n∈N*.(1)设bn=an-n+2,证明:{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.

考点二并项求和法例2(2024·福建泉州模拟)在数列{an}中,a1=1,且an+1=2an+n-1.(1)证明:数列{an+n}为等比数列,并求出an;(2)记数列{bn}的前n项和为Sn,若an+bn=2Sn,求S11.(1)证明

因为an+1=2an+n-1,所以an+1+n+1=2an+2n=2(an+n).又a1+1=2,所以数列{an+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故an+n=2×2n-1=2n,可得an=2n-n.(2)解

因为2Sn=an+bn=bn+2n-n,即2Sn=bn+2n-n,①所以当n=1时,2b1=b1+1,解得b1=1,当n≥2时,2Sn-1=bn-1+2n-1-n+1,②①-②得2bn=bn-bn-1+2n-1-1,整理得bn+bn-1=2n-1-1.所以S11=b1+b2+b3+b4+b5+…+b11=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(b10+b11)=1+(22-1)+(24-1)+…+(210-1)=(22+24+26+28+210)-4=1

360,即S11=1

360.

考点三裂项相消法

考点四错位相减法例4(2024·全国甲,理18)记Sn为数列{an}的前n项和,已知4Sn=3an+4.(1)求{a