2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）第4节随机事件的概率与古典概型

第4节随机事件的概率与古典概型高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引0102课标解读1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.5.会用频率估计概率.强基础•固本增分知识梳理1.样本点和样本空间(1)定义:我们把随机试验E的每个可能的

称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的

.(2)表示:一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.基本结果样本空间2.事件的分类

确定事件必然事件Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件不可能事件空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件随机事件我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件基本事件把只包含一个样本点的事件称为基本事件[教材知识深化]3.事件的关系与运算

事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=⌀A与B有且仅有一个发生A∩B=⌀,A∪B=Ω[教材知识深化]定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.

频率fn(A)P(A)(2)概率的基本性质性质1:对任意的事件A,都有P(A)

;

性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=

,P(⌀)=

;

性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=

;

性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=

,P(A)=

;

性质5:如果A⊆B,那么

,由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1;

性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=

.≥010P(A)+P(B)1-P(A)1-P(B)P(A)≤P(B)P(A)+P(B)-P(A∩B)微思考概率与频率有什么区别?提示

(1)概率是一个确定的数,是客观存在的,与试验次数无关,它度量该事件发生的可能性;(2)频率本身是随机的,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件的频率不一定相同;(3)频率是概率的近似值,在实际问题中,仅当试验次数足够多时,频率可近似地看作概率.5.古典概型(1)具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:样本空间的样本点只有

;

②等可能性:每个样本点发生的可能性

.判断一个试验是否是古典概型的关键点(2)古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=

.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.有限个相等

自主诊断一、基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)(1)对立事件一定互斥,但互斥事件不一定对立.(

)(2)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.(

)(3)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.(

)(4)从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋测其重量,属于古典概型.(

)√×××2.(人教A版必修第二册10.1.3节例8改编)先后抛掷一枚质地均匀的骰子2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是

.

二、连线高考4.(2018·全国Ⅲ,文5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(

)A.0.3 B.0.4

C.0.6

D.0.7B解析

“只用现金支付”,“既用现金支付也用非现金支付”,“不用现金支付”这3个事件彼此互斥,且并事件为必然事件.设事件A=“不用现金支付”,则P(A)=1-0.45-0.15=0.4.

D

研考点•精准突破考点一随机事件间关系的判断例1(1)(2024·湖南岳阳模拟)从1,2,3,4,5中任取2个数,设事件A=“2个数都为偶数”,B=“2个数都为奇数”,C=“至少1个数为奇数”,D=“至多1个数为奇数”,则下列结论正确的是(

)A.A与B是互斥事件B.A与C是互斥但不对立事件C.B与D是互斥但不对立事件D.C与D是对立事件A解析

根据题意,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},A={(2,4)},B={(1,3),(1,5),(3,5)},C={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},D={(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,5)},因为A∩B=⌀,所以A与B是互斥事件,所以A正确;因为A∩C=⌀,A∪C=Ω,所以A与C是互斥且对立事件,所以B错误;因为B∩D=⌀,B∪D=Ω,所以B与D是互斥且对立事件,所以C错误;因为C∩D={(1,2),(1,4),(3,2),(2,5),(3,4),(4,5)},所以C与D不是对立事件,所以D错误.(2)(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},下列关系正确的有(

)A.A⊆D

B.B∩D=⌀C.A∪B=B∪D D.A∪C=DABD解析

用(x1,x2)表示试验的射击情况,其中x1表示第1次射击的情况,x2表示第2次射击的情况,1表示击中,0表示没击中,则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.由题意得,A={(1,1)},B={(0,0)},C={(0,1),(1,0)},D={(0,1),(1,0),(1,1)}.则A⊆D,A∪C=D,且B∩D=⌀.即A,B,D正确;又B∪D=Ω,A∪B={(0,0),(1,1)}≠Ω,∴A∪B≠B∪D.故C错误.考点二随机事件的频率与概率例2

如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间/分钟10~2020~3030~4040~5050~60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.

所用时间/分钟10~2020~3030~4040~5050~60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.结合(2)中表格知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0+0.1+0.4=0.5.∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0+0.1+0.4+0.4=0.9.∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择L2.考点三互斥事件与对立事件的概率例3

某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

[对点训练1]经统计,在服务场所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:

排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?解

记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.