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文档简介

第5节空间向量及其运算高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引0102课标解读1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置,会简单应用空间两点间的距离公式.2.了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.强基础•固本增分知识梳理1.空间向量的有关概念抓住空间向量的两个主要元素:大小与方向名称概念表示零向量长度(模)为

的向量

0单位向量长度(模)为

的向量

—相等向量方向

且模

的向量

a=b相反向量长度

而方向

的向量

a的相反向量为-a01相同相等相等相反名称概念表示共线向量

注意类比空间向量与平面向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相

的向量

a∥b共面向量平行于同一个

的向量

—平行或重合平面2.空间向量的三个定理

定理语言描述共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb

为了使λ存在且唯一共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb空间向量基本定理{a,b,c}叫做空间的一个基底

如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc

∠AOB|a||b|cos<a,b>4.空间向量的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).类型向量表示坐标表示数量积a·b

共线a=λb(b≠0,λ∈R)

垂直垂直问题一般通过向量的数量积运算来解决a·b=0(a≠0,b≠0)

模|a|夹角<a,b>(a≠0,b≠0)a1b1+a2b2+a3b3a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0

自主诊断

√×√×2.(人教A版选择性必修第一册习题1.2第2题)若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是(

)A.b+c,b,b-c

B.a,a+b,a-bC.a+b,a-b,c

D.a+b,a+b+c,cC

3.(人教A版选择性必修第一册1.3.2节练习第3题改编)M为z轴上一点,且点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等,则点M的坐标是

.

(0,0,-3)

二、连线高考4.(2014·广东,理5)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°角的是(

)A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)B

研考点•精准突破考点一空间向量的线性运算

B

BD

B

考点二空间向量基本定理的应用

C

A

考点三空间向量的数量积及应用例3如图,已知空间四边形ABCD每条边长和对角线长都等于1,E,F,G分别是AB,AD,CD的中点.(1)求证:EG⊥AB;(2)求EG的长;(3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.

规律方法空间向量数量积的三个应用求夹角求长度(距离)利用公式|a|2=a·a,可将线段长度

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