上海市杨思高中2024-2025学年高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

上海市杨思高中2024-2025学年高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定义在上的函数满足,,则不等式的解集为()A． B． C． D．2．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（）A．B．C．D．3．已知椭圆的左右焦点分别为，，以为圆心，为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为A． B． C． D．4．的展开式中，的系数为()A．-10 B．-5 C．5 D．05．在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（）A． B． C． D．6．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A． B． C． D．7．从名学生志愿者中选择名学生参加活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样的方法抽取人，则在人中，每人入选的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且为 D．都相等，且为8．准线为的抛物线标准方程是（）A． B． C． D．9．已知函数，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．10．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（）A． B． C． D．11．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的正整数a的可能取值的集合是（

）A． B．C． D．12．定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_____．14．以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程的标准方程是_______.15．正四面体的所有棱长都为2，则它的体积为________．16．=________________。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数fx（1）解不等式fx（2）若gx=3x-2m+3x-1，对∀x118．（12分）已知等比数列的各项均为正数，且，，数列的前项和为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前项和．19．（12分）设函数，曲线在点，（1））处的切线与轴垂直．（1）求的值；（2）若存在，使得，求的取值范围．20．（12分）在棱长为的正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.21．（12分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分.现从盒内任取3个球（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅲ）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列.22．（10分）已知A，B为椭圆上的两个动点，满足．（1）求证：原点O到直线AB的距离为定值；（2）求的最大值；（3）求过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由已知条件构造辅助函数g(x)=f(x)+lnx，求导，根据已知求得函数的单调区间，结合原函数的性质和函数值，即可的解集．【详解】令g(x)=f(x)+lnx(x>0)，则g'(x)=，又函数满足，∴g'(x)=，g(x)在单调递增.∵，∴，∴当，，当，，∴当，则不等式成立.故选：B.本题主要考查导数在研究函数中的应用和函数综合，一般采用构造函数法，求导后利用条件判断函数的单调性，再根据特殊值解出不等式所对应的区间即可，属于中等题.2、B【解析】根据正态分布密度曲线的对称性可知，若，函数的对称轴是，所以，故选B.3、D【解析】

利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出．【详解】在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=90°，直线的斜率为故得到∠POF2=60°，∴|PF2|=c，由三角形三边关系得到|PF1|=，又|PF1|+|PF2|=2a=c+，∴.故选：D．本题考查椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).4、B【解析】

在的二项展开式的通项公式中，令x的幂指数分别等于2和1，求出r的值，得到含与的项，再与、与-1对应相乘即可求得展开式中x的系数．【详解】要求的系数，则的展开式中项与相乘，项与-1相乘，的展开式中项为，与相乘得到，的展开式中项为，与-1相乘得到，所以的系数为.故选B.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式及特定项的系数，属于基础题．5、D【解析】

将复数化为的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.【详解】本题考查复数的计算，意在考查学生的阅读能力，解决问题的能力和计算能力.6、B【解析】

分析：作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的中心中，有故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．7、D【解析】

根据简单随机抽样与系统抽样方法的定义，结合概率的意义，即可判断出每个人入选的概率.【详解】在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除时，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，所以，每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的，因此，每个人入选的概率为.故选：D.本题考查简单随机抽样和系统抽样方法的应用，也考查了概率的意义，属于基础题.8、A【解析】准线为的抛物线标准方程是，选A.9、A【解析】

代入特殊值对选项进行验证排除，由此得出正确选项.【详解】若，符合题意，由此排除C,D两个选项.若，则不符合题意，排除B选项.故本小题选A.本小题主要考查分段函数函数值比较大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题.10、A【解析】

设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝11、A【解析】由题意，循环依次为，，所以可能取值的集合为，故选A.12、C【解析】

由，得出，转化为函数与函数图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可．【详解】由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，由图象可知，，当时，，则函数与函数在上没有交点，结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选C.本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

互为反函数的图象关于直线对称，所以两个阴影部分也关于直线对称.利用面积分割和定积分求出上部分阴影面积，再乘以2得到整个阴影面积.【详解】如图所示，连接，易得，，.考查灵活运用函数图象的对称性和定积分求解几何概型，对逻辑思维能力要求较高.本题在求阴影部分面积时，只能先求上方部分，下方部分中学阶段无法直接求.14、【解析】分析：由椭圆的焦点为，顶点为，可得双曲线的焦点与顶点，从而可得双曲线方程.详解：椭圆的焦点为，顶点为，双曲线的顶点与焦点分别为，可得，所以双曲线方程是，故答案为.点睛：本题考查椭圆与双曲线的简单性质应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，解题时要认真注意审题，特别注意考虑双曲线的焦点位置.15、.【解析】试题分析:过作，则是的中心，连接,则,,在中，,所以.考点：多面体的体积.16、【解析】

利用定积分的几何意义及其计算公式，可得结论．【详解】由题意，可得.故答案为．本题主要考查了定积分的计算公式，以及定积分的几何意义的应用，其中解答中熟记定积分的计算公式，合理使用定积分的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)x|0≤x≤1；(2)-1【解析】

（1）对x分类讨论，将不等式转化为代数不等式，求解即可；（2）分别求出函数的最值，利用最值建立不等式，即可得到实数m的取值范围．．【详解】解：（1）不等式等价于x≤-1,-3x≤x+2,或-1<x≤1解得x∈∅或0≤x≤12或12<x≤1（2）由f(x)=-3x,x≤-1,-x+2,-1<x≤12,g(x)≥|(3x-2m)-(3x-1)|=|2m-1|，当且仅当(3x-2m)(3x-1)≤0时取等号，所以|2m-1|≤32，解得-14≤m≤54本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（I）将已知条件转化为，由此求得的值，进而求得的通项公式.（II）利用求得的表达式，由此求得的表达式，利用分组求和法求的值.【详解】（Ⅰ）设等比数列的公比即，解得：或，又的各项为正，，故（Ⅱ）设，数列前n项和为.由解得..,.本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查数列通项公式的求法，考查分组求和法，所以中档题.19、（1）；（2）【解析】

（1）求得的导数，利用导数的几何意义可得切线的斜率，解方程可得；（2）依据的导数，讨论的范围，结合单调性可得最小值，解不等式即可得到所求范围．【详解】（1），由题设知，解得.（2）解：的定义域为，由（1）知，，（i）若，则故当，使得的充要条件为，即，解得（ii）若，则，故当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，所以不合题意（iii）若，则时，在上单调递减，但是，∴综上所述，的取值范围是本题主要考查导数的运用：利用导数的几何意义求切线的斜率，研究单调性和极值，意在考查学生分类讨论思想、方程思想的运用能力以及数学运算能力。20、（1）（2）λ＝2【解析】分析：以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点的坐标，

（1）求出异面直线与1的方向向量用数量积公式两线夹角的余弦值（或补角的余弦值）

（2）求出两个平面的法向量，由于两个平面垂直，故它们的法向量的内积为0，由此方程求参数的值即可．详解：(1)以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．则A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)，E，于是，.由cos＝＝.所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为.（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0得取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1).………8分由D1E＝λEO，则E，=.10分又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.得取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ).12分因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得．点睛：本题查了异面直线所成的角以及两个平面垂直的问题，本题采用向量法来研究线线，面面的问题，这是空间向量的一个重要运用，大大降低了求解立体几何问题的难度．21、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析【解析】

（Ⅰ）可以求其反面，一个红球都没有，求出其概率，然后求取出的1个球中至少有一个红球的概率，从而求解；（Ⅱ）可以记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，求出事件B和C的概率，从而求出1个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅲ）ξ可能的取值为0，1，2，1，分别求出其概率【详解】解：（Ⅰ）取出的1个球中至少有一个红球的概率：（1分）（Ⅱ）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则．…（6分）（Ⅲ）ξ可能的取值为0，1，2，1．…（7分），，，．…（11