《直接证明与间接证明（第1课时）》教学设计

PAGE19/19选修1-22.2.1直接证明与间接证明（一）（陈昌杰）一、教学目标1.核心素养培养学生用综合法证明简单问题的推理技能，进一步培养学生逻辑推理能力，以及分析、解决问题的能力.2.学习目标了解直接证明的基本方法；了解综合法的思维过程、特点；会用综合法证明数学问题.3.学习重点掌握综合法的思维过程、特点及其解题步骤，会用综合法证明数学问题.4.学习难点根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，应用综合法证明较复杂的数学问题.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1预习教材P36—P38，思考：什么是综合法？综合法的本质是什么？任务2综合法的思考过程、特点分别是什么？任务3综合法证明问题的方法、步骤是怎样的？2.预习自测1.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件（）A.a2<b2＋c2B.a2＝b2＋c2C.a2>b2＋c2D.a2≤b2＋c2解：C若∠A为钝角，由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)<0，∴b2＋c2－a2<0.故答案为C.2.设数列{an}为等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是{an}的前n项和，则（）A.S4<S5B.S4＝S5C.S6<S5D.S6＝S5解：B∵a2＋a8＝－6＋6＝0，∴a5＝0，又公差d>0，∴S5＝S4.答案为B3.在△ABC中，“”是“△ABC为锐角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：B由⇒∠A为锐角，而角B，C并不能判定，反之若△ABC为锐角三角形，一定有.答案为B4.已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝eq\f(π,8)对称，则φ可能是（）A.eq\f(π,2)B.－eq\f(π,4)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3,4)π解：C由题意知，sin(eq\f(π,4)＋φ)＝±1，所以当φ＝eq\f(π,4)时，sin(eq\f(π,4)＋eq\f(π,4))＝sineq\f(π,2)＝1.答案为C（二）课堂设计1.知识回顾引例：阅读下列证明过程，回答问题.已知实数x，y满足x＋y＝1，求证：.证明：因为x＋y＝1，所以，故成立.1.本题的条件和结论是什么？条件：x＋y＝1，结论.2.本题的证明顺序是什么？从已知条件利用基本不等式到待证结论.2.问题探究问题探究一综合法的意义●活动一什么是综合法？一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.上面引例就是从条件出发，利用某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.●活动二综合法证明问题的模式P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论.问题探究二怎样用综合法处理问题综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向.仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件，组织过程.把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整，回顾反思.解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取.●活动一用综合法证明不等式例1求证：（1）；（2）；（3）若，则：.【知识点：不等式的性质，实数的非负性，不等式的证明，实数的大小比较】详解：（1），∴.（2），∴.（3）∵，∴.∴.∴.点拔：综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向.仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件，组织过程.把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整，回顾反思.解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取.例2已知，求证：【知识点：不等式的性质，不等式的证明，实数的大小比较】详解：；；.综上所述：.∴.点拔：注意分类讨论判断符号.对m、n取特殊值，可得到以下一些大家比较熟悉的题目：（1）已知a>0，b>0，求证：；（2）已知a>0，b>0，求证：；（3）已知a>0，b>0，求证：.●活动二用综合法几何问题例3如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1＝A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点.求证：(1)C1M⊥平面AA1B1B.(2)A1B⊥AM.(3)平面AC1M∥平面B1NC.【知识点：线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行，面面平行】详解：(1)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1＝A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1.又∵C1M⊥A1A，A1A∩A1B1＝A1，A1A，A1B1⊂平面AA1B1B，∴C1M⊥平面AA1B1B.(2)∵A1B⊂平面AA1B1B，由(1)知C1M⊥平面AA1B1B，∴A1B⊥C1M.又A1B⊥AC1，AC1，C1M⊂平面AC1M，AC1∩C1M＝C1，∴A1B⊥平面AC1M.又∵AM⊂平面AC1M，∴A1B⊥AM.(3)在矩形AA1B1B中，易知AM∥B1N，AM⊄平面B1NC，B1N⊂平面B1NC，∴AM∥平面B1NC.又C1M∥CN，CN⊂平面B1NC，C1M⊄平面B1NC，∴C1M∥平面B1NC.又∵C1M∩AM＝M，C1M，AM⊂平面AC1M，∴平面AC1M∥平面B1NC.点拔：本例重点强调在证明空间线线垂直、线线平行、线面垂直、线面平行、面面平行或垂直问题时，要特别注意平行与垂直之间的相互转化，如：，，等.其中线面平行和线面垂直一般起到关键作用，如本例(2)中通过证明A1B⊥平面AC1M来证明A1B⊥AM；本例(3)中，通过证明AM∥平面B1NC，C1M∥平面B1NC，来证明平面AC1M∥平面B1NC.●活动三用综合法证明数学中的其他问题例4设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m为常数，且m≠－3.(1)求证：{an}是等比数列；(2)若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝eq\f(3,2)f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：{eq\f(1,bn)}为等差数列.【知识点：递推数列，等差数列，等比数列】详解：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.两式相减得(3＋m)an＋1＝2man(m≠－3)，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(2m,m＋3)，且a1＝1，∴{an}是等比数列.(2)b1＝a1＝1，q＝f(m)＝eq\f(2m,m＋3)，∴n≥2，n∈N*时，bn＝eq\f(3,2)f(bn－1)＝eq\f(3,2)·eq\f(2bn－1,bn－1＋3)⇒bnbn－1＋3bn＝3bn－1⇒eq\f(1,bn)－eq\f(1,bn－1)＝eq\f(1,3).∴数列{eq\f(1,bn)}为首项为1，公差为eq\f(1,3)的等差数列.点拔：（1）综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件.（2）综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是“执因索果”.综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等.●活动四综合法的简单应用例5在△ABC中，三边a，b，c成等比数列.求证：【知识点：等比数列，不等式的证明，三角恒等变形】详解：∴.点拔：（1）综合法证题是从条件出发，由因导果，从已知看可知，逐步推出未知.（2）综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等.②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型.3.课堂总结【知识梳理】（1）综合法的定义:利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为:【难点突破】综合法是从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后得出所要证明问题.所以分析解读已知条件、挖掘隐含条件是解决问题的关键因素，在教学过程中指导学生正确审题，合理应用已知条件可达到事半功倍的效果.4.随堂检测1.设P＝eq\f(1,log211)＋eq\f(1,log311)＋eq\f(1,log411)＋eq\f(1,log511)，则()A.0<P<1B.1<P<2C.2<P<3D.3<P<4答案：B【知识点：对数的运算，放缩法证明不等式】，即，故答案为B2.A、B为△ABC的内角，A>B是sinA>sinB的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：C【知识点：充要条件，正弦定理】若A>B，则a>b，又eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinA>sinB，若sinA>sinB，则由正弦定理得a>b，∴A>B.故答案为C3.设a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，则a，b，c的大小关系为________.答案：【知识点：不等式的性质，实数的大小比较】∵a2－c2＝2－(8－4eq\r(3))＝eq\r(48)－eq\r(36)>0，∴，又∵eq\f(c,b)＝eq\f(\r(6)－\r(2),\r(7)－\r(3))＝eq\f(\r(7)＋\r(3),\r(6)＋\r(2))>1，∴，∴，故答案为.4.已知函数，数列{an}，满足条件：a1＝1，，.求证：数列为等比数列.【知识点：函数的概念，数列的函数特性，等比数列】证明：由题意得，∴，∴eq\f(bn＋1＋1,bn＋1)＝2，又∵a1＝2b1＋1＝1，∴b1＝0，b1＋1＝1≠0.故数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（三）课后作业基础型自主突破1.已知a，b，c是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题：①a∥b，b∥α，则a∥α；②a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β；③a⊥α，a∥β，则α⊥β；④a⊥α，b∥α，则a⊥b.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案：B【知识点：直线与平面平行，直线与平面垂直，直线与直线平行，直线与直线垂直，平面与平面垂直】①因为a∥b，b∥α⇒a∥α或a⊂α，所以①不正确.②因为a，b⊂α，a∥β，b∥β，当a与b相交时，才能α∥β，所以②不正确.③a∥β，过a作一平面γ，设γ∩β＝c，则c∥a，又a⊥α⇒c⊥α⇒α⊥β，所以③正确.④a⊥α，b∥α⇒a⊥b，所以④正确.综上知③，④正确.答案为B2.a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是()A.a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2)B.(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))≥4C.eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋bD.eq\f(2ab,a＋b)≥eq\r(ab)解：D【知识点：不等式的性质，不等式的证明】特殊法，取a＝1，b＝4，则D项不成立.答案是D3.p＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，q＝eq\r(ma＋nc)·eq\r(\f(b,m)＋\f(d,n))，(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p与q的大小关系为________.答案：p≤q【知识点：不等式的性质，不等式的证明】p2＝ab＋cd＋2eq\r(abcd)，q2＝(ma＋nc)(eq\f(b,m)＋eq\f(d,n))＝ab＋eq\f(nbc,m)＋eq\f(mad,n)＋cd≥ab＋cd＋2eq\r(abcd)∴q2≥p2，∴p≤q.答案为：p≤q4.当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________.【知识点：不等式的性质，不等式的证明，函数与不等式】解：(－∞，－5]x2＋mx＋4<0⇔m<－x－eq\f(4,x)，∵y＝－(x＋eq\f(4,x))在(1，2)上单调递增，∴－(x＋eq\f(4,x))∈(－5，－4)21，∴m≤－5.答案为(－∞，－5]5.在△ABC中，若a2＝b(b＋c)，求证：A＝2B.【知识点：余弦定理，三角形的边角关系】证明：因为a2＝b(b＋c)，所以a2＝b2＋bc.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2－(b2＋bc),2bc)＝eq\f(c－b,2b).又因为cos2B＝2cos2B－1＝2(eq\f(a2＋c2－b2,2ac))2－1＝2(eq\f(b＋c,2a))2－1＝eq\f((b＋c)2－2a2,2a2)＝eq\f((b＋c)2－2b2－2bc,2b(b＋c))＝eq\f(c－b,2b).所以cosA＝cos2B.又因为A，B是三角形的内角，所以A＝2B.6.如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.【知识点：直线与平面平行，直线与平面垂直，直线与直线平行，直线与直线垂直，平面与平面垂直】证明(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点，知EF∥BC，∵EF⊄平面ABC而BC⊂平面ABC.∴EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，∴A1D⊥CC1，又A1D⊥B1C.CC1∩B1C＝C，又CC1，B1C⊂平面BB1C1C，∴A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.能力型师生共研1.设，且，则必有（）A.B.C.D.解：B【知识点：不等式的性质，不等式的证明】∵，∴，即，可排除A、D.又.故B正确.2.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面答案：B【知识点：直线与直线的位置关系】在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错.答案为B3.已知，且，那么（）A.B.C.D.答案：D【知识点：不等式的性质，不等式的证明】∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝eq\f(3,4)，x＝eq\f(1,4)，则eq\f(x＋y,2)＝eq\f(1,2)，2xy＝eq\f(3,8)，∴x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y，故选D.4.已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线（）A.只有一条，不在平面α内B.有无数条，不一定在平面α内C.只有一条，且在平面α内D.有无数条，一定在平面α内解：C【知识点：直线与平面的位置关系】由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内.5.eq\r(3)－eq\r(2)________eq\r(2)－1.(填“＞”或“＜”)答案：＜【知识点：不等式的性质，不等式的证明】∵eq\f(1,\r(3)－\r(2))＝eq\f(\r(3)＋\r(2),(\r(3)－\r(2))(\r(3)＋\r(2)))＝eq\r(3)＋eq\r(2)，eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\f(\r(2)＋1,(\r(2)－1)(\r(2)＋1))＝eq\r(2)＋1，显然eq\r(3)＋eq\r(2)＞eq\r(2)＋1，∴eq\r(3)－eq\r(2)＜eq\r(2)－1.6.已知sinx＝eq\f(\r(5),5)，x∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，则tan(x－eq\f(π,4))＝________.解：－3【知识点：同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式】∵sinx＝eq\f(\r(5),5)，x∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，∴cosx＝－eq\r(\f(4,5))，∴tanx＝－eq\f(1,2)，∴tan(x－eq\f(π,4))＝eq\f(tanx－1,1＋tanx)＝－3.7.已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2eq\r(2)，|β|>2eq\r(2).以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________.(用序号及“⇒”表示)答案：①③⇒②【知识点：不等式的性质，不等式的证明，绝对值不等式】∵αβ>0，|α|>2eq\r(2)，|β|>2eq\r(2).∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25.∴|α＋β|>5.8.在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形.【知识点：正弦定理、余弦定理】证明：由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝eq\f(π,3).③由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝eq\f(π,3)，所以△ABC为等边三角形.9.设a>0，f(x)＝eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)在R上满足f(x)＝f(－x)(1)求a的值；(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数.【知识点：函数的奇偶性，函数的增减性】解：(1)依题意，对一切x∈R有f(x)＝f(－x)，即eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)＝eq\f(1,aex)＋aex，所以(a－eq\f(1,a))(ex－eq\f(1,ex))＝0对一切x∈R成立.由此可得a－eq\f(1,a)＝0，即a2＝1.又因为a>0，所以a＝1.(2)证明：设0<x1<x2，f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋eq\f(1,ex1)－eq\f(1,ex2)＝(ex2－ex1)(eq\f(1,ex1＋x2)－1)＝(ex2－ex1)·eq\f(1－ex1＋x2,ex1＋x2).由x1>0，x2>0，得x1＋x2>0，ex2－ex1>0，1－ex1＋x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数.探究型多维突破1.如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.(1)求证：B1B∥平面D1AC；(2)求证：平面D1AC⊥平面B1BDD1.【知识点：直线与平面平行，直线与平面垂直，直线与直线平行，直线与直线垂直，平面与平面垂直】证明：(1)设AC∩BD＝E，连接D1E，如图∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.∴B1D1∥BE，∵B1D1＝BE＝eq\r(2)，∴四边形B1D1EB是平行四边形，所以B1B∥D1E.又因为B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC，所以B1B∥平面D1AC(2)侧棱DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1.∵下底ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC⊂平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.2.已知数列{an}的首项a1＝5，Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*).(1)证明数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式an.【知识点：数列的通项公式，等比数列】(1)证明：∵Sn＋1＝2Sn＋n＋5，∴Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋5(n≥2).∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1＝2an＋1(n≥2).∴eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝eq\f(2(an＋1),an＋1)＝2.又n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，∴S2＝16，a2＝S2－S1＝16－5＝11.又∵eq\f(a2＋1,a1＋1)＝eq\f(11＋1,5＋1)＝2.∴数列{an＋1}是以2为公比的等比数列.(2)由(1)知，a1＋1＝6，an＋1＝6×2n－1＝3×2n，∴an＝3×2n－1.3.设a、b、c∈R＋，求证：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c).【知识点：不等式的性质，基本不等式，不等式的证明】证明：∵a2＋b2≥2ab，a、b∈R＋，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，∴a2＋b2≥eq\f((a＋b)2,2)，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b).同理：eq\r(b2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(b＋c)，eq\r(c2＋a2)≥eq\f(\r(2),2)(c＋a)，∴eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\f(\r(2),2)(2a＋2b＋2c)＝eq\r(2)(a＋b＋c).(当且仅当a＝b＝c时取等号)故eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c).（四）自助餐1.设0<x<1，则a＝eq\r(2x)，b＝1＋x，c＝eq\f(1,1－x)中最大的一个是（）A.aB.bC.cD.不能确定答案：C【知识点：不等式的性质，不等式的证明】∵0<x<1，∴b＝1＋x>2eq\r(x)>eq\r(2x)＝a，又eq\f(1,1－x)－(1＋x)＝eq\f(x2,1－x)>0，知eq\f(1,1－x)>1＋x∴c>b>a，最大的数为c.答案为C2.已知函数f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)，若f(a)＝b，则f(－a)等于（）A.bB.－bC.eq\f(1,b)D.－eq\f(1,b)答案：B【知识点：对数函数，对数运算】f(x)定义域为(－1，1)，f(－a)＝lgeq\f(1＋a,1－a)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－a,1＋a)))eq\s\up10(－1)＝－lgeq\f(1－a,1＋a)＝－f(a)＝－b.3.命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立（）A.不成立B.成立C.不能断定D.与n取值有关答案：B【知识点：数列的前和公式，等差数列】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5，又a1＝S1＝2×12－3×1＝－1适合上式.∴an＝4n－5(n∈N*)，则an－an－1＝4(常数)，故数列{an}是等差数列.4.若a>b>0，c<d<0，则一定有（）A.eq\f(a,d)>eq\f(b,c)B.eq\f(a,d)<eq\f(b,c)C.eq\f(a,c)>eq\f(b,d)D.eq\f(a,c)<eq\f(b,d)答案：B【知识点：不等式的性质，不等式的证明】法一：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则eq\f(a,c)＝－1，eq\f(b,d)＝－1，排除选项C，D；又eq\f(a,d)＝－eq\f(3,2)，eq\f(b,c)＝－eq\f(2,3)，所以eq\f(a,d)<eq\f(b,c)，所以选项A错误，选项B正确.法二：因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以eq\f(1,－d)>eq\f(1,－c)>0.又a>b>0，所以eq\f(a,－d)>eq\f(b,－c)，所以eq\f(a,d)<eq\f(b,c).5.在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则该三角形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案：D【知识点：正弦定理，三角形形状的判定】由sinAcosA＝sinBcosB得sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).所以该三角形是等腰或直角三角形.6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负答案：A【知识点：函数的奇偶性，函数单调性】由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.答案为A7.命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xlnx求导，得f′(x)＝－lnx，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－lnx>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法.答案：综合法【知识点：分段函数，函数的增减性，函数与导数】本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法.8.角A，B为△ABC内角，A>B是sinA>sinB的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”).答案：充要【知识点：充要条件，正弦定理】在△ABC中，A>B⇔a>b，由正弦定理eq\f(a,sinA)