2025年北京西城区九年级中考二模数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北京市西城区九年级模拟测试试卷数学考生须知1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如图是一个立体图形的三视图，则该立体图形是（

）A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．球2．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么的大小为（

）A． B． C． D．3．“双碳”目标战略为中国汽车工业带来了新的生命力，截至2023年底，全国新能源汽车保有量约为辆，根据新能源汽车产业规划目标，预计到2033年底，新能源汽车保有量将会是2023年底的5倍，达到约辆，则的值是（

）A． B． C． D．4．为了解某校1500名学生每天在校参加体育锻炼的情况，下列抽样调查方式中最合适的是（

）A．随机抽取某个班的全体学生B．每个年级各推荐20名学生C．上体育课时，在操场上随机抽取25名学生D．将全校的学生名字输入电脑程序，在电脑中随机抽取100名学生5．六边形的内角和为（）A． B． C． D．6．如图，数轴上的点，表示的数分别是，．如果，那么下列结论中一定正确的是（

）A． B． C． D．7．在反比例函数y＝的图象上横、纵点坐标都是整数的点有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个8．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形称为梯形．若梯形中不平行的两边相等，则称这样的梯形为等腰梯形．如图，点，，，分别是等腰梯形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．点，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．以下四个结论：①四边形是菱形；②连接，则；③四边形的面积等于四边形面积的倍；④四边形周长的平方不小于梯形面积的倍．上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．分解因式：．11．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是．12．写出一个比大且比小的整数．13．方程的解为．14．2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》，其中天坛、正阳门、故宫、鼓楼都是中轴线上的著名景点．小明和小华分别随机选择这四个景点中的任意一个去参观，则他们选择参观同一个景点的概率是．15．如图，在中，点是上一点，延长，交于点．若，的面积为6，则的面积为．16．小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是：停车时长（单位：小时）收费标准（单位：元）免费510151824乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）．（1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是元；（2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为小时，三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：．18．解不等式组：19．已知，求代数式的值．20．如图，在中，，的平分线交于点，过点作，交于点，点是上一点，且，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．21．关于的方程．(1)若方程有实数根，求的取值范围；(2)若方程的两个根都是整数，求正整数的值．22．在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点．(1)当时，求点的坐标；(2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围．23．某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）．(1)邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a．甲款软件评分：60

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91b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下：软件平均数中位数众数甲7880乙7872根据以上信息，解答下列问题：①的值为______，的值位于乙款软件评分的第______组；②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分满足的约为______个；(2)邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下：维度软件维度1维度2维度3维度4甲949293乙91939392①乙款软件的评分为______；②若甲款软件的评分更高，则表中（为整数）的最小值为______．24．如图，为的外接圆，点为的中点，的切线交的延长线于点，交于点．连接，，且．(1)求证：；(2)若，求的长．25．小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据：0%10%20%40%60%80%100%037152331390249152230(1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象；(2)根据上述数据和函数图象，解决下列问题：①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶______km（结果精确到0.1）；②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车______（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园；③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为______（精确到1%）．26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围．27．如图，在中，，，点为边上一点（），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接．(1)求证：平分；(2)若点，，分别为，，的中点，连接，补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．28．给定线段和位于直线同一侧的两点，，若在线段上（不含端点，）存在点，使得且，则称点与关于线段等角等距．在平面直角坐标系中，已知点．(1)点的坐标为，①在点，，，中，与点关于线段等角等距的点是______；②点是直线上一点，若在以点为圆心，1为半径的圆上总能找到一点与点关于线段等角等距，则点的横坐标的取值范围是______；(2)已知点，在以为圆心，1为半径的圆上存在点，使得点与关于线段等角等距，直接写出的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】本题考查了由三视图还原几何体，旨在考查学生的空间想象能力．【详解】解：A：圆锥的三视图为三角形、三角形、圆，符合题意；B：圆柱的三视图分别为：长方形、矩形、圆，不符合题意；C：长方体的三视图没有圆，不符合题意；D：球的三视图均没有三角形，不符合题意；故选：A2．B【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解题的关键；由题意可知，求出，由即可求解．【详解】解：由题意得：，∵，∴，∴，故选：B．3．B【分析】本题主要考查科学记数法，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【详解】解：；故选B．4．D【分析】此题考查了抽样调查的知识．注意选取的样本需要有代表性和广泛性．因为抽样时要注意样本的代表性和广泛性，根据样本的代表性即可作出判断．【详解】解：随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，抽样时要注意样本的代表性和广泛性，将全校的学生名字输入电脑程序，在电脑中随机抽取100名学生，这些对象具有代表性和广泛性．故选：D．5．C【分析】本题考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和即可解决问题，熟练掌握多边形的内角和公式及应用是解题的关键．【详解】解：根据多边形的内角和可得：．故选：．6．C【分析】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，由数轴可知，进而由可得异号，即得，再根据有理数的运算法则逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键．【详解】解：由数轴可得，，∵，∴，∴，故错误；令，，则，，故错误；令；∵，∴∴，故正确；故选：C．7．D【分析】根据y=,得出xy=6,再结合x、y都是整数,从而得出正确选项即可.【详解】解：将反比例函数y=变形，得xy=6乘积为6的整数可分为：2和3、-2和-3、1和6、-1和-6,所以图象上横、纵点坐标都是整数的点有（-1，-6）、（-2，-3）、（-3，-2），（-6，-1）、（1,6）（2，3）、（3，2）、（6，1）共8个.故选：D.【点睛】本题考查的是反比例函数的比例系数k的特点,即反比例函数中k为定值,且k=xy.8．C【分析】本题主要研究等腰梯形各边中点连线所构成的四边形的性质．运用三角形中位线定理来推导四边形和的边、角、面积等相关性质，进而判断四个结论的正确性．【详解】解：连接等腰梯形的对角线、．∵点，，，分别是等腰梯形各边的中点，∴，，∵等腰梯形的对角线相等，∴，∴．同理，∴四边形是菱形，结论①正确．取的中点，连接，，∵，分别是，的中点，∴∵∴∴点，，三点共线，∴即，结论②正确．连接、，∵四边形是菱形，∴，∴∵点，，，分别是四边形各边的中点，∴，∴，，四边形是平行四边形，∴，四边形是矩形，同理可得，∴∴，即四边形的面积等于四边形面积的倍，不是倍，结论③错误．同理可得四边形的面积等于四边形面积的倍，∴四边形的面积等于四边形面积的倍，设梯形的高为，上底，下底，∴梯形面积．∵点，，，分别是四边形各边的中点，∴，∴∴四边形是平行四边形，设其相邻两边分别为、，周长，．∵（当且仅当时取等号），四边形的面积，且，∴∴∵∴，即四边形周长的平方不小于梯形面积的倍，结论④正确，故选：C．【点睛】本题主要考查三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）、相似三角形的判定及性质，菱形的判定（四条边相等的四边形是菱形）、平行四边形的判定与性质以及均值不等式等知识．解题的关键在于通过连接对角线等辅助线，利用三角形中位线定理得出各边关系，再依据相关图形性质判断结论的正确性．9．【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得．【详解】解：∵在实数范围内有意义，，∴，∴，故答案为：．10．【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，注意多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．【详解】解：，故答案为：．11．【分析】本题考查了求关于坐标轴对称的点的坐标，熟练掌握关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解．【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是，故答案为：．12．3（答案不唯一）【分析】先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案．【详解】解：∵2＜＜3，4＜＜5，∴所有比小且比大的整数有3，4，∴这个整数可以是3，故答案为：3（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出与在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键．13．【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：，方程两边都乘，得，解得：，检验：当时，，所以分式方程的解是．故答案为：．14．##【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，分别用A、B、C、D表示天坛、正阳门、故宫、鼓楼，画树状图，计算即可.【详解】解：分别用A、B、C、D表示天坛、正阳门、故宫、鼓楼，画树状图：共有16种可能，小明和小华选择去同一个地方游玩有4种可能，小明和小华选择参观同一个景点的概率为，故答案为：．15．24【分析】本题主要考查平行四边形的性质（对边平行）以及相似三角形的判定（两角分别相等的两个三角形相似）和性质（相似三角形面积比等于相似比的平方）．解题的关键在于利用平行四边形对边平行的性质找出相似三角形，准确求出相似比，再运用相似三角形面积比与相似比的关系计算所求三角形的面积．本题围绕平行四边形展开，已知和的面积，要求的面积．需要利用平行四边形对边平行的性质，找出相似三角形，再依据相似三角形的性质来建立面积关系求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，即．∴，．∴．∵四边形是平行四边形，∴．∵，∴，∴．∵．∴．∴．即，∴故答案为：．16．157【分析】本题考查了有理数的运算，不等式，正确理解题意是解题的关键．（1）由小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，即可求出停车时间，再根据表格即可求解；（2）根据表格分析每一个时间段，在乙停车场最多停车时间及费用，即可求解．【详解】解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，∴，∴在甲停车场停了8小时20分钟，∴由表格得收费15元，故答案为：15；（2）若时，知甲免费，乙至少花费2元，不合题意；若时，要使得乙停车费少，则乙最多2小时4元；若时，要使得乙停车费少，则乙最多4小时8元；若时，要使得乙停车费少，则乙最多7小时14元；若时，乙至少花费20元，不合题意；若时，乙至少26元，不合题意，∴小林停车时间最长为7小时，故答案为：7．17．【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，解题的关键是掌握相应的运算法则，利用根式的性质化简后，再合并计算．【详解】解：．18．【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：原不等式组为，解不等式①，得，解不等式②，得，∴原不等式组的解集为．19．3【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握的基本性质，是解题的关键．先将分式化简为，然后再根据，求出结果即可．【详解】解：．∵，∴．∴原式20．(1)详见解析(2)【分析】（1）首先利用角平分线的性质得到，再结合推出，从而得出．已知，可得到，根据一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形．最后由，根据矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）得出四边形是矩形．（2）利用矩形的性质得到，进而推出，．已知，则，在中，根据正弦值和求出和的长度，进而得到的长度．最后在中，根据勾股定理求出的长．【详解】（1）证明：∵的平分线交于点，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴四边形为平行四边形．∵，∴四边形为矩形．（2）解：如图所示，∵在矩形中，，∴，．∵，∴．∵在中，，∴，．∴．∵在矩形中，，∴在中，．【点睛】平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、三角函数以及勾股定理．解题关键在于利用已知条件逐步推导边与角的关系，通过角平分线和平行线的组合得到等腰三角形，利用矩形性质找到角的等量关系，再结合三角函数和勾股定理求解边长．21．(1)(2)3【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及求根公式的应用．解题关键在于理解根的判别式与根的关系，利用判断根的情况并求解参数范围；同时掌握求根公式，通过对根的表达式分析及代入验证来确定满足条件的参数值．（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，已知方程有实数根，所以，通过构建关于的不等式求解的取值范围．（2）先利用求根公式得出方程的根的表达式，再结合第一问的取值范围确定正整数可能的值，然后通过代入逐一验证根是否为整数，从而确定符合条件的值．【详解】（1）解：∵方程有实数根，∴．∴．解得．即的取值范围是．（2）解：解方程，得．∵，∴正整数的值为1，2，3．当时，，不合题意，所以舍去；当时，，不合题意，所以舍去；当时，，得到方程的根为，，都是整数．∴正整数的值是3．22．(1)(2)【分析】本题主要考查一次函数的性质以及函数图象交点问题．解题关键在于理解函数图象交点坐标是联立函数方程的解，对于比较函数值大小的问题，要结合函数图象的位置关系，通过分析交点以及函数斜率等性质来确定参数的取值范围．（1）由，此得和．可联立这两个函数方程求解．（2）当时，的值都大于的值，意味着在时，直线在直线的上方．我们可以先考虑特殊情况，即两直线交点的横坐标为时的情况，再结合函数的性质来确定的取值范围．【详解】（1）解：当时，函数，．联立方程组，解得，∴点的坐标为．（2）解：联立，∴，解得（）．当时，的值都大于的值，且当时，若两函数值相等，则，解得．又∵当时，在的下方，∴要大于等于，∴．23．(1)①80；3；②180；(2)①92.2；②91【分析】（1）①观察表格，根据众数、中位数的定义求解即可；②用1200乘以第五组数据在样本中所占的比即可得解．（2）①利用加权平均数的计算方法计算即可；②根据“甲款软件的评分更高”，列不等式求解即可．【详解】（1）解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80，因此甲组数据的众数为80，所以，；乙组数据的中位数在第3组中．②．故答案为：①80；3；②180；（2）解：①（分）；②由题意得，解得∴k的最小整数值为91.故答案为：①92.2；②91【点睛】本题考查了综合利用表格和频数直方图分析数据，众数、中位数的定义，加权平均数的计算方法，用样本估计总体等知识．熟练掌握以上知识是解题的关键．24．(1)详见解析(2)【分析】（1）本题要证明，通过设，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得到．再根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和求出．由切线性质得到，进而得出的度数．最后结合已知，得出的度数，从而证明两角相等．（2）求的长，先延长交于．根据点为的中点，利用垂径定理的推论得到，再通过证明得出．由得到，进而推出角相等关系．结合前面（1）中角的结论，得出，从而得到线段相等关系，最后根据，结合求出的长．【详解】（1）证明：设，则，∵，∴，∴，∵是的切线，∴半径，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：延长交于，则，∵点为的中点，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查圆的相关知识，包括同弧所对圆心角与圆周角的关系、切线的性质、垂径定理及其推论，以及等腰三角形的性质和全等三角形的判定．解题的关键在于利用圆的性质找出角之间的等量关系，通过角的关系推导线段的等量关系，进而求解问题．25．(1)见解析(2)①7.1（答案不唯一）；②不能；③【分析】本题主要考查函数图象的绘制、函数值的读取与计算以及利用函数模型解决实际问题．解题关键在于准确分析表格数据，合理绘制函数图象，通过函数关系解决路程与电量相关的实际问题．（1）根据给定的表格数据，在平面直角坐标系中，分别找出与、与对应的坐标点，然后用平滑曲线连接这些点，即可补全函数图象．例如对于与，有，等点；对于与，有，等点．（2）①先根据函数图象或数据找到时，和的值，然后计算两者差值．②找到时的值，与小明家到幼儿园的路程比较大小．③小明家到幼儿园路程为，幼儿园到单位路程为，分别估算对应的值，相加即可得解．【详解】（1）解：如图，（2）解：①从表格数据或图象估算，当时，，，∴．②从表格数据或图象估算，当时，的值约为，∵，∴不能将小明送到幼儿园．③观察的数据，当时，，观察的数据，当时，∴当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为．26．(1)(2)或【分析】本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．（1）将点A代入解析式即可求出a的值，进而得到解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标；（2）先求出，令，则，求出的值，根据，求出或，分，两种情况，结合二次函数的性质