【压轴专练】专题08 二次函数实际应用中的利润问题（解析版）-2021-2022学年九上压轴题攻略

专题08二次函数实际应用中的利润问题经典例题例1.某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中，（1）求y关于x的函数解析式；（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y关于x的函数解析式为；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【解析】（1）设y关于x的函数解析式为，则由图象可得和，代入得：，解得：，∴y关于x的函数解析式为；（2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意得：，∴-2＜0，开口向下，对称轴为，∵，∴当时，w有最大值，即为；答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．例2.合肥百货大楼以进价120元购进某种新商品，在5月份试销阶段发现，在售价不低于130元的情况下每件售价（元）与商品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系：每件销售价格/元130135140…180…日销售量/件706560…a…（1）请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的a值为（2）若百货大楼该商品柜组想日盈利达到1600元，应将售价定为多少元？（3）柜组售货员小李发现销售该种商品m件与n件的利润相同，且，请直接写出m与n所满足的关系式．【答案】（1）20；（2）160元；（3）m+n=80【解析】（1）∵130+70=200，135+65=200，140+60=200，∴每件的售价与产品的日销量之和为200，∴a=200-180=20，故答案为：20；（2）由（1）知：当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件，设每件产品定价为x元（x＞120），则产品的日销量为（200-x）元，依题意得：（x-120）（200-x）=1600，整理得：x2-320x+25600=0，解得：x1=x2=160．答：每件产品定价为160元时，每日盈利可达到1600元；（3）由（1）知：当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件，∴当销售该种商品m件时，定价为：（200-m）元，销售该种商品n件时，定价为：（200-n）元，由题意得：（200-m-120）m=（200-n-120）n，整理得：（m-n）（m+n-80）=0，∵m≠n，∴m+n-80=0，即m+n=80．故答案为：（1）20；（2）160元；（3）m+n=80例3.某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【解析】（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；（2）由题意可得，（-2x+220）（x-40）=2400，解得，，，∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．（3）设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得w=（-2x+220）（x-40）=，当时，w有最大值，最大值为2450，∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【变式训练1】天府新区某商场开业后要经营一种新上市的文具进价为10元/件．试营销阶段发现：当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设该商场销售这种文具每天的销售量为y件，销售单价为x元/件．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）设商场每天的销售利润为w（元），若每天销售量不少于150件，求商场每天的最大利润．【答案】（1）；（2）1950元【解析】（1）当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，销售量件，销售单价元件之间的关系为：；（2）每天销售量不少于150件，，即，解得，商场每天的销售利润，关于的抛物线对称轴为，而，开口向下，当时，图象在对称轴左侧，随的增大而增大，时，最大，且最大值为1950，若每天销售量不少于150件，则商场每天的最大利润是1950元．【变式训练2】某地区在2020年开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图（2）所示（其中图（1）的图象是直线，图（2）的图象是抛物线）．（1）求每千克蔬菜销售单价与销售月份之间的关系式；（2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求出最大收益；（3）求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？【答案】（1）y=x+7；（2）5月出售每千克收益最大，最大为元；（3）一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．【解析】（1）设，将和代入得，，解得．；（2）设每千克成本与销售月份之间的关系式为：y=a（x-6）2+1，把代入得，4=a（3-6）2+1，解得．，即．收益，，当时，．故5月出售每千克收益最大，最大为元；（3）一年中销售每千克蔬菜的收益：，当时，，解得：x1=7，x2=3，，为正整数，∴一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．故答案为：（1）y=x+7；（2）5月出售每千克收益最大，最大为元；（3）一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．【变式训练3】红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．【答案】（1）；（2）当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4．【解析】（1）由题意，当时，，当时，，，，解得，综上，；（2）设该产品的月销售利润为万元，①当时，，由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大，则当时，取得最大值，最大值为；②当时，，由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为90，因为，所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元），，设该产品捐款当月的月销售利润为万元，由题意得：，整理得：，，在内，随的增大而增大，则当时，取得最大值，最大值为，因此有，解得．【变式训练4】某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量（万件）与售价（元/件）的函数关系式为（1）当售价为60元/件时，年销售量为________万件；（2）当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？（3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出的取值范围．【答案】（1）20；（2）当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元；（3）【解析】（1）．（2）设销售该产品的年利润为万元，当时，．∵，∴当时，当时，∵，，∴当时，∵，∴当时，∴当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元．（3）理由如下：由题意得故答案为：（1）20；（2）当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元；（3）课后训练1．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？【答案】（1）；（2）70元；（3）80元．【解析】（1）∵依题意得，∴与的函数关系式为；（2）∵依题意得，即，解得：，，∵∴当该商品每月销售利润为，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元；（3）设每月总利润为，依题意得

∵，此图象开口向下∴当时，有最大值为：（元），∴当销售单价为元时利润最大，最大利润为元，故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为元．2．红星工厂研发生产某种产品，成本为3万元/吨，每天最多能生产15吨．工厂为持续发展，尝试与博飞销售公司建立产销合作关系，双方约定：合作第一个月，工厂产品仅由博飞销售公司订购代销，并每天按博飞销售公司当日订购产品数量生产，当日出厂价格y（万元/吨）与当日订购产品数量x（吨）之间的关系如图所示：（1）直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）红星工厂按产销合作模式生产这种产品，设第一个y（万元/吨）月单日所获利润为w（万元），①求w（万元）与x（吨）的函数关系式；②为响应国家“乡村振兴”政策，红星工厂决定，将合作第一个月中单日所获最大利润捐赠给附近村委会．试问：工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠多少万元？【答案】（1）；（2）①w=；②工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠15万元．【解析】（1）当0≤x≤5时，设函数关系式为：y=kx+b，把（0，9），（5，4）代入上式，得，解得：，∴y=-x+9，当5＜x≤15时，y=4，综上所述：；（2）①由题意得：w=(y-3)x=，∴w=；②当时，w=，此时x=3，w最大值=9，当时，w=x，此时，x=15，w最大值=15，综上所述：工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠15万元．3．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现销售量y（件）与售价（元/件）（为正整数）之间满足一次函数关系：（元/件）456（件）1000095009000（1）求与的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润及此时的销售单价分别为多少元？【答案】（1）；（2）一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，销售单价分别为12元【解析】（1）设和的函数表达式为，则，解得，故和的函数表达式为；．（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为元，由题意得：，解得，这一周该商场销售这种商品获得利润：，∴，∵，故时，有最大值为54000，答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，销售单价为12元．4．夏天到了，宁波人最惦记的水果——杨梅进入成熟期，一水果店老板进行杨梅销售，已知杨梅进价为元/千克．如果售价为元/千克，那么每天可售出千克：如果售价为元/千克，那么每天可售出千克．经调查发现：每天销售盘(千克）与售价(元/千克)之间存在一次函数关系．（1）求出关于的一次函数关系式；（2）若杨梅售价不得高于元/千克，该店主销售杨梅每天要获得元的毛利润，则销售单价应定为多少元/千克?（毛利润=销售额-进货成本〉（3）设杨梅每天销售的毛利润为元，当杨梅的售价定为多少元/千克时，每天销售获得的毛利润最大?最大毛利润是多少元?【答案】（1）y=-10x+450；（2）33元/千克；（3）售价定为35元/千克时，每天销售获得的毛利润最大，最大毛利润是1000元．【解析】（1）∵每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，∴设y=kx+b，∵x=30时，y=150，x=32时，y=130，则，解得：，∴y关于x的一次函数关系式：y=-10x+450；（2）设销售单价应定为x元/千克，由题意得：（x-25）（-10x+450）=960，解得：x=37或x=33，∵杨梅售价不得高于36元/千克，∴x=37不合题意，∴x=33，答：销售单价应定为33元/千克；（3）设杨梅的售价定为m元/千克时，每天销售获得的毛利润最大，则W=（m-25）（-10m+450）=-10m2+700m-11250=-10（m-35）2+1000，∵-10＜0，∴当m=35时，W有最大值，最大值1000元，答：杨梅的售价定为35元/千克时，每天销售获得的毛利润最大，最大毛利润是1000元．5．某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量（单位：万件）与销售单价（单位：元）之间有如下表所示关系：…4.05.05.56.57.5……8.06.05.03.01.0…（1）根据表中的数据，在图中描出实数对所对应的点，并画出关于的函数图