第6讲正余弦函数图像及其性质（练习）

第6讲正余弦函数图像及其性质（练习）夯实基础一、单选题1．（2020·上海市七宝中学高一期中）函数，的最小正周期是（）A．12 B．6 C． D．【答案】A【分析】直接应用正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可.【详解】函数的最小正周期为：.故选：A【点睛】本题考查了正弦型函数最小正周期公式的应用，属于基础题.2．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）函数在上是减函数，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求得的单调减区间，根据在上是减函数，求得，由此求得的取值范围.【详解】的递减区间是，又，，所以，所以，所以.故选：B．【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题.3．（2020·上海市进才中学高一期中）在中，角均为锐角，且，则的形状是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】C【解析】，又角均为锐角，则，，且中，，的形状是钝角三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用诱导公式、正弦函数的单调性以及判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.4．（2020·上海市实验学校高一期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）A．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称C．函数的最小正周期为D．当时，函数的图象与直线围成的封闭图形面积为【答案】D【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：函数的部分图象，可得A＝2，•，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•φ，∴φ，f（x）＝2sin（2x）．令x，求得f（x）＝﹣2，为函数的最小值，故A错误；令x，求得f（x）＝﹣1，不是函数的最值，故B错误；函数f（2x）＝2sin（4x）的最小正周期为，故C错误；当时，2x，函数f（x）的图象与直线y＝2围成的封闭图形为x、x、y＝2、y＝﹣2构成的矩形的面积的一半，矩形的面积为π•（2+2）＝4π，故函数f（x）的图象与直线y＝2围成的封闭图形面积为2π，故D正确，故选D．【点睛】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，余弦函数的图象和性质，属于中档题．二、填空题5．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）若函数的最小正周期为，则________【答案】【分析】根据周期公式可求出，即可得到解析式，从而可求出．【详解】因为，所以，即，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查周期公式，诱导公式的应用，以及三角函数求值，属于容易题．6．（2020·上海市进才中学高一期中）若函数的图像关于直线对称，则a的值为__________．【答案】1【分析】根据三角函数的对称性，得到，即可求出结果.【详解】因为函数的图像关于直线对称，所以，即.故答案为：.【点睛】本题主要考查由三角函数的对称性求参数，属于基础题型.7．（2020·上海市进才中学高一期中）函数的单调减区间为__________．【答案】【分析】根据余弦函数的单调递减区间，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】由，得，，即函数的单调减区间为.故答案为：.【点睛】本题主要考查求余弦型函数的单调区间，属于基础题型.8．（2020·上海外国语大学嘉定外国语实验高级中学高一期中）已知函数关于直线对称，若，则_______.【答案】【分析】利用正弦型函数的对称轴，求得的表达式，根据的取值范围，求得的值.【详解】由于函数关于直线对称，所以，所以，由于，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查三角函数的对称性，属于基础题.9．（2020·上海外国语大学嘉定外国语实验高级中学高一期中）若函数的最小正周期是，则______________.【答案】【分析】根据三角函数的最小正周期公式列方程，解方程求得的值.【详解】由于，依题意可知.故答案为：【点睛】本小题主要考查三角函数最小正周期的有关计算，属于基础题.10．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知函数的图象的一条对称轴是，若表示一个简谐运动，则其初相是________.【答案】【分析】由对称性先求出，再利用辅助角公式即可得到答案.【详解】由题意，，所以，解得，所以，所以初相为.故答案为：【点睛】本题考查求三角型函数的初相，涉及到三角型函数的对称性、辅助角公式等，是一道容易题.11．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）若数列的通项公式为，其前项和为，则________【答案】【分析】结合三角函数周期性，利用分组求和方法得结果.【详解】因为的周期为所以故答案为：【点睛】本题考查三角函数周期性以及分组求和法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.12．（2020·上海市进才中学高一期中）函数的值域是________【答案】【分析】利用二倍角公式结合三角函数性质直接求解即可【详解】故函数的值域为，故答案为【点睛】本题考查三角函数的性质，二倍角公式，熟记性质是关键，是基础题13．（2020·上海市建平中学高一期中）函数（）的最小正周期为，则______.【答案】【分析】利用二倍角余弦公式将函数解析式化简为，然后利用余弦型函数的周期公式可求出的值.【详解】解：，且，该函数的最小正周期为：，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查利用余弦型函数的周期求参数，以及利用二倍角余弦公式化简，考查计算能力，属于基础题.14．（2020·上海市向明中学高一期中）函数的定义域是________【答案】，【分析】根据函数定义域得到，利用三角函数知识解得答案.【详解】函数的定义域满足，即，故，.故答案为：，.【点睛】本题考查了三角复合函数的定义域，意在考查学生的计算能力.15．（2020·上海市向明中学高一期中）函数的单调递增区间为______【答案】，【分析】利用正切函数的单调性，求得该函数的单调递增区间【详解】，令求得则函数的单调递增区间为，故答案为，【点睛】本题主要考查了三角函数单调递增区间的求解，根据正切函数的性质是解决本题的关键．16．（2020·上海市南洋模范中学高一月考）函数y=tan(2x−π【答案】k【分析】本题可以根据正切函数y=tanx的对称中心来推导出函数y=【详解】正切函数y=tanx所以函数y=tan(2x-π化简得x=kπ4+【点睛】本题考查三角函数的相关性质，考查正切函数的对称中心，考查计算能力，正切函数y=tan三、解答题17．（2020·上海杨浦区·复旦附中高一月考）已知函数.（1）求的单调减区间；（2）当时，求的最大值和最小值.【答案】（1）（）；（2）最大值为，最小值为1.【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式可知，令，即可求出单调减区间.（2）令，则可知，结合正弦函数的单调性即可求出函数的最值.【详解】解：（1）令，解得则的单调减区间为，.（2）令，因为，则，即，由于在上单调递增，则当时，；当时，.即的最大值为，最小值为1.【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了正弦函数单调性的求解，考查了正弦函数最值的求解.本题的关键是结合公式对函数的解析式进行整理变形.求正弦型函数的单调性时，常结合整体的思想列出不等式进行求解；求正弦型函数的最值时，常用换元法，结合函数的单调性、图像进行求解.18．（2020·上海市南洋模范中学高一月考）设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：，函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为.(2)由函数的解析式可得：.据此可得函数的值域为：.【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.能力提升一、单选题1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知函数，，若函数的所有零点依次记为，且，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意先求对称轴方程，在给定区间上有9条对称轴，由中点坐标公式可知x1+x2＝×2，以此类推，最后两个零点加和等于对称轴的二倍，各式相加，就可得出答案．【详解】令＝，可得，即函数的对称轴方程为，令，可得，所以函数在上有9条对称轴．根据正弦函数的性质可知，，（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴），将以上各式相加得，故选：C．【点睛】本题考查函数零点和方程根的关系，考查正弦函数图像的性质和对称性的应用，属于中档题.2．（2020·上海杨浦区·复旦附中高一月考）已知函数（其中、、均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据周期公式可得，根据当时，函数取得最小值，可得，，所以，再利用诱导公式以及三角函数的性质比较大小可得答案.【详解】依题意得，解得，所以，因为当时，函数取得最小值，所以，，即，，所以，因为且，所以，因为，又，所以，因为，所以，综上所述：.故选：A【点睛】本题考查了根据三角函数的性质求解析式，考查了诱导公式，考查了利用正弦函数的单调性比较大小，属于中档题.3．（2020·上海市南洋模范中学高一月考）已知函数在上恰有4个零点，则正整数的值为（）A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．5或6【答案】C【分析】根据函数的图象特征及周期性，得到求解.【详解】因为函数在上恰有4个零点，所以，解得，所以正整数的值为4或5.故选：C.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）函数的图象与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为在点列，中存在三个不同的点使得是等腰直角三角形，将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则________.【答案】【分析】不妨设是以为顶点的等腰直角三角型，由的最值可得斜边，结合的周期性及对称性可知，进一步得到的表达式即可得到答案.【详解】不妨设是以为顶点的等腰直角三角型，由题意，①，作出两个简单的示意图，由的周期性及对称性可知②，由①②可得，即，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数的图象及性质的应用，考查学生的逻辑推理能力、数形结合思想，是一道中档题.5．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知函数在区间上是单调函数，则实数的最大值为__________.【答案】【分析】利用函数的单调性求解即可.【详解】的单调增区间为当时，的单调增区间为由于则要使函数在区间上是单调函数必须即实数的最大值为，故答案为【点睛】本题主要考查了正弦型函数的单调性以及利用单调区间求参数的取值，关键是将正弦型函数化归为正弦函数来处理问题，属于中等题.6．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）设函数，，若函数恰有三个零点、、，则的取值范围是_______________【答案】【分析】通过换元，令则，将函数零点转化为函数的图象与直线有三个交点，利用数形结合求得的范围.【详解】函数，，令则，函数恰有三个零点，可转化为函数的图象与直线有三个交点，如图：根据三角函数图象的性质可得，，所以，即，由，可得，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数的取值范围，重点考查函数与方程，数形结合，转化思想，属于中档题型.7．（2020·上海徐汇区·位育中学高一月考）关于的方程在上有两个不同解，则的取值范围是________【答案】【分析】利用辅助角公式将原方程化为，将问题转化为函数与函数的图象的交点问题，结合图象，即可得出的取值范围.【详解】化简得出，关于的方程在上有两个不同解函数与函数的图象有两个不同的交点函数与函数的图象如下图所示由图可知，要使得函数与函数的图象有两个不同的交点，则，即，故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数图象的综合应用，属于中档题.8．（2020·上海杨浦区·复旦附中高一月考）函数（）的最小值为________【答案】【分析】设，得到，且，得出函数，再利用换元法，令，得出函数，求得函数的最小值，即可求解.【详解】设，则，可得，又由，所以函数，，令，则，且，所以，因为，则，所以的最小值为，即函数的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的基本关系式，三角函数的图象与性质综合应用，以及函数最值的求解，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.9．（2020·上海市南洋模范中学高一月考）函数的定义域是______.【答案】【分析】根据负数不能开偶次方根和对数的真数大于零求解.【详解】因为，所以，所以，所以，解得或或.故答案为：【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．（2020·上海市南洋模范中学高一月考）函数（，）的图像如图所示，则______.【答案】【分析】根据函数图象有A=2，，得到函数，再根据函数图象过点，求得，然后利用函数的周期性求解.【详解】如图所示：A=2，，所以函数，又因为函数图象过点，所以，所以，所以，所以，因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11．（2020·上海市南洋模范中学高一月考）函数的最小正周期是______.【答案】【分析】先利用辅助角公式将函数转化为，再作出图象求解.【详解】因为函数，如图所示：所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的周期性和辅助角公式，还考查了转化化归，数形结合的思想方法，属于中档题.12．（2020·上海市南洋模范中学高一月考）函数的零点个数是______.【答案】7个【分析】令，转化为，然后在同一坐标系中，作出的大致图象，利用数形结合法求解.【详解】令，所以，在同一坐标系中，作出的大致图象，如图所示：因为所以函数零点个数是7个.故答案为：7个【点睛】本题主要考查函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.13．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）若函数在区间内恰有2019个零点，则________【答案】【分析】根据零点的定义可知，方程，即在内有有2019个根，显然不满足方程，所以令，再研究直线与函数的交点个数，即可解出．【详解】令，即有，因为不满足方程，所以，令，∴．∵函数在上递增，在上递增，由图象可知，直线与函数的图象至少有一个交点．当时，直线与函数的图象只有一个交点，此时，在一个周期内的上有两个解，所以在区间内不可能有奇数个解；当时，同理可得，在区间内不可能有奇数个解；当时，直线与函数的图象有两个交点，一个，一个，所以在一个周期内，有两个解，有两个解，所以在区间内不可能有奇数个解；当时，直线与函数的图象有两个交点，一个，一个，所以在一个周期内，有两个解，有一个解，即一个周期内有三个解，所以，即．当时，同理可得，．故答案为：．【点睛】本题主要考查根据函数的零点个数求参数，二倍角