专题25出水芙蓉型-初中数学模型与解题方法专题训练

25出水芙蓉型一、单选题1．（数学文化）我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”其大意为：有一水池一丈见方，池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺，设水深为尺，则可列方程为（）A．B．C． D．【答案】D【详解】解：如图，由题意得：尺，尺，尺，尺，，则在中，由勾股定理得：，即，故选：D．2．如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为（

）A．米 B．3米 C．4米 D．12米【答案】C【详解】解：在Rt△BCD中，设BC=h，BD=AB=h+1，DC=3，∴由勾股定理得：，即，∴解得：h=4．故选：C．3．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（）A．0≤h≤12 B．12≤h≤13 C．11≤h≤12 D．12≤h≤24【答案】C【详解】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝＝＝13（cm），故h＝24﹣13＝11（cm）．故h的取值范围是：11cm≤h≤12cm．故选：C．4．将一根的细木棍放入长，宽，高分别为，，的长方体盒子中，则细木棍露在外面的最短长度为（

）．A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【详解】解：按如图所示的方法放置细木棒，露在盒子外面的部分才最短．在中，由勾股定理，得．在中，由勾股定理，得，此时露在盒子外面的部分为．故选B．5．如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8，高是12，上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（

）A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13【答案】A【详解】解：由题意可得：a的最小长度为饮料罐的高，即为12，当吸管斜放时，如图，此时a的长度最大，即为AB，∵下底面半径是5，∴AB==13，∴a的取值范围是12≤a≤13，故选：A．6．如图是一圆柱形玻璃杯，从内部测得底面直径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，沿杯子的底面直径纵向切开，则当吸管在矩形的对角线所在直线上时，杯内吸管最长，则吸管露出杯口的长度最小，由勾股定理得：杯内吸管的长度为：(cm)所以吸管露出杯口外的长度最少为2520=5(cm)；故选：B．7．如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（）A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米【答案】A【详解】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2，解得x=1.5．故选：A．8．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分以的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤l3【答案】A【详解】解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：=13．即a的取值范围是12≤a≤13．故选：A．9．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为、、，现有一长为的吸管插入盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm）；②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长==5cm，高为12cm，由勾股定理可得：杯里面管长=＝13cm，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm），∴；故选：B．10．如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤12【答案】B【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝＝＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选：B．二、填空题11．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为．【答案】2cm【详解】解：∵CD=5cm，AD=12cm，∠ADC=90°，∴，露出杯口外的长度最少为=1513=2cm．故答案为：2cm．12．将一根长为15cm的很细的木棒置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形杯中，木棒露在杯子外面的部分长度x的范围是．【答案】2cm≤x≤3cm【详解】如图所示：∵将一根长为的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为∴x最长是筷子的长度减去杯子的高度，x最短是筷子的长度减去杯子斜边长度∴由勾股定理得，杯子斜边长度∴∴故答案为：．13．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长是尺．【答案】10【详解】解：设竹竿x尺，则图中BD=x．∴BC=BECE=x4（x＞4），CD=CFDF=x2（x＞2），在直角三角形BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理得：BC2+CD2=BD2，所以（x4）2+（x2）2=x2，整理，得x212x+20=0，因式分解，得（x10）（x2）=0，解得x1=10，x2=2，∵x＞4，∴x=10．答：竹竿为10尺．故答案为：10．14．如图，在水池的正中央有一根芦，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是．【答案】13尺【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x＋1）尺，根据勾股定理得：x2＋（）2＝（x＋1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x＋1＝12＋1＝13（尺），故答案为：13尺．15．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长度是尺．【答案】13【详解】解：设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x1)尺，因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺在Rt△AB'C中，52+(x1)2=x2，解之得x=13，即芦苇长13尺．故答案为：13．16．将一根长为的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度为．【答案】4【详解】解：杯子内筷子的最大长度是：则筷子露在杯子外面的最短长度是：2420=4（cm），故答案为：4．17．现将一支长20cm的金属筷子（粗细忽略不计）放入一个长和宽分别为8cm，6cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为cm．【答案】【详解】解：如图，由题意可得，（cm），故水槽中的水深至少为：（cm），故答案为：18．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是尺．

【答案】【详解】解：依题意画出图形，

设芦苇长尺，则水深尺，∵尺，∴尺，在中，根据勾股定理得，，解得，即芦苇长尺，∴水深为尺，故答案为：．19．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是尺．【答案】12【详解】设这个水池深x尺，由题意得，x2+52=（x+1）2，解得：x=12答：这个水池深12尺．故答案为：12．三、解答题20．读诗求解“出水3尺一红莲，风吹花朵齐水面，水面移动有6尺，求水深几何请你算”．【答案】4.5尺【详解】设水深AP＝x尺，PB＝PC＝（x＋3）尺，根据勾股定理得：PA²＋AC²＝PC²，x²＋6²＝（x＋3）²．解得：x＝4.5，答∶水深4.5尺．21．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺，1尺=米），这段话翻译城现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少米？请你用所学知识解答这个问题．【答案】4米【详解】解：设水池里水的深度是x尺，由题意得，x2+52=（x+1）2，解得：x=12，米答：水池里水的深度是4米．22．（古代数学问题）印度数学家什迦逻（1141年1225年）曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.【答案】水深3.75尺．【详解】解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5，根据勾股定理得：（x+0.5）2=x2+4；解得：x=3.75．答：湖水深3.75尺．23．如图，一个直径为12cm（即BC＝12cm）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm（即FG＝2cm），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯D，求筷子GE的长度．【答案】筷子GE的长度是10cm．【详解】解：设筷子GE的长度是xcm，那么杯子的高度EF是（x2）cm，∵杯子的直径为12cm，∴杯子半径DF为6cm，在Rt△DFE中，（x2）2+62=x2，即x24x+4+36=x2，解得：x=10，答：筷子GE的长度是10cm．24．如图，一个直径为12cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度．【答案】10cm【详解】解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+2）cm，∵杯子的直径为1