考点02二次根式(原卷版+解析)

考点二二次根式知识点整合1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注意】被开方数只能是非负数．即要使二次根式eq\r(a)有意义，则a≥0．（2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质（1）≥0（≥0）；（2）；（3）；（4）；（5）．3．二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除乘法法则：；除法法则：．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一二次根式的概念及性质1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．2．二次根式的性质（1）≥0（≥0）；（2）；（3）；（4）；（5）．典例引领1．在函数中，自变量的取值范围是（

）A．且 B． C．且 D．且2．下列式子有意义的是（

）A． B． C． D．3．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A． B． C． D．4．要使在实数范围内有意义，应满足的条件是（

）A． B． C． D．5．若在实数范围内有意义，则实数的值可以是．（写一个即可）6．若在实数范围内有意义，则x取值范围为．7．要使代数式有意义，则x可以取的最小整数是．8．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．9．函数的自变量x的取值范围是．10．若代数式有意义，则的取值范围是．11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．若x、y都是实数，且，则的平方根为．13．函数中自变量x的取值范围是14．已知：a、b、c满足．(1)求a、b、c的值；(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请判断三角形的形状；若不能构成三角形，请说明理由．15．已知．(1)求a的值；(2)求的平方根．16．若有意义，求的值．17．如果，求代数式的值．变式拓展1．要使代数式有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．若二次根式有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．下列根式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．4．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．函数中自变量的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．8．使等式成立的x的取值范围在数轴上可以表示为（

）A． B．C． D．9．在函数中，自变量x的取值范围是（

）A．且 B．且 C． D．10．若，则xy的值为（

）．A．8 B．12 C．5 D．-811．二次根式有意义，则x．12．使代数式有意义的x的取值范围是．13．在函数中，自变量的取值范围是．14．，则的平方根为．15．下列各式：①②③④，其中一定是二次根式的是．（只填序号）16．在函数中，自变量x的取值范围是．17．若x、y都是实数，且，求．18．函数中，自变量的取值范围是．考向二二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除乘法法则：；除法法则：．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．典例引领1．已知，求代数式的值．2．实数、在数轴上的位置如图所示，化简：．3．计算：．4．计算(1)(2)5．已知，，求的值．6．计算：(1)；(2)．7．计算(1)；(2)；(3)8．已知的立方根是2，是的整数部分，是9的平方根，求的算术平方根．9．（1）已知的平方根为，的立方根为2，求的算术平方根．（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：．10．我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为，小数部分为，则，且．(1)的整数部分是________，小数部分是________；(2)若的整数部分为，小数部分为，求的值．11．计算：(1)；(2)．12．当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程：(1)______的解法是错误的；(2)当时，求的值．13．观察下列各式：第1个算式：；第2个算式：；第3个算式：；……请利用你所发现的规律，解决下列问题：(1)第5个算式为__________．(2)第n个算式为___________．（请用含n的式子表示）(3)求的值．14．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：，，（是的面积）；，，（是的面积）；，，（是的面积）；…(1)填空：__________，__________；(2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：___________，___________；(3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值；15．已知正数，正数的两个不同的平方根分别是和，(1)求，的值；(2)求的值．变式拓展1．计算：(1)；(2)．2．计算：(1)(2)3．计算题(1)(2)(3)(4)4．[阅读材料]材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．例如，化简解：材料二：化简方法，如果能找到两个实数m，n，使，并且，那么．例如，化简解：【理解应用】(1)填空：化简的结果等于______．(2)计算：①②5．如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，魔方体积为．

(1)求出这个魔方的棱长．(2)图甲中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分正方形的边长．(3)把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点与数1重合，则在数轴上表示的数为______．6．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．(1)计算：(2)已知是正整数，，，，求；(3)已知，求的值．7．如图，面积为的正方形四个角是面积为的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子．

(1)则原来大正方形的边长为；（保留根号）四个角的小正方形的边长为．（保留根号）(2)求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少?并将结果精确到0.01．提示：8．我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为a，小数部分为b，则，且．例如，∴的整数部分为3，小数部分为．(1)的整数部分，是小数部分是；(2)若的整数部分为m，小数部分为n，求的值．9．请阅读下列材料：问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：(1)已知，求代数式的值；(2)已知，求代数式的值10．已知，求代数式值．11．已知，．(1)求的值；(2)求．12．已知，，求的值．13．已知：，求：的值14．把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（

）

A． B． C． D．15．郡园“美美与共”数学兴趣小组编了一个“”的计算程序，规定：输入数据x，y时，若输出的是代数式称为“M”，若输出的是等式称为“X”．回答下列问题：(1)当输入正整数x，y时，得到“M”和“X”，若“X”为，求证“M”：是完全平方式．（温馨提示：对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使的条件，则称A是完全平方式，比如，是完全平方式．）(2)当输入x，y时，求“X”：的x，y的正整数解．(3)若正数x，y满足，求“M”：的最小值．考点二二次根式知识点整合1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注意】被开方数只能是非负数．即要使二次根式eq\r(a)有意义，则a≥0．（2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质（1）≥0（≥0）；（2）；（3）；（4）；（5）．3．二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除乘法法则：；除法法则：．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一二次根式的概念及性质1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．2．二次根式的性质（1）≥0（≥0）；（2）；（3）；（4）；（5）．典例引领1．在函数中，自变量的取值范围是（

）A．且 B． C．且 D．且【答案】C【分析】本题考查了函数的自变量有意义的条件，分式有意义的条件、二次根式有意义的条件．根据分式的分母不能为0，被开方数不0即可得．【详解】解：在函数中，函数的自变量有意义的条件是，，解得且，即自变量的取值范围是且，故选：C．2．下列式子有意义的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义就是被开方数大于或等于0．根据二次有意义的条件依次判定即可．【详解】A、被开方数是，故无意义，不符合题意；B、被开方数是，故无意义，不符合题意；C、被开方数是，故有意义，符合题意；D、被开方数是，故无意义，不符合题意．故选：C．3．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴，∴，故选：B．4．要使在实数范围内有意义，应满足的条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式被开方数是非负数是解答本题的关键．根据被开方数大于等于，得，由此选出答案．【详解】解：根据题意，，解得，故选：．5．若在实数范围内有意义，则实数的值可以是．（写一个即可）【答案】0（答案不唯一）【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式中被开方数的非负性求解．【详解】解：由题意可知，解得，则的值可以是0．故答案为：0(答案不唯一)．6．若在实数范围内有意义，则x取值范围为．【答案】【分析】本题考查了二次根式和分式有意义，是基础题．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【详解】解：要使有意义，则，解得且．∴的取值范围是．故答案为：．7．要使代数式有意义，则x可以取的最小整数是．【答案】3【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据“二次根式的被开方数为非负数”，即可求解．【详解】解：根据题意得：，解得：，∴x可以取的最小整数是3．故答案为：38．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，列出不等式进行求解即可，掌握二次根式被开方数是非负数是解答本题的关键．【详解】解：在实数范围内有意义，，，故答案为：．9．函数的自变量x的取值范围是．【答案】且【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件．根据二次根式和分式有意义的条件得到且，解不等式即可求解．【详解】解：由题意可得：且，解得且．∴自变量x的取值范围是且．故答案为：且10．若代数式有意义，则的取值范围是．【答案】且【分析】根据二次根式的意义、分式有意义的条件列不等式组求解即可；掌握二次根式的被开方数大于等于零，分式的分母不等于零是解题的关键．【详解】解：由题意可得：，解得：且．故答案为：且．11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【答案】/【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数，可求得x的取值，正确计算是解答本题的关键．【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴，解得，故答案为：．12．若x、y都是实数，且，则的平方根为．【答案】【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件和平方根的定义，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式求出x的值，得到y的值，根据平方根的定义解答即可．【详解】解：由题意得，，解得，，则，，196的平方根是，故答案为：．13．函数中自变量x的取值范围是【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：由题意得，，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．14．已知：a、b、c满足．(1)求a、b、c的值；(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请判断三角形的形状；若不能构成三角形，请说明理由．【答案】(1)，，(2)以a、b、c为边能构成三角形，三角形的形状是等腰三角形【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可；（2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后根据等腰三角形的概念求解即可．【详解】（1）∵∴，，∴，，；（2）∵，∴，即∴∴以a、b、c为边能构成三角形，∵∴三角形的形状是等腰三角形．【点睛】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，等腰三角形的概念，解题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形．15．已知．(1)求a的值；(2)求的平方根．【答案】(1)12(2)【分析】本题考查二次根式有意义的条件、求一个数的平方根，关键是熟知二次根式的被开方数为非负数．（1）根据二次根式的被开方数为非负数求解即可；（2）先求得b值和，再根据一个正数有两个平方根，且互为相反数求解即可．【详解】（1）解：由题意，且，解得，（2）解：∵，∴，则，∴，∴的平方根是．16．若有意义，求的值．【答案】．【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质求出，．【详解】解：由题意得：，，解得：，∴，∴．17．如果，求代数式的值．【答案】【分析】由二次根式与分式有意义的条件建立不等式组可得，再求解，再代入计算即可得到答案．【详解】解：∵，∴，解得：，∴；∴；【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，利用平方根的含义解方程，求解代数式的值，掌握二次根式与分式有意义的条件是解本题的关键．变式拓展1．要使代数式有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得出，求解即可，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于零是解此题的关键.【详解】解：要使代数式有意义，则的取值范围是，即，故选：B.2．若二次根式有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据被开方数为非负数求解即可．【详解】解：∵二次根式有意义，∴，解得：．故选A．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．3．下列根式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，逐个进行判断即可．【详解】解：A、当时，无意义，不符合题意；B、∵，∴，∴是二次根式，符合题意；C、∵，∴，∴不是二次根式，不符合题意；D、不是二次根式，不符合题意；故选：B．4．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式并求解，即可得出答案．【详解】解：若二次根式在实数范围内有意义，则有，解得．故选：A．5．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：，解得：，故选：D．6．函数中自变量的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．【答案】A【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键．根据被开方数大于等于0和分式的分母不等于0的条件可得，；求解不等式，即可得出答案．【详解】解：由题意得：且，解得：，故选：A．7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．8．使等式成立的x的取值范围在数轴上可以表示为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可．【详解】解：由题意可知：,解得：,故选：．【点睛】题目主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．9．在函数中，自变量x的取值范围是（

）A．且 B．且 C． D．【答案】A【分析】根据被开方数大于等于0和分式的分母不能等于0的条件且，然后再解不等式即可解答．【详解】解：由题意得：，且，所以，且，故选：A．【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义和分式有意义的条件是解题的关键．10．若，则xy的值为（

）．A．8 B．12 C．5 D．-8【答案】B【分析】本题可根据非负数的性质"两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0"解出的值，再代入中即可．【详解】解：依题意得：且，解得：，所以故选：B．【点睛】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：⑴绝对值；⑵偶次方；⑶二次根式（算术平方根）.当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．11．二次根式有意义，则x．【答案】【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．【详解】解：由题意得，，解得．故答案为：12．使代数式有意义的x的取值范围是．【答案】且【分析】本题考查的是根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据四次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【详解】由题意得，，，解得，，，故答案为：且．13．在函数中，自变量的取值范围是．【答案】【分析】本题考查求自变量的取值范围．根据被开方数不为负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，解得：；故答案为：．14．，则的平方根为．【答案】【分析】利用二次根式有意义的条件可得x、y的值，然后再计算出的值，再利用平方根的定义即可解答．根据二次根式有意义的条件确定x的值是解题的关键．【详解】解：由题意可得：，解得：，∴，∴，∴的平方根为．故答案为．15．下列各式：①②③④，其中一定是二次根式的是．（只填序号）【答案】②④/④②【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一判断即可．【详解】①，故不是二次根式；②，故是二次根式；③的根指数是3，故不是二次根式；④由于，因此，故是二次根式；故答案为：②④．16．在函数中，自变量x的取值范围是．【答案】【分析】本题考查函数自变量取值范围，函数自变量取值范围一般考虑两个方面：（1）二次根式被开方数大于等于0；（2）分式分母不为0．【详解】解：∵函数有意义，∴，解得：．故答案为：．17．若x、y都是实数，且，求．【答案】/0.375【分析】本题考查二次根式的非负性，根据和可得x的值，进而求出y值，代入求解即可，掌握二次根式的非负性是解题的关键．【详解】解：，，，，，，，，，故答案为：．18．函数中，自变量的取值范围是．【答案】且【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为列出不等式，解不等式得到答案．【详解】由可得：，解得：且．【点睛】此题考查了函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为是解题的关键．考向二二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除乘法法则：；除法法则：．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．典例引领1．已知，求代数式的值．【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式的被开方数是非负数，求出的值，进而得出的值，再根据二次根式的性质计算即可．掌握二次根式有意义的条件是解题关键．【详解】解：，，，解得：且，，，2．实数、在数轴上的位置如图所示，化简：．【答案】【分析】此题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，绝对值的性质；先根据数轴得出，且，进而利用二次根式的性质和绝对值的性质化简得出即可．【详解】解：由数轴可得：，且，则，，．3．计算：．【答案】【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简各式，再合并同类二次根式即可．【详解】解：原式．4．计算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，求一个数的立方根，化简绝对值：（1）先化简负整数指数幂，立方根，平方根，化简绝对值，再从左到右依次计算，即可作答．（2）根据二次根式的性质化简，以及运用平方差公式化简，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】（1）解：（2）解：．5．已知，，求的值．【答案】【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质，灵活进行公式变形是解题的关键．先求出，的值，然后把变形后整体代入求解即可．【详解】解：∵，，∴，，∴．6．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式以及完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．（1）先将二次根式化简，再计算乘法，最后计算加减法即可；（2）先根据平方差公式和完全平方公式，再根据二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．7．计算(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)1(3)【分析】本题主要考查了根式的混合运算．（1）先计算二次根式的乘法，再计算减法，注意最后结果要化成最简二次根式；（2）根据平方差公式进行计算即可；（3）可将原式化成，再化简每一项即可．熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．【详解】（1）（2）（3）8．已知的立方根是2，是的整数部分，是9的平方根，求的算术平方根．【答案】或/或【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根，根据立方根求这个数，无理数的估算等等，正确根据题意求出的值是解题的关键．根据立方根的定义得到，估算出得到，根据平方根的定义得到，据此求出或，再根据算术平方根的定义可得答案．【详解】解：∵的立方根是2，∴，∵，∴，∵是的整数部分，∴，∵是9的平方根，∴，∴或，∴的算术平方根为或．9．（1）已知的平方根为，的立方根为2，求的算术平方根．（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：．【答案】（1）5；（2）【分析】（1）根据的平方根为，的立方根为2，得出，，代入进行计算求出的值，再由算术平方根的定义计算即可；（2）由数轴可得，，从而得出，，再根据绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：（1）的平方根为，的立方根为2，，，的算术平方根为；（2）由图可得：，，，，．【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义、根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．10．我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为，小数部分为，则，且．(1)的整数部分是________，小数部分是________；(2)若的整数部分为，小数部分为，求的值．【答案】(1)7，(2)104【分析】本题考查无理数的估算，代数式求值,二次根式的混合运算，理解无理数的估算方法是关键．（1）先估算出的范围，进而可求得整数部分和小数部分；（2）先估算的范围，进而可求得m、n值，然后代入求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴的整数部分是7，小数部分是，故答案为：7，；（2）解：∵，∴，∴，，∴．11．计算：(1)；(2)．【答案】(1)6(2)【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算．（1）进行乘方，开方，负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可；（2）先化简各式，再合并同类二次根式即可．【详解】（1）解：原式；（2）原式．12．当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程：(1)______的解法是错误的；(2)当时，求的值．【答案】(1)小亮(2)，10【分析】本题考查的是二次根式的化简求值及整式的加减．（1）根据二次根式的被开方数具有非负性解答即可；（2）先把被开方数化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质解答解．【详解】（1）解：∵，，∴原式，∴小亮的解答是错误的．故答案为：小亮；（2）解：，，；当时．原式．13．观察下列各式：第1个算式：；第2个算式：；第3个算式：；……请利用你所发现的规律，解决下列问题：(1)第5个算式为__________．(2)第n个算式为___________．（请用含n的式子表示）(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】此题考查了二次根式的混合计算，数字类规律的探讨，正确总结题意中的计算规律并应用规律解决问题是解题的关键．（1）根据已有算式，进行作答即可；（2）根据已有算式，概括出相应的规律即可；（3）利用（2）中的规律，拆项计算即可．【详解】（1）解：由题意，得：第5个算式为；故答案为：；（2）∵第1个算式：；第2个算式：；第3个算式：；……∴第n个算式：，故答案为：；（3）．14．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：，，（是的面积）；，，（是的面积）；，，（是的面积）；…(1)填空：__________，__________；(2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：___________，___________；(3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值；【答案】(1)10，(2)，(3)18【分析】本题考查了数学中的阅读能力，规律问题，还有二次根式的化简，分母有理化，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．【详解】（1）根据题意可得，，；（2）根据题意可得，，；（3）．15．已知正数，正数的两个不同的平方根分别是和，(1)求，的值；(2)求的值．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了算术平方根，平方根的意义，以及二次根式的性质．（1）根据算术平方根，平方根的定义求解即可；（2）把a，b的值代入，然后根据二次根式的性质化简即可．【详解】（1）∵，∴，∴．∵正数的两个不同的平方根分别是和，∴，∴，∴，∴．（2）∵，，∴．变式拓展1．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据0指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，二次根式的除法，绝对值的意义等知识进行化简，再进行加减运算即可求解；（2）先根据完全平方公式、平方差根式进行计算，再去括号进行加减运算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：=．【点睛】本题考查了0指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，二次根式的除法，绝对值的意义，二次根式的混合运算等知识，熟知相关知识，正确进行化简是解题关键．2．计算：(1)(2)【答案】(1)(2)1【分析】（1）本题考查的是实数的运算，先根据实数的乘除法则进行计算，再进行实数的加减即可；各种运算律的灵活应用是解决此题的关键；（2）先利用完全平方公式计算，然利用平方差计算即可．【详解】（1）；（2）．3．计算题(1)(2)(3)(4)【答案】(1)0(2)(3)(4)【分析】本题考查二次根式的加减运算、整式的混合运算、分式的化简，关键是掌握相关运算法则．（1）先利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可；（2）根据多项式除以单项式、积的乘方、多项式乘以单项式运算法则求解即可；（3）先利用乘法公式去括号展开，再合并同类项即可求解；（4）根据分式的混合运算法则化简原式即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．4．[阅读材料]材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．例如，化简解：材料二：化简方法，如果能找到两个实数m，n，使，并且，那么．例如，化简解：【理解应用】(1)填空：化简的结果等于______．(2)计算：①②【答案】(1)(2)①，②【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，探索二次根式计算中的规律．（1）根据材料一方法，把分母有理化化简即可得出答案；（2）①根据材料二方法化简即可得出答案；②根据材料一方法化简即可得出答案．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：①；②原式．5．如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，魔方体积为．

(1)求出这个魔方的棱长．(2)图甲中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分正方形的边长．(3)把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点与数1重合，则在数轴上表示的数为______．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系和勾股定理：（1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方；（2）这个正方形的边长是小立方体一个面的对角线的长度；（3）根据题意得：点D表示的数是负数，它的绝对值比正方形的边长少1，即可．【详解】（1）解：∵魔方体积为，∴；（2）解：设小正方体的棱长为，根据题意得：，即，∴，∴，根据勾股定理得，答：阴影部分正方形的边长为．（3）解：由（2）知，，∵点与数1重合，∴点D对应的数是．6．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．(1)计算：(2)已知是正整数，，，，求；(3)已知，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】()根据分母有理化去分母后可相互消掉可得结果；()互为倒数，分母有理化后可得的值，代入所求式子即可；()设，，则，利用已知等式导出，根据完全平方公式计算出即是所求；本题考查了分母有理化的技巧，熟练利用完全平方公式和平方差公式设未知数整体代入是解题的关键．【详解】（1）解：原式，，，；（2）解：∵，，∴，，，∴，∵，∴，∴；（3）解：设，，则，∵，∴，∴，即，∴，∵，∴，（不符合题意，舍去），∴．7．如图，面积为的正方形四个角是面积为的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子．

(1)则原来大正方形的边长为；（保留根号）四个角的小正方形的边长为．（保留根号）(2)求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少?并将结果精确到0.01．提示：【答案】(1)；(2)这个长方体盒子的底面边长为，体积为【分析】本题主要考查了平方根的定义；（1）利用算术平方根进行解答即可；（2）根据长方体的体积公式进行计算即可；解题的关键是根据平方根的定义．【详解】（1）解：则原来大正方形的边长为；四个角的小正方形的边长为．故答案为：；．（2）解：这个长方体盒子的底面边长为：，这个长方体盒子的体积为：．答：这个长方体盒子的底面边长为，体积为．8．我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为a，小数部分为b，则，且．例如，∴的整数部