期末复习专题一：数的认识-因、倍、质、合数和分数【八大篇目】-2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列(原卷版+解析)北师大版

2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列期末复习专题一：数的认识—因、倍、质、合数和分数【八大篇目】专题解读本专题是期末复习专题一：数的认识—因、倍、质、合数和分数。本部分内容包括因数、倍数、偶数、奇数、质数、合数以及分数的认识和意义，该部分根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为八个篇目，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【第一篇】因数和倍数基本题型【知识总览】 5【考点一】因数和倍数的定义 5【考点二】求因数和倍数 6【考点三】因数和倍数的生活实际应用 6【第二篇】2、5、3的倍数特征基本题型【知识总览】 8【考点一】2、5的倍数特征 9【考点二】2、5倍数特征的生活实际应用 9【考点三】3的倍数特征 10【考点四】3的倍数特征的生活实际应用 10【考点五】利用倍数特征组数 11【考点六】奇数和偶数及其性质 12【考点七】奇数和偶数的实际应用 12【第三篇】质数与合数基本题型【知识总览】 14【考点一】质数与合数 14【考点二】质数与合数综合 15【考点三】质数的生活实际应用 15【第四篇】分数的认识和意义基本题型【知识总览】 17【考点一】分数的认识与意义 17【考点二】分数与除法综合应用 18【考点三】分数与单位换算 19【第五篇】分数的基本性质基本题型【知识总览】 20【考点一】分数的基本性质 20【考点二】分数基本性质的应用 21【考点三】分数与小数的互化及大小比较 21【第六篇】分数的分类基本题型【知识总览】 23【考点一】分数的分类 23【考点二】假分数和带分数互化 24【第七篇】约分和通分基本题型【知识总览】 25【考点一】约分和通分 25【考点二】约分的应用 26【考点三】分数大小比较 26【第八篇】最大公因数和最小公倍数基本题型【知识总览】 28【考点一】最大公因数和最小公倍数 28【考点二】分解质因数 29【考点三】最大公因数和最小公倍数的三种特殊情况 29【考点四】最大公因数的实际应用 30【考点五】最小公倍数的实际应用 31 【第一篇】因数和倍数基本题型【知识总览】一、因数与倍数。1.因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。

例如：a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。2.两点注意：（1）因数与倍数是相互依存的：在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。（2）0不作为研究因数与倍数的对象。倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。二、求一个数的因数。1.求一个数的因数的方法：列乘法或除法算式。2.因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。三、求一个数的倍数。1.求一个数的倍数的方法：用这个数依次乘非0自然数。2.倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。【考点一】因数和倍数的定义。【典型例题】1.12÷2＝6，所以，()是2倍数，2是12的()。2.根据4×6＝24，我们说4和()是()的因数，()是()和6的倍数。【对应练习】1．根据51÷3＝17，可以说()是()和()的倍数，()和()是()的因数。2．根据5×9＝45可知，45是()的倍数，5、9是()的因数。【考点二】求因数和倍数。【典型例题】1.找出40的所有因数。2.若一个数的最小倍数是12，请写出这个数在50以内的倍数。3.一个数既是6的倍数，又是54的因数，这个数最小可能是()，最大可能是()。【对应练习】1．一个自然数的最小倍数是7，它的30以内的全部倍数有()。2．在9、19、18、29、63、99这几个数中，()是9的倍数。3．在24、12、25、1、48、36、4、6、2中，6的倍数有()，48的因数有()。4．由于45＝1×45＝()×()＝()×()，所以45的因数有()。【考点三】因数和倍数的生活实际应用。【典型例题】1.小明的妈妈从批发市场买来90千克大枣，如果每15千克装一包，能正好装完吗？还可以怎么装？能装多少包？2.体操表演队由48名同学组成，表演时要排成长方形队形，都可以怎样排？（至少写出3种排法）【对应练习】1．中秋节前夕，大个糕点铺制作了192块月饼，选用下面哪种礼盒能正好装完？为什么？2．今年是抗日战争胜利75周年，我们应铭记历史。乐乐和爸爸参观完博物馆之后买纪念奖章，已知有四种价格的纪念奖章：4元/个；5元/个；8元/个；15元/个。乐乐有30元钱，如果只买一种纪念奖章，买哪种刚好把钱用完？【第二篇】2、5、3的倍数特征基本题型【知识总览】一、2、5的倍数特征。1.个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

2.个位上是0或5的数是5的倍数。二、3的倍数特征。1.3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。2.2、5、3倍数特征之间的联系：三、奇数与偶数。1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。3.整数：像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。4.自然数：像0、1、2、3、4、……都是自然数。四、奇数与偶数的基本性质。【考点一】2、5的倍数特征。【典型例题】1.分一分。2.有一个三位数17□，如果它是5的倍数，□里最小可以填()。如果它是2的倍数，□里最大可以填()。【对应练习】1．把下列数按要求填入圈内。2的倍数

5的倍数()既是2的倍数，又是5的倍数。2．279至少加上()就是2的倍数，至少减去()就是5的倍数。【考点二】2、5倍数特征的生活实际应用。【典型例题】食品店运来65个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？【对应练习】1．张奶奶家摘了64个苹果，每5个装一袋，能正好装完吗？每2个装一袋，能正好装完吗？2．公筷公勺是受新型冠状病毒肺炎影响，中国倡议的文明习惯。某餐馆买了两种勺子：第一种木勺4元每个，第二种陶瓷勺2元每个，餐馆付了100元后，找回了33元，找的钱数对吗？为什么？【考点三】3的倍数特征。【典型例题】要使207同时是2和3的倍数，里应填()；要使307既含有因数3又是5的倍数，里应填()。【对应练习】1．分别在（

）里填上一个数字，使其符合要求。(1)是3的倍数：4()5；(2)是2的倍数：39()；(3)同时是3和5的倍数；64()；(4)同时是2，3和5的倍数：81()。2．同时是2、3、5的倍数的最大三位数是()，最小三位数是()。3．152至少加上()才是3的倍数，至少减去()才是5的倍数。【考点四】3的倍数特征的生活实际应用。【典型例题】商店里有69个鸡蛋，每2个装一盒，能正好装完吗？每3个装一盒，能正好装完吗？【对应练习】1．食品店运来75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？每3个呢？每5个呢？2．举行校际运会，运动员方阵进场，每个方阵有50人，如果每2人站成一排，能正好站成整排吗？每3人呢？每5人呢？【考点五】利用倍数特征组数。【典型例题】从7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。2的倍数有：3的倍数有：5的倍数有：既是2的倍数又是3的倍数有：既是2的倍数又是5的倍数有：既是3的倍数又是5的倍数有：既是2、3的倍数，又是5的倍数有：【对应练习】从下面四个数中选3个组成一个三位数，使它符合要求。(1)偶数：。（写出一个即可。）(2)奇数：。（写出一个即可。）(3)5的倍数：。（写出一个即可。）(4)3的倍数：。（写出一个即可。）(5)同时是2、5的倍数：。（写出一个即可。）(6)同时是2、3、5的倍数：。（写出一个即可。）【考点六】奇数和偶数及其性质。【典型例题】1.在0、1、2、3、4、5、6、7、8中，奇数是：()；偶数是：()。2.用“偶数”和“奇数”填空。偶数+偶数=（）奇数+奇数=（）（）+偶数=奇数偶数×偶数=（）奇数×（）=偶数奇数-（）=偶数【对应练习】1．小于30的数中，最大的偶数是()；大于30的数中，最小的5的倍数是()。2．奇数＋奇数＝()

偶数＋偶数＝()

奇数＋偶数＝()【考点七】奇数和偶数的实际应用。【典型例题】1.晚上，平平打开灯做作业，淘气的弟弟跑过来，一下子按了27下电灯的开关，请问现在灯是亮了还是不亮？2.如果三个连续偶数的和是84，最大的偶数是多少？3.三个连续奇数的和是225，这三个奇数分别是多少？【对应练习】1．三个连续奇数的和是123，这三个数分别是()、()、()。2．三个连续的奇数的和是81，这三个奇数中最小的是()。3．唐代诗人韦应物在《滁州西涧》中写道“春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横”，渡口是以船渡的方式衔接两岸交通。一名船工以摆渡为生，每日先从南岸驶向北岸，再从北岸驶向南岸，不断往返，摆渡51次后，小船在江()。（填“南岸”或“北岸”）【第三篇】质数与合数基本题型【知识总览】质数与合数是根据一个数的因数的个数定义的：一、质数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。注意：1.质数只要两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。2.最小的质数是2，没有最大的质数。

二、合数。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。注意：1.合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。2.最小的合数是4，没有最大的合数。注意：0、1既不是质数，也不是合数。【考点一】质数与合数。【典型例题】1.在1，2，14，25，16，29，12，31，91，87这些数中，合数有()，质数有()，奇数有()，偶数有()。2.在括号里填上适当的质数。15＝()×()

20＝()＋()＋()【对应练习】1．分一分，填一填。3，91，46，87，35，29，60，1022．两个质数的和是19，这两个质数的积是()。3．两个质数的和是30，这两个质数的积最小是()，最大是()。【考点二】质数与合数综合。【典型例题】1.一个四位数，最高位是3的倍数，百位上是最小的质数，十位是所有整数共同的因数，个位是偶数，这个数最大是()。2.小明家无线网络的密码是一个六位数。从左数第一位既是偶数又是质数。第二位数既是4的倍数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数不是0，且既不是质数也不是合数，第五位数是8的最小因数，最后一位数是最大的一位数。小明家无线网络的密码是多少？【对应练习】1．有一个四位数，它的最高位上是最小的质数，百位上是最大的一位数，十位上是最小的合数，个位上的数既是偶数又是质数。这个四位数是()。2．有一个四位数，它的最高位上是2，百位上是0，十位上是最小的合数，个位上既不是质数也不是合数，这个四位数是()。3．大熊猫是我国一级保护动物，被誉为“活化石”和“中国国宝”。截至2022年底中国野生大熊猫的数量就藏在下面的提示中。中国野生大熊猎有多少只？①它是一个四位数。②它最高位上的数字是所有非零自然数的因数。③它百位上的数字比10以内最大的奇数少1。④它十位上的数字同时是2和3的倍数。⑤它个位上的数字是最小的合数。【考点三】质数的生活实际应用。【典型例题】1.一块长方形的菜地的周长是28米，长和宽的米数是不同的质数。这块菜地的面积是多少平方米？2.盒里有48块糖块，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？每次拿出多少个？【对应练习】1．用一根32厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都是质数。这个长方形的面积最大是多少平方厘米？2．一块长方形菜地的长和宽都是以米为单位的质数，周长是36米，这块长方形菜地的面积可能是多少平方米？3．一根铁丝正好可以围成一个边长是10厘米的等边三角形。如果用这根铁丝围成一个长方形，它的长和宽都是整数厘米，且长是合数，宽是质数。围成长方形的面积最大是多少平方厘米？【第四篇】分数的认识和意义基本题型【知识总览】一、分数的认识与意义。把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。二、单位“1”的认识与确定。一个物体，一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，一个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”。三、分数单位的认识与确定。把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。四、分数与除法的关系。1.在除法中，被除数÷除数=商，在分数中，被除数相当于分子，除数相当于分母，商相当于分数值，除号相当于分数线，用分数表示为。2.求一个数占另一个数的几分之几，用一个数÷另一个数=。【考点一】分数的认识与意义。【典型例题】1.把一个图形看作单位“1”，用分数表示图中涂色部分的大小。()

()

()2.kg表示把5kg平均分成（

）份，取其中的（

）份，即kg；也表示把（

）kg平均分成（

）份，取其中的（

）份，即kg。3.“长江流域可供开发的矿产资源约占”，这里是把()看作单位“1”的量，表示()是()的。4.的分数单位是()，再添()个这样的分数单位是最小的质数。【对应练习】1．用最简分数表示灰色和白色部分分别占整个图形的几分之几？灰色()

灰色()白色()

白色()2．把1米长的绳子平均分成10份，这样的3份是()分米，用分数表示是()米，用小数表示是()米。3．的分数单位是()，再添()个这样的单位就能得到最小的质数。4．实验小学五（2）班学生中，男生人数占全班人数的，表示把()看作单位“1”，女生人数占全班人数的()。【考点二】分数与除法综合应用。【典型例题】1.把一根7米长的绳子平均截成9段，每段长()米，每段占全长的()。2.书法兴趣班有9人近视，38人视力正常，近视的人数占班级总人数的几分之几？视力正常的人数占班级总人数的几分之几？【对应练习】1．把一根4米长的绳子平均分成7段，每段长米，每段占总长的。2．为支援西南抗旱，军军全家每天节约5瓶水，军军每天节约1瓶水，军军节约水比全家人节约少()。（填分数）3．李大爷院子里种了5棵龙眼树，7棵荔枝树，3棵芒果树。（1）龙眼树的棵数是荔枝树的几分之几？（2）芒果树的棵数是龙眼树的几分之几？【考点三】分数与单位换算。【典型例题】单位换算。立方分米立方米

平方厘米平方分米19分＝时

9角＝元

56平方米＝公顷【对应练习】单位换算。1元＝（

）角

1角＝元

9角＝元8cm＝dm

3cm＝m

3dm＝m2cm2＝dm2

5cm2＝m2

3dm2＝m2【第五篇】分数的基本性质基本题型【知识总览】一、分数的基本性质。分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。二、分小互化。1.分数和小数的互化（1）小数化为分数：有几位小数分母就是1后面带几个0，例如：0.1=，0.23=。（2）分数化常见的为小数：先将分数化为除法，再计算成小数，例如=1÷4=0.25。2.分数与小数之间的互化：=0.5=0.2=0.625=0.25=0.4=0.125=0.75=0.6=1.375=0.0625=0.8=0.875=0.04=0.08=0.12=0.16三、分数化有限小数。判断一个分数能否化成有限小数，首先要看这个分数是不是最简分数，如果不是最简分数，要先约分，再根据一个最简分数，如果分母中只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。【考点一】分数的基本性质。【典型例题】1.看图填分数。2.根据分数的基本性质，在下面的括号里填一填。

3.在下面的括号里填上适当的数。。【对应练习】1．。2．在括号里填上适当的数。

【考点二】分数基本性质的应用。【典型例题】1.一个分数是，如果把它的分子减去15，要使这个分数的大小不变，分母应减去几？2.如果的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应该加上()。【对应练习】1．把的分子扩大4倍，分母应加上()，才能使分数的大小不变。2．的分子加上10，要使分数的大小不变，分母应变成()。【考点三】分数与小数的互化及大小比较。【典型例题】1.把下面的小数化成分数（最简分数）或把分数化成小数。0.6＝()

0.18＝()＝()

＝()2.在0.6、、0.66，中，最大的数()，最小的()。3.在下面的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。()3.25

()()

()0.8254.在、中，能化成有限小数的是()，化成的有限小数是()。【对应练习】1．。2．。3．小明、小华和小红在环形跑道上跑步。小明跑一圈需小时，小华跑一圈需小时，小红跑一圈需小时。他们谁跑得快些？【第六篇】分数的分类基本题型【知识总览】一、分数的分类。1.真分数的意义和特征：分子比分母小的分数叫做真分数.真分数小于1。2.假分数的意义和特征：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。3.带分数的意义和特征：由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数，带分数大于1。二、假分数与带分数互化。1.假分数化成整数或带分数的方法：用分子除以分母，当分子是分母的倍数时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的倍数时能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是带分数中分数部分的分子，分母不变。2.带分数化成假分数的方法：带分数也能化成假分数，用分数部分的分母作分母，用分母和整数的积再加上分数部分的分子的和作分子。【考点一】分数的分类。【典型例题】1.把下列各数填入相应的圈内。

6

7

45假分数

真分数

带分数2.分数单位是的最小假分数是()，最大真分数是()。3.在数轴上面的里填上假分数，在下面的里填上带分数。4.如果是一个真分数，a最小是()；如果是一个假分数，a最大是()。【对应练习】1．如图，在括号里填数。2．分母是5的最小带分数是()，分母是5的最大真分数是()，分母是5的最小假分数是()。3．分数单位是的最大真分数是()，最小假分数是()，最小带分数是()。4．要使是真分数，a最小应该是()；要使是假分数，a最小应该是()。【考点二】假分数和带分数互化。【典型例题】假分数与带分数互化。

【对应练习】1．化成带分数是()；1.75化成假分数是()。2．把化成带分数是()，把1化成假分数是()。【第七篇】约分和通分基本题型【知识总览】一、约分。1.约分：利用分数的基本性质，将分子和分母同时除以同一个非零的数，这个过程叫做约分。2.最简分数：一个分数的分子和分母互质且都为整数时，我们称这个分数为最简分数。（互质数：只有公因数1的两个数。）3.约分的时候很容易一次约不到位，可以用短除法先找到最大公因数再约分，或者多约几次，直到互质再停，注意强调互质再停止约分。二、通分。1.通分：将两个或者两个以上的分数的分母化为相同的数的过程叫做通分。2.通分的方法：（1）利用短除法或者枚举法找到分母的最小公倍数；（2）计算每个分数的分母化为最小公倍数时的变化情况，分子也随之变化。注意：通分也不改变分数的大小。【考点一】约分和通分。【典型例题】1．把下面各分数约分成最简分数。

2．把下面每组分数通分。（1）和

（2）和

（3）和【对应练习】1．化简下面各分数。

2．把下面各组分数通分。和()

和()

、和()【考点二】约分的应用。【典型例题】1.一个分数，用2约分一次，再用3约分一次，得到，原来这个分数是()。2.一个分数约分后是。约分之前分子与分母的和是160，约分前的分数是()。【对应练习】1.一个分数的分母比分子大24，约分后是，这个分数是。2.的分子和分母同时减去一个数，约分后得，同时减去的这个数是多少？【考点三】分数大小比较。【典型例题】1.在括号填上“＞”“＜”或“＝”。()

()

()

()2.在、和这三个数中，最大的数是()，最小的数是()。3.王、张、李三位师傅加工同一种零件，王师傅3小时加工13个，张师傅4小时加工17个，李师傅5小时加工21个，请把三位师傅的工作效率按从小到大排列。【对应练习】1．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。34.5÷4.6()34.5

()

()

()2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。1.8÷0.7()1.8

()

7÷8()

5()【第八篇】最大公因数和最小公倍数基本题型【知识总览】一、最大公因数。1.最大公因数的定义几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数2.求两个数的最大公因数的方法：（1）列举法；（2）短除法3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。注意：求两个数的最大公因数用小括号表示。二、最小公倍数。1.最小公倍数的定义：几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。2.求最小公倍数的方法：（1）列举法；（2）短除法。3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。注意：求两个数的最小公因数用中括号表示。三、分解质因数求最大公因数和最小公倍数。分解质因数求最大公因数和最小公倍数：求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。四、最大公因数和最小公倍数的特殊情况。1.公因数只有1的两个数，叫做互质数。2.当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。3.当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数)【考点一】最大公因数和最小公倍数。【典型例题】1．写出各组数的最大公因数和最小公倍数。（1）4和5

（2）6和9

（3）4和8【对应练习】1．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。7和11

24和96

12和182．写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。4和5

6和8

8和32【考点二】分解质因数。【典型例题】如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它们的最大公因数是()，最小公倍数是()。【对应练习】1．从5、2、1、0中选3个数字组成一个同时能被2、3、5整除的最小三位数并把它分解质因数是()。2．一个数的最小倍数是91，这个数是()，将它分解质因数是()。【考点三】最大公因数和最小公倍数的三种特殊情况。【典型例题】1.b和t是互质数，它们的最大公因数是()，最小公倍数是()。2.如果m＝9n（m和n都是不为0的整数），那么m和n的最大公因数是（

）。A．m B．9 C．n D．mn3.72÷9＝8，72和9的最大公因数是()，最小公倍数是()。4.3和9的最小公倍数是()【对应练习】1．把A和B分解质因数A＝2×3×7，B＝2×2，A和B的最大公因数是()，最小公倍数是()。2．a、b都是非零自然数。如果a是b的5倍，那么a和b的最大公因数是()；如果a＋1＝b，那么a和b的最小公倍数是()。3．a＝2×3×m，b＝3×5×m（m是自然数且m≠0）如果a和b的最大公因数33，那么a和b的最小公倍数是()。【考点四】最大公因数的实际应用。【典型例题】1.用下面的两种彩带包装礼品盒。现在要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每段最长是多少分米？一共能剪成几段？2.选修课上，老师要求同学们将一张长28厘米，宽12厘米的长方形彩纸。在无剩余的前提下，裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少？一共可以裁成多少张？【对应练习】1．李奶奶买芒果花了16元，王奶奶买芒果花了24元。如果她们买的芒果的单价是一样的，那么这种芒果的单价最高是多少元？写出思考过程。（她们购买芒果的单价和数量都是整数）2．有三条彩带，分别长12厘米，42厘米，54厘米，现在要把它们截成长度相等的小段（每段的长为整厘米数），不许有剩余，每小段最长是多少厘米？此时一共截成了多少段？3．把一张长90厘米，宽50厘米的长方形纸板剪成同样大小的正方形纸板，要使剪成的正方形尽可能大且无剩余，正方形的边长应该是多少厘米？【考点五】最小公倍数的实际应用。【典型例题】1.篮子里的萝卜无论是分给12只小兔子，还是分给15只小兔子，都能正好分完。篮子里至少有多少根萝卜？2.我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车3.甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每12天去一次，乙每16天去一次，如果4月25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？4.现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？5.有一些糖果，平均分给8个人多7块，平均分给6个人多5块，这些糖果最少有多少块?【对应练习】1．一筐苹果，平均分给3个人，4个人或5个人都正好余1个，这筐苹果至少有多少个？2．扣板是室内装修常用的一种材料，有着无毒、防霉变质等特点。爸爸想用一些长18厘米，宽12厘米的塑料扣板拼成一个正方形的台面，最少要用多少块这种扣板就能拼成一个正方形？3．某公交始末站68路公交车每8分发车一次，9路公交车每6分发车一次，两车同时发车后至少再过多少分钟又同时发车？4．2022年6月5日，“神舟十四号”载人飞船圆满发射成功。当天，有两个航天科普公众号都发表了一篇文章介绍这一盛事。已知这两个公众号一个每3天发表一次文章，另一个每4天发表一次文章。这两个公众号再次同一天发表文章要到几月几号？

2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列期末复习专题一：数的认识—因、倍、质、合数和分数【八大篇目】专题解读本专题是期末复习专题一：数的认识—因、倍、质、合数和分数。本部分内容包括因数、倍数、偶数、奇数、质数、合数以及分数的认识和意义，该部分根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为八个篇目，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【第一篇】因数和倍数基本题型【知识总览】 5【考点一】因数和倍数的定义 5【考点二】求因数和倍数 6【考点三】因数和倍数的生活实际应用 8【第二篇】2、5、3的倍数特征基本题型【知识总览】 10【考点一】2、5的倍数特征 11【考点二】2、5倍数特征的生活实际应用 12【考点三】3的倍数特征 13【考点四】3的倍数特征的生活实际应用 15【考点五】利用倍数特征组数 16【考点六】奇数和偶数及其性质 18【考点七】奇数和偶数的实际应用 19【第三篇】质数与合数基本题型【知识总览】 21【考点一】质数与合数 21【考点二】质数与合数综合 23【考点三】质数的生活实际应用 24【第四篇】分数的认识和意义基本题型【知识总览】 28【考点一】分数的认识与意义 28【考点二】分数与除法综合应用 31【考点三】分数与单位换算 33【第五篇】分数的基本性质基本题型【知识总览】 35【考点一】分数的基本性质 35【考点二】分数基本性质的应用 37【考点三】分数与小数的互化及大小比较 39【第六篇】分数的分类基本题型【知识总览】 41【考点一】分数的分类 41【考点二】假分数和带分数互化 44【第七篇】约分和通分基本题型【知识总览】 46【考点一】约分和通分 46【考点二】约分的应用 48【考点三】分数大小比较 49【第八篇】最大公因数和最小公倍数基本题型【知识总览】 52【考点一】最大公因数和最小公倍数 52【考点二】分解质因数 55【考点三】最大公因数和最小公倍数的三种特殊情况 56【考点四】最大公因数的实际应用 57【考点五】最小公倍数的实际应用 60 【第一篇】因数和倍数基本题型【知识总览】一、因数与倍数。1.因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。

例如：a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。2.两点注意：（1）因数与倍数是相互依存的：在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。（2）0不作为研究因数与倍数的对象。倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。二、求一个数的因数。1.求一个数的因数的方法：列乘法或除法算式。2.因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。三、求一个数的倍数。1.求一个数的倍数的方法：用这个数依次乘非0自然数。2.倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。【考点一】因数和倍数的定义。【典型例题】1.12÷2＝6，所以，()是2倍数，2是12的()。解析：12；因数2.根据4×6＝24，我们说4和()是()的因数，()是()和6的倍数。解析：6；24；24；4【对应练习】1．根据51÷3＝17，可以说()是()和()的倍数，()和()是()的因数。【答案】5131731751【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此解答即可。【详解】根据51÷3＝17，可以说51是3和17的倍数，3和17是51的因数。2．根据5×9＝45可知，45是()的倍数，5、9是()的因数。【答案】5和945【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。【详解】根据5×9＝45可知，45是5和9的倍数，5、9是45的因数。【考点二】求因数和倍数。【典型例题】1.找出40的所有因数。解析：1、2、4、5、8、10、20、402.若一个数的最小倍数是12，请写出这个数在50以内的倍数。解析：12、24、36、483.一个数既是6的倍数，又是54的因数，这个数最小可能是()，最大可能是()。解析：6；54【对应练习】1．一个自然数的最小倍数是7，它的30以内的全部倍数有()。【答案】7、14、21、28【分析】根据一个数的因数和倍数的特征可知，一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。一个自然数的最小倍数是7，这个自然数是它本身，再根据求一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此写出这个数的30以内的全部倍数。【详解】一个自然数的最小倍数是7，这个自然数是7。30以内7的倍数有7、14、21、28。【点睛】此题的解题关键是理解一个数的因数和倍数的特征，掌握求一个数的倍数的方法。2．在9、19、18、29、63、99这几个数中，()是9的倍数。【答案】9、18、63、99【分析】找一个数的倍数的方法：可根据列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。【详解】9×1＝9，9×2＝18，9×3＝27，9×4＝36，9×5＝45，9×6＝54，9×7＝63，9×8＝72，9×9＝81，9×10＝90，9×11＝99，9×12＝108，⋯9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99、108⋯所以在9、19、18、29、63、99这几个数中，9、18、63、99是9的倍数。【点睛】此题的解题关键是灵活运用找一个数的倍数的方法求解。3．在24、12、25、1、48、36、4、6、2中，6的倍数有()，48的因数有()。【答案】24、12、48、36、624、12、1、48、4、6、2【分析】一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一个整数的倍数；因数是指整数a除以整数b（b≠0）的商正号是正数而没有余数，我们就说b是a的因数，据此解答。【详解】24、12、25、1、48、36、4、6、2中6的倍数有：24、12、48、36、6；48的因数有：24、12、1、48、4、6、2。在24、12、25、1、48、36、4、6、2中，6的倍数有24、12、48、36、6，48的因数有24、12、1、48、4、6、2。【点睛】熟练掌握求一个数的因数的方法因数，求一个数的倍数的方法是解答本题的关键。4．由于45＝1×45＝()×()＝()×()，所以45的因数有()。【答案】315591、3、5、9、15、45【分析】找因数的方法：用乘法，从1开始，不重复、不遗漏，据此解答。【详解】由分析可知：由于45＝1×45＝3×15＝5×9，所以45的因数有1、3、5、9、15、45。【点睛】本题考查找因数的方法，可以用乘法，注意：不重复、不遗漏。【考点三】因数和倍数的生活实际应用。【典型例题】1.小明的妈妈从批发市场买来90千克大枣，如果每15千克装一包，能正好装完吗？还可以怎么装？能装多少包？解析：90÷15＝6（包）90的因数有1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。每包选择合适的千克数即可，可以10千克一包。90÷10＝9（包）答：如果每15千克装一包，能正好装完；还可以10千克一包，装9包。2.体操表演队由48名同学组成，表演时要排成长方形队形，都可以怎样排？（至少写出3种排法）解析：48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8答：可以排6行8列、4行12列、3行16列、2行24列。【对应练习】1．中秋节前夕，大个糕点铺制作了192块月饼，选用下面哪种礼盒能正好装完？为什么？【答案】6块或4块的礼品盒【分析】要求哪种包装正好把192个月饼装完，只需192是每盒所装数量的倍数；用192盒分别去除以9，6，4，计算出商是多少，余数是多少；找出其中没有余数的，除数就是每盒能装的数量，商为需要盒子的数量。【详解】192÷9＝21（盒）……3（块）192÷6＝32（盒）192÷4＝48（盒）答：选用每盒装6块或每盒装4块的礼品盒。2．今年是抗日战争胜利75周年，我们应铭记历史。乐乐和爸爸参观完博物馆之后买纪念奖章，已知有四种价格的纪念奖章：4元/个；5元/个；8元/个；15元/个。乐乐有30元钱，如果只买一种纪念奖章，买哪种刚好把钱用完？【答案】买5元/个或15元/个【分析】根据总价÷单价＝数量，用30分别除以四种纪念奖章的价格，若能够整除，则刚好把钱用完；若不能整除，则说明不能把钱刚好用完。【详解】30÷4＝7（个）⋯⋯2（元）30÷5＝6（个）30÷8＝3（个）⋯⋯6（元）30÷15＝2（个）答：买5元一个的或15元一个的奖章，刚好把钱用完。【点睛】本题考查倍数的认识，明确总价、数量和单价之间的关系是解题的关键。【第二篇】2、5、3的倍数特征基本题型【知识总览】一、2、5的倍数特征。1.个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

2.个位上是0或5的数是5的倍数。二、3的倍数特征。1.3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。2.2、5、3倍数特征之间的联系：三、奇数与偶数。1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。3.整数：像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。4.自然数：像0、1、2、3、4、……都是自然数。四、奇数与偶数的基本性质。【考点一】2、5的倍数特征。【典型例题】1.分一分。解析：根据分析可得：2.有一个三位数17□，如果它是5的倍数，□里最小可以填()。如果它是2的倍数，□里最大可以填()。解析：0；8【对应练习】1．把下列数按要求填入圈内。2的倍数

5的倍数()既是2的倍数，又是5的倍数。【答案】图形见详解；30、20【分析】根据2、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数。同时是2和5的倍数的数，个位上必须是0。据此解答即可。【详解】如图所示：30、20既是2的倍数，又是5的倍数。【点睛】此题考查的目的是理解掌握2、5的倍数的特征及应用。2．279至少加上()就是2的倍数，至少减去()就是5的倍数。【答案】14【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。【详解】280－279＝1、279－275＝4279至少加上1就是2的倍数，至少减去4就是5的倍数。【考点二】2、5倍数特征的生活实际应用。【典型例题】食品店运来65个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？解析：答：如果每2个装一袋，不能正好装完，如果每5个装一袋，能正好装完。因为65的个位是5，65不是2的倍数，65是5的倍数。【对应练习】1．张奶奶家摘了64个苹果，每5个装一袋，能正好装完吗？每2个装一袋，能正好装完吗？【答案】每5个装一袋，不能正好装完；每2个装一袋，能正好装完【分析】根据2的倍数特征：个位上是0、2、4，6，8的数都是2的倍数；5的倍数特征：个位上的数是0或5的数，是5的倍数，再根据能被2，5整除的数的特征进行判断是否正好整完。【详解】64÷5＝12（袋）……4（个），64不能被5整除，不是5的倍数，不能正好装完；64÷2＝32（袋），64能被2整数，是2的倍数，能装好装完。答：每5个装一袋，不能正好装完，每2个装一袋，能正好装完。【点睛】熟练掌握2、5的倍数特征是解答本题的关键。2．公筷公勺是受新型冠状病毒肺炎影响，中国倡议的文明习惯。某餐馆买了两种勺子：第一种木勺4元每个，第二种陶瓷勺2元每个，餐馆付了100元后，找回了33元，找的钱数对吗？为什么？【答案】不对；理由见详解【分析】由题意可知，实际付款金额为：100－33＝67（元）。餐馆如果只购买木勺，那么付款金额应该是4的倍数；餐馆如果只购买陶瓷勺，那么付款金额应该是2的倍数；餐馆如果既购买了木勺又购买了陶瓷勺，那么付款金额应该同时是4和2的倍数；而67既不是2的倍数也不是4的倍数，所以不对。【详解】100－33＝67（元）答：不对，因为两种勺子的单价分别是4元，2元，都是2的倍数，所以不论买多少，总钱数应该是2的倍数，找回的钱数也是2的倍数，所以找回33元不对。【点睛】本题考查倍数，明确无论买多少，找回的钱数也是2的倍数是解题的关键。【考点三】3的倍数特征。【典型例题】要使207同时是2和3的倍数，里应填()；要使307既含有因数3又是5的倍数，里应填()。解析：0；5【对应练习】1．分别在（

）里填上一个数字，使其符合要求。(1)是3的倍数：4()5；(2)是2的倍数：39()；(3)同时是3和5的倍数；64()；(4)同时是2，3和5的倍数：81()。【答案】(1)0(2)0(3)5(4)0【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。5的倍数特征：个位上是0或5的数。3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。【详解】（1）是3的倍数：405（答案不唯一）。（2）是2的倍数：390（答案不唯一）。（3）同时是3和5的倍数；645。（4）同时是2，3和5的倍数：810。2．同时是2、3、5的倍数的最大三位数是()，最小三位数是()。【答案】990120【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数特征：个位是0，且各个数位上的数字和是3的倍数，据此判断。要使同时是2、3和5的倍数，则个位上只能填0，要使三位数最小，则百位上写1，3的最小倍数为3，所以十位上是（3－1）；要使三位数最大，则百位上写9，十位上也要尽可能写最大，已知990是3的倍数，所以十位上最大写9。据此解答。【详解】3－1＝2根据分析可知，同时是2、3、5的倍数的最大三位数是990，最小三位数是120。【点睛】熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解决此题的关键。3．152至少加上()才是3的倍数，至少减去()才是5的倍数。【答案】12【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。152各个数位上的数字之和是1＋5＋2＝8，8至少加上1才是3的倍数。5的倍数特征：个位上是0或5的数。152的个位是2，至少减去2，个位才是0，据此解答。【详解】152＋1＝153，153是3的倍数；152－2＝150，150是5的倍数；所以，152至少加上1才是3的倍数，至少减去2才是5的倍数。【考点四】3的倍数特征的生活实际应用。【典型例题】商店里有69个鸡蛋，每2个装一盒，能正好装完吗？每3个装一盒，能正好装完吗？解析：6＋9＝15，69不是2的倍数，69是3的倍数。答：根据2和3的倍数特征可知：69不是2的倍数，所以每2个装一盒，不能正好装完；69是3的倍数，所以能正好装完。【对应练习】1．食品店运来75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？每3个呢？每5个呢？【答案】见详解【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；各位上数的和是3的倍数的数是3的倍数；个位上是0或5的数，是5的倍数。75的个位是5，所以75不是2的倍数，那么每2个装一袋，不能正好装完；7＋5＝12，12是3的倍数，所以75是3的倍数，那么每3个装一袋，能正好装完；75的个位是5，所以75是5的倍数，那么每5个装一袋，能正好装完。【详解】答：每2个装一袋不能正好装完，因为75不是2的倍数，每3个或5个装一袋能正好装完，因为75是3和5的倍数。2．举行校际运会，运动员方阵进场，每个方阵有50人，如果每2人站成一排，能正好站成整排吗？每3人呢？每5人呢？【答案】能；不能；能【分析】个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，各数位相加的和是3的倍数的数是3的倍数，个位是0或5的数是5的倍数；想正好站成整排，需要总人数是每排人数的倍数，则解决此题只需要验证50是否是2、3、5的倍数即可，用总人数除以每排的人数即可求出能站多少排，如果有余数就不能站成整排。【详解】50÷2＝25（排）50÷3＝16（排）……2（人）50÷5＝10（排）答：如果每2人站成一排，能正好站成整排；每3人不能站成整排；每5人能站成10整排。【点睛】解决问题的关键在于想站成整排，总人数必须是每排人数的倍数，可以利用除法计算验证，也可以利用倍数特征直接进行判断。【考点五】利用倍数特征组数。【典型例题】从7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。2的倍数有：3的倍数有：5的倍数有：既是2的倍数又是3的倍数有：既是2的倍数又是5的倍数有：既是3的倍数又是5的倍数有：既是2、3的倍数，又是5的倍数有：解析：2的倍数有：502、702、750、720、270、570；3的倍数有：270、720、570、750、705、507、702、207；5的倍数有：270、720、570、750、705、205；既是2的倍数又是3的倍数有：270，720、750、702、570；既是2的倍数又是5的倍数有：270，720、750、570，250，520；既是3的倍数又是5的倍数有：270，720，570，750；既是2、3的倍数，又是5的倍数有270、720、750、570；【对应练习】从下面四个数中选3个组成一个三位数，使它符合要求。(1)偶数：。（写出一个即可。）(2)奇数：。（写出一个即可。）(3)5的倍数：。（写出一个即可。）(4)3的倍数：。（写出一个即可。）(5)同时是2、5的倍数：。（写出一个即可。）(6)同时是2、3、5的倍数：。（写出一个即可。）【答案】(1)612(2)621(3)620(4)612(5)610(6)120【分析】（1）（2）个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。据此可知：本题中写出的偶数的个位上是6、0、2，答案不唯一，不防写出一个偶数（三位数）是612；本题中写出的奇数的个位上是1，答案不唯一，不防写出一个奇数（三位数）是621。（3）个位上是0或5的数都是5的倍数。据此可知：本题中写出的5的倍数个位上是0，答案不唯一，不防写出一个是5的倍数的数（三位数）是620。（4）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。6＋1＋2＝9，9是3的倍数，答案不唯一，不防写出一个是3的倍数的数（三位数）是612。（5）个位上是0的数既是5的倍数，又是2的倍数。答案不唯一，不防写出一个同时是2、5的倍数的数（三位数）是610。（6）求同时是2、5、3的倍数的数，可以先确定同时是2、5的倍数的数，再考虑这个数是3的倍数。同时是2、5的倍数的数个位上是0，1＋2＝3，3是3的倍数，答案不唯一，不防写出一个同时是2、3、5的倍数的数（三位数）是120。【详解】（1）偶数：612（答案不唯一）（2）奇数：621（答案不唯一）（3）5的倍数：620（答案不唯一）（4）3的倍数：612（答案不唯一）（5）同时是2、5的倍数：610（答案不唯一）（6）同时是2、3、5的倍数：120（答案不唯一）【考点六】奇数和偶数及其性质。【典型例题】1.在0、1、2、3、4、5、6、7、8中，奇数是：()；偶数是：()。解析：1、3、5、7；0、2、4、6、82.用“偶数”和“奇数”填空。偶数+偶数=（）奇数+奇数=（）（）+偶数=奇数偶数×偶数=（）奇数×（）=偶数奇数-（）=偶数解析：偶数；偶数；奇数；偶数；奇数；奇数【对应练习】1．小于30的数中，最大的偶数是()；大于30的数中，最小的5的倍数是()。【答案】2835【分析】能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，根据5的倍数特征可知，一个数的个数如果是0或5，则这个数就是5的倍数；据此解答。【详解】由分析可得：小于30的数中，最大的偶数是28；大于30的数中，最小的5的倍数是35。【点睛】本题考查了奇数和偶数的意义及5倍数的特征。2．奇数＋奇数＝()

偶数＋偶数＝()

奇数＋偶数＝()【答案】奇数偶数奇数【分析】根据数的奇偶性运算性质：偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数，偶数±奇数＝奇数，偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，据此解答。【详解】奇数＋奇数＝奇数偶数＋偶数＝偶数奇数＋偶数＝奇数【点睛】解答本题的关键是熟练掌握数的奇偶性运算性质。【考点七】奇数和偶数的实际应用。【典型例题】1.晚上，平平打开灯做作业，淘气的弟弟跑过来，一下子按了27下电灯的开关，请问现在灯是亮了还是不亮？解析：27是奇数答：灯是不亮。2.如果三个连续偶数的和是84，最大的偶数是多少？解析：中间的偶数：84÷3＝28最大的偶数：28＋2＝30答：最大的偶数是30。3.三个连续奇数的和是225，这三个奇数分别是多少？解析：答：这三个奇数分别是73、75、77。【对应练习】1．三个连续奇数的和是123，这三个数分别是()、()、()。【答案】394143【分析】相邻的奇数之间相差2，三个连续奇数的和÷3＝中间奇数，中间奇数－2＝最小奇数，中间奇数＋2＝最大奇数，据此分析。【详解】123÷3＝4141－2＝3941＋2＝43三个连续奇数的和是123，这三个数分别是39、41、43。2．三个连续的奇数的和是81，这三个奇数中最小的是()。【答案】25【分析】相邻的奇数之间相差2，三个连续奇数的和÷3＝中间奇数，中间奇数－2＝最小的奇数，据此列式计算。【详解】81÷3－2＝27－2＝25这三个奇数中最小的是25。3．唐代诗人韦应物在《滁州西涧》中写道“春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横”，渡口是以船渡的方式衔接两岸交通。一名船工以摆渡为生，每日先从南岸驶向北岸，再从北岸驶向南岸，不断往返，摆渡51次后，小船在江()。（填“南岸”或“北岸”）【答案】北岸【分析】每日先从南岸驶向北岸，再从北岸驶向南岸，摆渡1次在北岸，摆渡2次在南岸，即摆渡次数为奇数时在北岸，摆渡次数为偶数时在南岸，据此填空。【详解】51是奇数，摆渡次数为奇数时在北岸，摆渡51次后，小船在江北岸。【第三篇】质数与合数基本题型【知识总览】质数与合数是根据一个数的因数的个数定义的：一、质数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。注意：1.质数只要两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。2.最小的质数是2，没有最大的质数。

二、合数。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。注意：1.合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。2.最小的合数是4，没有最大的合数。注意：0、1既不是质数，也不是合数。【考点一】质数与合数。【典型例题】1.在1，2，14，25，16，29，12，31，91，87这些数中，合数有()，质数有()，奇数有()，偶数有()。解析：14，25，16，12，91，87；2，29，31；1，25，29，31，91，87；2，14，16，122.在括号里填上适当的质数。15＝()×()

20＝()＋()＋()解析：3

5

2

7

11【对应练习】1．分一分，填一填。3，91，46，87，35，29，60，102【答案】46，60，102；3，91，87，35，29；3，29；91，46，87，35，60，102【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。【详解】2．两个质数的和是19，这两个质数的积是()。【答案】34【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。根据质数的意义，先找出和为19的两个质数，再相乘，求出这两个质数的积即可。【详解】19＝2＋172×17＝34两个质数的和是19，这两个质数的积是34。3．两个质数的和是30，这两个质数的积最小是()，最大是()。【答案】161221【分析】先根据质数的意义，找出哪两个质数相加，和是30，再把这两个质数相乘，求出积，比较大小，找出最大的积和最小的积。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。【详解】30＝7＋23＝11＋19＝13＋177×23＝16111×19＝20913×17＝221221＞209＞161两个质数的和是30，这两个质数的积最小是161，最大是221。【考点二】质数与合数综合。【典型例题】1.一个四位数，最高位是3的倍数，百位上是最小的质数，十位是所有整数共同的因数，个位是偶数，这个数最大是()。解析：92182.小明家无线网络的密码是一个六位数。从左数第一位既是偶数又是质数。第二位数既是4的倍数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数不是0，且既不是质数也不是合数，第五位数是8的最小因数，最后一位数是最大的一位数。小明家无线网络的密码是多少？解析：249119【对应练习】1．有一个四位数，它的最高位上是最小的质数，百位上是最大的一位数，十位上是最小的合数，个位上的数既是偶数又是质数。这个四位数是()。【答案】2942【分析】最小的质数是2；最大的一位数是9；最小的合数是4；既是偶数又是质数的数是2。据此解答。【详解】通过分析可知，这个四位数是2942。2．有一个四位数，它的最高位上是2，百位上是0，十位上是最小的合数，个位上既不是质数也不是合数，这个四位数是()。【答案】2041【分析】合数：一个非0自然数，除了1和它本身，还有其它因数的数是合数，最小的合数是4，1既不是质数也不是合数；这是一个四位数，最高位是千位，千位上是2，百位上是0，十位上是4，个位上是1，据此写出这个数。【详解】根据分析可知：有一个四位数，它的最高位上是2，百位上是0，十位上是最小的合数，个位上既不是质数也不是合数，这个四位数是2041。3．大熊猫是我国一级保护动物，被誉为“活化石”和“中国国宝”。截至2022年底中国野生大熊猫的数量就藏在下面的提示中。中国野生大熊猎有多少只？①它是一个四位数。②它最高位上的数字是所有非零自然数的因数。③它百位上的数字比10以内最大的奇数少1。④它十位上的数字同时是2和3的倍数。⑤它个位上的数字是最小的合数。【答案】1864只【分析】1是任何非0自然数的因数。整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。【详解】①四位数的最高位是千位；②1是所有非零自然数的因数，所以它千位上的数字是1；③10以内最大的奇数是9，9－1＝8，所以它百位上的数字是8；④10以内同时是2和3的倍数的数是6，所以它十位上的数字是6；⑤最小的合数是4，所以它个位上的数字是4；综上所述，这个四位数是1864。答：中国野生大熊猎有1864只。【考点三】质数的生活实际应用。【典型例题】1.一块长方形的菜地的周长是28米，长和宽的米数是不同的质数。这块菜地的面积是多少平方米？解析：28÷2＝14（米）14＝3＋113×11＝33（平方米）答：这块菜地的面积是33平方米。2.盒里有48块糖块，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？每次拿出多少个？解析：48=2×2×2×2×3不一次拿出可以分为以下4组：48=2×24=3×16=4×12=6×8答：有8种不同拿法，每次分别拿出2、3、4、6、8、12、16、24个。【对应练习】1．用一根32厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都是质数。这个长方形的面积最大是多少平方厘米？【答案】55平方厘米【分析】根据长方形的长与宽的和＝周长÷2，即32÷2＝16（厘米），根据一个数只有1和它本身这两个因数，那么这个数就是质数，可知满足条件的有：长为13厘米，宽为3厘米，面积为13×3＝39（平方厘米），长为11厘米，宽为5厘米，面积为11×5＝55（平方厘米），比较后即可得解。【详解】32÷2＝16（厘米）长、宽都为质数的有：13＋3＝16（厘米）13×3＝39（平方厘米）11＋5＝16（厘米）11×5＝55（平方厘米）55平方厘米＞39平方厘米答：这个长方形的面积最大是55平方厘米。【点睛】本题考查质数的应用，掌握质数的概念是关键。2．一块长方形菜地的长和宽都是以米为单位的质数，周长是36米，这块长方形菜地的面积可能是多少平方米？【答案】65平方米或77平方米【分析】已知长方形菜地的周长是36米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长、宽之和＝周长÷2，即长、宽之和是36÷2＝18米；因为长和宽都是以米为单位的质数，两个质数之和等于18的组合可能有13＋5和11＋7，由此得出长方形的长、宽；再根据长方形的面积＝长×宽，求出这块长方形菜地的面积。【详解】长、宽之和：36÷2＝18（米）18＝13＋5＝11＋7所以这个长方形的长可能是13米、宽可能是5米或长是11米、宽是7米；13×5＝65（平方米）11×7＝77（平方米）答：这块长方形菜地的面积可能是65平方米或77平方米。【点睛】本题考查质数的意义及应用，先灵活运用长方形周长公式求出长、宽之和，再根据质数的意义确定长、宽，最后根据长方形的面积公式求解。3．一根铁丝正好可以围成一个边长是10厘米的等边三角形。如果用这根铁丝围成一个长方形，它的长和宽都是整数厘米，且长是合数，宽是质数。围成长方形的面积最大是多少平方厘米？【答案】56平方厘米【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。等边三角形的周长＝边长×3，据此求出铁丝长度，即长方形周长，长方形周长÷2＝长宽和，将长宽和拆成两数相加的形式，根据质数和合数的分类标准，找到符合长是合数，宽是质数的情况，长方形面积＝长×宽，分别求出面