2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）课时规范练10指数与对数的运算

课时规范练10指数与对数的运算基础巩固练1.(2024·广东江门模拟)若2m=5,4n=3,则43n-m的值是()A.0.9 B.1.08 C.2 D.42.(2024·福建福州联考)已知2a=5,则lg20=()A.a+1a+2C.a+2a+13.(2024·辽宁模拟)苏格兰数学家纳皮尔发明的对数及对数表(部分对数表如下表所示),为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.因为210=1024∈[103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数),已知M30是24位数,则正整数M的值为()N3456789lgN0.47710.60210.69900.77820.84510.90310.9542A.4 B.5 C.6 D.84.(2024·安徽临泉模拟)已知4·3m=3·2n=1,则()A.m>n>-1 B.n>m>-1C.m<n<-1 D.n<m<-15.(2024·江苏徐州模拟)要测定古生物的年代,可以用放射性碳法:在动植物的体内都含有微量的放射性碳14.动植物死亡后,停止了新陈代谢,碳14不再摄入,且原来的碳14会自动衰变.经过5730年,它的残余量只有原始量的一半.现用放射性碳法测得某古生物中碳14含量占原来的15,推算该古生物约是m年前的遗物,则m的值为()(参考数据:(lg2)-1≈3.A.12302 B.13304C.23004 D.240346.(多选题)(2024·山东潍坊调研)已知3x=4y=12,则实数x,y满足()A.x>y B.x+y<4C.1x+1y7.(2024·山西大同模拟)(0.064)-13-(-79)0+[(-2)3]-43-168.(2024·江西南昌模拟)计算:(log62)2+(log63)2+3log62×(log6318−13log62)+32×(4-9.(2024·四川眉山模拟)18世纪的数学家欧拉在研究调和级数时得到了以下的结果:当n很大时,1+12+13+…+1n=lnn+γ(常数γ=0.557…).利用以上公式,可以估计110综合提升练10.(多选题)(2024·河南豫南名校检测)设a=log0.20.3,b=log0.30.4,则下列结论中正确的是()A.2a<1+ab B.2a>1+abC.a>b D.b>a11.(2024·重庆巴蜀中学模拟)现有一台计算机每秒能进行54×1015次运算,若需要这台计算机进行2128次运算,那么所需时间约为()(参考数据:lg2≈0.301,100.431≈2.A.2.698×1022秒 B.2.698×1023秒C.2.698×1024秒 D.2.698×1025秒12.(多选题)(2024·江苏南京模拟)已知2log31a+log3b=0,则下列等式一定正确的是(A.(2a)2=2b B.a·elna=bC.b=2a D.log2a=log8ab13.(2024·重庆一中检测)设p>0,q>0,满足log2p=log4q=log8(2p+q),则pq=14.(2025·安徽合肥模拟)log34273log2[412log215.(2025·上海期中)若实数a,b,c满足42a+12b=1,116.(13分)(2024·北京模拟)已知a,b,c均为正数,3a=4b=6c,2a=mb,(1)求m;(2)若1c−1a+117.(13分)(2025·安徽蚌埠期中)(1)试利用对数运算性质计算lg3lg4(lg8(2)已知x,y,z均为正数,若3x=4y=6z,求yz−(3)定义:一个自然数的数位的个数,叫做位数,例如23的位数是2,2024的位数是4.试判断22024的位数.(注lg2≈0.3010)创新应用练18.(多选题)(2024·重庆九龙坡模拟)若a,b,c都是正数,且2a=3b=6c,则()A.1a+1C.a+b>4c D.ab>4c2答案：1.B解析因为2m=5,4n=3,所以43n-m=43n4m=(4n2.C解析由2a=5,得a=log25,故lg20=lg1005=2-lg5=2-log25log210=2-lo3.C解析由题意可知1023≤M30<1024,两边同时取对数可得23≤30lgM<24,所以2330≤lgM<2430,故0.7667≤lgM<0.8,由表中数据可知M=6,4.D解析由已知得m=-log34<-1,n=-log23<-1,又m-n=log23-log34=1-1-(log32+log35.B解析设原始量为x,每年衰减率为a,∴x(1-a)5730=12x,∴1-a=(12)

15730,∴(1-a)m=(12)

m5730=15,∴m5730=log1215=log25=lg5lg2=1lg2(lg10-lg6.AD解析对于A,因为3x=4y=12,所以x=log312=1log123>0,y=log412=1log124>0,因为log124>log123>0,所以1log123>1log124,即x>y,故A正确;对于C,由3x=4y=12,得x=log312,y=log412,所以1x+1y=1log312+1log412=log123+log124=log1212=1,故C错误;对于D,7.2316解析原式=(0.43)-13-1+(-2)-4-(24)-0.75=0.4-8.3解析原式=(log62)2+(log63)2+3log62×log639+=(log62)2+(log63)2+3log62×log6323=(log62)2+(log63)2+2log62×log63+2=(log62+log63)2+2=(log66)2+2=3.9.ln3解析由题意,可得110001+110002+…+130000=(1+12+…+130000)-(1+12+…+110000)=ln30000+γ-(ln10000+γ)=10.AD解析1a+b=log0.30.2+log0.30.4=log0.30.08>log0.30.09=2,因为a=log0.20.3>log0.21=0,所以2a<1+ab,故A正确,B错误;4a=log0.20.0081<log0.20.008=3,4b=log0.30.0256>log0.30.027=3,所以b>a,故C错误,D正确.故选AD11.B解析设所需时间为t秒,则t·54×1015=2128,lgt+lg5-2lg2+15=128lg2,∴lgt=131lg2-16,∴lgt≈131×0.301-16=23.431,∴t≈1023.431=100.431×1023=2.698×1023(秒),12.BD解析由2log31a+log3b=0,得a>0,b>0,且log3a-2+log3b=0,即log3a-2b=0,∴a-2b=1,b=a2,而此时b=2a不总是成立,则C错误;若(2a)2=2b,即22a=2b,所以b=2a,结合以上分析可知A错误;若a·elna=b,即a·a=a2=b,故B正确;因为b=a2,所以log8ab=log8a3=log23a3=log2a,所以D正确.13.12解析由log2p=log4q可知log2p=log2qlog24=12log2q=log2q,即p=q,由log2p=log8(2p+q)可知log2p=log2(2p+q)log28=log232p+q,即p=32p14.-log254解析原式=log33343·log2(2log210-3-7log7215.1516解析由42a+12b=1,得42a+12b=1≥242a+b由12a+b+c2b+4c2a=1,得1+c(2a+4所以c=2a+b-因为2a+b≥16,所以c=2a+b-12a+b=1-1216.解(1)设3a=4b=6c=k.∵a,b,c均为正数,∴k>1.则a=log3k,b=log4k,c=log6k.ab=log3klog4k=lgklg3lgklg4=lg4lg3(2)∵a=log3k,b=log4k,c=log6k,∴1a=logk3,1b=logk4,1c∴1c−1a=logk6-logk3=logk2=12logk4=12b,又1c−1a+1b=2,解得b=34,由(1)知,ab=log34,∴a=17.解(1)原式=lg32lg2(3lg2(2)因为x,y,z均为正数,令3x=4y=6z=a,则a>1,所以x=log3a,y=log4a,z=log6a,所以y(3)设22024=t,则lgt=2024·lg2,又lg2≈0.3010,所以lgt≈2024×0.3010=609.224,所以t≈10609.224,则t∈(10609,10610),所以22024的位数为610.18.BCD解析设2a=3b=6c=t,则a=log2t=1logt2,1a=logt2,b=log