2024高考高考数学二轮复习第二部分第一讲高考常考客观题微专题4算法初步推理与证明学案理

PAGEPAGE1微专题4算法初步、推理与证明命题者说考向一程序框图【例1】(1)(2024·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为()A．1B．2C．3D．4(2)(2024·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,99)－eq\f(1,100)，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入()A．i＝i＋1 B．i＝i＋2C．i＝i＋3 D．i＝i＋4解析(1)N＝20，i＝2，T＝0，eq\f(N,i)＝eq\f(20,2)＝10，是整数；T＝0＋1＝1，i＝2＋1＝3,3<5，eq\f(N,i)＝eq\f(20,3)，不是整数；i＝3＋1＝4,4<5，eq\f(N,i)＝eq\f(20,4)＝5，是整数；T＝1＋1＝2，i＝4＋1＝5，结束循环。输出的T＝2。故选B。(2)由S＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,99)－eq\f(1,100)得程序框图N先对奇数项累加，T再对偶数项累加，最终相减S＝N－T。因此在空白框中应填入i＝i＋2。故选B。答案(1)B(2)B程序框图的解题策略(1)要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，依据各自的特点执行循环体。(2)要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的改变。(3)要明确循环体终止的条件是什么，会推断什么时候终止循环体。变|式|训|练1．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值的秦九韶算法，即将f(x)改写成如下形式：f(x)＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值。这种算法至今仍是比较先进的算法。将秦九韶算法用程序框图表示，如图所示，则在空白的执行框内应填入()A．v＝vx＋ai B．v＝v(x＋ai)C．v＝aix＋v D．v＝ai(x＋v)解析秦九韶算法的过程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v0＝an，,vk＝vk－1＋an－k))(k＝1,2，…，n)，这个过程用循环结构来实现，应在题图中的空白执行框内填入v＝vx＋ai。故选A。答案A2．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为________。解析执行如题干图所示的程序框图，过程如下：k＝3，n＝1，S＝1，满意条件2S<kn，执行循环体，n＝2，S＝eq\f(5,3)，满意条件2S<kn，执行循环体，n＝3，S＝eq\f(35,12)，满意条件2S<kn，执行循环体，n＝4，S＝eq\f(21,4)，满意条件2S<kn，执行循环体，n＝5，S＝eq\f(77,8)，不满意条件2S<kn，终止循环，输出S的值为eq\f(77,8)。答案eq\f(77,8)考向二推理与证明微考向1：归纳推理【例2】(2024·惠州二调)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴实的相识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法。我们用近代术语说明为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯卦”，符号为“”，其表示的十进制数是()A．33 B．34C．36 D．35解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯卦”的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34。故选B。答案B归纳推理思想在解决问题时，从特别状况入手，通过视察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探究性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用。其思维模式是“视察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想。变|式|训|练缺8数是一个特别奇妙的数，视察以下等式：12345679×9＝11111111112345679×18＝22222222212345679×27＝33333333312345679×36＝444444444…则第8个等式为________。解析由分析知，当乘数为9＝9×1时，结果为9位数，各个数位上的数字均是1；当乘数为18＝9×2时，结果为9位数，各个数位上的数字均是2，归纳推理易得结果。答案12345679×72＝888888888微考向2：类比推理【例3】我们知道：“平面中到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆”。拓展至空间：“空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知A(－1,0,0)，B(1,0,0)，则点集{P(x，y，z)||PA|－|PB|＝1}在空间中的轨迹描述正确的是()A．以A，B为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面B．以A，B为焦点的椭球体C．以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面D．以上都不对解析由特别到特别进行类比推理可得：点集{P(x，y，z)||PA|－|PB|＝1}在空间中的轨迹描述正确的是以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面。故选C。答案C类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相像性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相像性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起。当然首先是在某些方面有肯定的共性，才能有方法上的类比。变|式|训|练已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a>1)的图象上随意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论eq\f(ax1＋ax2,2)>aeq\f(x1＋x2,2)成立。运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))的图象上的不同两点，则类似地有________成立。解析运用类比思想与数形结合思想，可知y＝sinx(x∈(0，π))的图象是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标eq\f(sinx1＋sinx2,2)总是小于函数y＝sinx(x∈(0，π))图象上的点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，sin\f(x1＋x2,2)))的纵坐标，即eq\f(sinx1＋sinx2,2)<sineq\f(x1＋x2,2)成立。答案eq\f(sinx1＋sinx2,2)<sineq\f(x1＋x2,2)微考向3：演绎推理【例4】(2024·潍坊统考)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就始终运用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干”以“甲”字起先，“地支”以“子”字起先，两者按干支依次相配，组成了干支纪年法，其相配依次为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳、…、癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录。2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2024年是“干支纪年法”中的()A．己亥年B．戊戌年C．庚子年D．辛丑年解析由题意知2014年是甲午年，则2015到2024年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年。故选C。答案C演绎推理就是依照已知的定义、定理、公理推导我们所要的结论，它是一种从一般到特别的推理。变|式|训|练某参观团依据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必需去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必需去。则该参观团至多去了()A．B，D两镇 B．A，B两镇C．C，D两镇 D．A，C两镇解析若去A镇，依据①可知肯定去B镇，依据③可知不去C镇，依据④可知不去D镇，依据②可知去E镇，与⑤冲突，故不能去A镇；若不去A镇，依据⑤可知也不去E镇，再依据②知去D镇，再依据④知去C镇，再依据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇。故选C。答案C1．(考向一)(2024·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(5,6)C．eq\f(7,6) D．eq\f(7,12)解析运行程序框图，k＝1，s＝1；s＝1＋(－1)1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，k＝2；s＝eq\f(1,2)＋(－1)2×eq\f(1,3)＝eq\f(5,6)，k＝3；满意条件，跳出循环，输出的s＝eq\f(5,6)。故选B。答案B2．(考向二)运用“□”和“○”依据如下规律从左到右进行排位：□，○，□，○，○，○，□，○，○，○，○，○，□，○，○，○，○，○，○，○，…，若每一个“□”或“○”占一个位置，如上述图形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是“□”，则第2017位之前(不含第2017位)，共有________个“○”。解析记“□，○”为第1组，“□，○，○，○”为第2组，“□，○，○，○，○，○”为第3组，以此类推，第k组共有2k个图形，故前k组共有2×1＋2×2＋2×3＋…＋2k＝2×(1＋2＋3＋…＋k)＝k(k＋1)个图形，因为44×45＝1980<2016<45×46＝2070，所以在这2016个图形中有45个“□”，1971个“○”。答案19713．(考向二)学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品预料如下：甲说“C或D作品获得一等奖”；乙说“B作品获得一等奖”；丙说“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说“C作品获得一等奖”。评奖揭晓后，发觉这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________。解析若A为一等奖，则甲，乙，丙，丁的说法均错误，故不满意题意；若B获得一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满意题意；若C获得一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满意题意；若D获得一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，所以若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B。答案B4．(考向二)祖暅(公元前5～6世纪)是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子。他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异。”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。这句话的意思是：两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等。设由椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(如图)(称为椭球体)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________。解析椭圆的长半轴为a，短半轴为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，依据祖暅原理得出椭球体的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π×b2×a－\f(1,3)π×b2×a))＝eq\f(4,3)πb2a。答案eq\f(4,3)πb2a5．(考向二)(2024·孝义模拟)有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参与数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；