研究生抽象代数试题及答案

研究生抽象代数试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.整数集$\mathbb{Z}$对于普通加法运算构成的群是（）A.有限群B.交换群C.非交换群D.循环群2.设$G$是群，$a\inG$，则$a$的阶是（）A.使得$a^n=e$的最小正整数$n$B.使得$a^n=e$的任意整数$n$C.元素$a$的次数D.以上都不对3.一个有限群$G$的阶是12，它的子群的阶不可能是（）A.2B.3C.4D.54.环$R$中，对于任意$a,b\inR$，以下哪个式子成立（）A.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$B.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$C.$a(b+c)=ab+ac$D.以上都不对5.整环$R$中，可逆元的个数是（）A.0个B.1个C.有限个D.不一定6.设$f:G_1\rightarrowG_2$是群同态，$Ker(f)$是（）A.$G_1$的子群B.$G_2$的子群C.$G_1$的正规子群D.$G_2$的正规子群7.域$F$上的多项式环$F[x]$是（）A.主理想整环B.欧几里得整环C.唯一分解整环D.以上都是8.一个置换$\sigma=(123)$的逆置换是（）A.$(132)$B.$(321)$C.$(213)$D.$(123)$9.群$G$的中心$Z(G)$是（）A.所有与$G$中元素可交换的元素的集合B.$G$的任意子群C.$G$的正规子群D.以上都不对10.有限域$F_q$中元素个数是（）A.质数$p$B.质数幂$p^n$C.任意整数D.以上都不对答案：1.B2.A3.D4.C5.D6.C7.D8.A9.A10.B二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些是群的性质（）A.封闭性B.结合律C.存在单位元D.每个元素都有逆元2.下列哪些集合对于给定运算构成环（）A.整数集$\mathbb{Z}$对于普通加法和乘法B.偶数集对于普通加法和乘法C.所有$n$阶方阵对于矩阵加法和乘法D.有理数集$\mathbb{Q}$对于普通加法和乘法3.关于环的理想，下列说法正确的是（）A.理想是子环B.两个理想的交是理想C.理想对乘法封闭D.理想的和是理想4.设$G$是群，$H$是$G$的子群，以下哪些条件等价于$H$是$G$的正规子群（）A.对于任意$g\inG$，$gH=Hg$B.对于任意$g\inG$，$gHg^{-1}=H$C.存在$g\inG$，使得$gH=Hg$D.对于任意$h\inH$，$g\inG$，$ghg^{-1}\inH$5.整环的性质有（）A.无零因子B.有单位元C.可交换D.是唯一分解整环6.以下哪些是域的性质（）A.是整环B.每个非零元都有乘法逆元C.有限域元素个数是质数D.是交换环7.群同态$f:G_1\rightarrowG_2$具有以下性质（）A.$f(e_1)=e_2$（$e_1,e_2$分别是$G_1,G_2$的单位元）B.$f(a^{-1})=f(a)^{-1}$C.$f(ab)=f(a)f(b)$D.$f$是双射8.置换群中的置换可以写成（）A.不相交轮换的乘积B.对换的乘积C.循环置换的和D.以上都不对9.关于有限群的西罗定理，下列说法正确的是（）A.西罗$p$-子群存在B.西罗$p$-子群共轭C.西罗$p$-子群的个数满足一定条件D.西罗$p$-子群是正规子群10.以下哪些是模$n$剩余类环$\mathbb{Z}_n$的性质（）A.元素个数为$n$B.是交换环C.当$n$为质数时是域D.一定有零因子答案：1.ABCD2.ACD3.ABD4.ABD5.ABC6.ABD7.ABC8.AB9.ABC10.ABC三、判断题（每题2分，共10题）1.任意两个群都可以作直积。（）2.环中一定有零因子。（）3.群同态一定是单射。（）4.整环一定是域。（）5.有限群的子群个数是有限的。（）6.置换的逆置换的阶与原置换的阶相同。（）7.环的理想一定是双边理想。（）8.域上的多项式环一定是主理想整环。（）9.群的中心一定是正规子群。（）10.模$n$剩余类环$\mathbb{Z}_n$一定有可逆元。（）答案：1.√2.×3.×4.×5.√6.√7.√8.√9.√10.×四、简答题（每题5分，共4题）1.简述群的定义。答案：集合$G$与一个二元运算$\cdot$，满足封闭性、结合律，存在单位元$e$，对任意$a\inG$有逆元$a^{-1}$，则$(G,\cdot)$是群。2.什么是环的理想？答案：环$R$的非空子集$I$，对加法封闭，且对任意$r\inR$，$a\inI$有$ra\inI$（左理想）和$ar\inI$（右理想），双边都满足则是双边理想。3.说明整环和域的关系。答案：域一定是整环，因为域满足整环无零因子、可交换、有单位元的性质。但整环不一定是域，整环中非零元不一定都有乘法逆元，而域中每个非零元都有逆元。4.简述群同态基本定理。答案：设$f:G_1\rightarrowG_2$是群同态，则$G_1/Ker(f)\congIm(f)$，即群$G_1$关于同态核$Ker(f)$的商群同构于同态像$Im(f)$。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论有限群的拉格朗日定理及其应用。答案：拉格朗日定理指出有限群$G$的子群$H$的阶整除群$G$的阶。应用：可确定群可能的子群阶数，判断某些子群是否存在，分析群的结构，例如判断不存在阶数不符合整除关系的子群等。2.探讨环的分类及常见环的特点。答案：环可分为交换环、非交换环、有单位元环、无单位元环等。常见环如整数环$\mathbb{Z}$是交换整环；矩阵环是非交换环；多项式环$F[x]$是交换环且是唯一分解整环，不同环的运算性质和结构特点各异。3.分析域扩张的概念及意义。答案：域扩张是从一个基础域$F$到包含它的更大的域$E$的关系。意义在于通过扩张可解决基础域中一些无