优胜教育2025年数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

优胜教育2025年数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点和，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：①；②；③；④．其中是“椭型直线”的是（）A．①③ B．①② C．②③ D．③④2．在上可导的函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（）A． B． C． D．3．已知则的最小值是()A． B．4 C． D．54．已知两个复数,的实部和虚部都是正整数,关于代数式有以下判断:①最大值为2；②无最大值;③最小值为；④无最小值.其中正确判断的序号是（）A．①③ B．①④ C．②④ D．②③5．已知函数f(x)=x2-x-6，在区间[-6,4]内任取一点xA．13 B．25 C．16．用数学归纳法证明“”，则当时，应当在时对应的等式的左边加上（）A． B．C． D．7．已知三棱锥的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为，，，，画该三棱锥的三视图的俯视图时，以平面为投影面，得到的俯视图可以为（）A． B． C． D．8．若在曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”.下列方程：①②；③④对应的曲线中存在的“自公切线”的是（）A．①③ B．②③ C．②③④ D．①②④9．己知函数，其中为函数的导数，求（）A． B． C． D．10．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A． B．C． D．11．已知函数，若是图象的一条对称轴的方程，则下列说法正确的是（）A．图象的一个对称中心 B．在上是减函数C．的图象过点 D．的最大值是12．函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为A． B．或C． D．或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知非零向量，，满足：，且不等式恒成立，则实数的最大值为__________.14．若函数的最小正周期为，则的值是________．15．某公司共有名员工，他们的月薪分别为万，万，万，万，万，万，万，则这名员工月薪的中位数是__________．16．根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）《西游记女儿国》是由星皓影业有限公司出品的喜剧魔幻片，由郑保瑞执导，郭富城、冯绍峰、赵丽颖、小沈阳、罗仲谦、林志玲、梁咏琪、刘涛等人领衔主演，该片于2017年电影之夜获得年度最受期待系列电影奖，于2018年2月16日（大年初一）在中国内地上映.某机构为了了解年后社区居民观看《西游记女儿国》的情况，随机调查了当地一个社区的60位居民，其中男性居民有25人，观看了此片的有10人，女性居民有35人，观看了此片的有25人.（1）完成下面列联表：性别观看此片未观看此片合计男女合计（2）根据以上列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“该社区居民是否观看《西游记女儿国》与性别有关”？请说明理由.参考公式：.附表：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828|18．（12分）已知二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）设函数，当时，求的最小值；（3）设函数，若对任意，总存在，使得成立，求m的取值范围.19．（12分）已知数列满足，．(Ⅰ)求的值，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明；(Ⅱ)令，求数列的前项和.20．（12分）一辆汽车前往目的地需要经过个有红绿灯的路口.汽车在每个路口遇到绿灯的概率为（可以正常通过），遇到红灯的概率为（必须停车）.假设汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止前进，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值.（1）求汽车在第个路口首次停车的概率；（2）求的概率分布和数学期望.21．（12分）某研究机构为了调研当代中国高中生的平均年龄，从各地多所高中随机抽取了40名学生进行年龄统计，得到结果如下表所示：年龄（岁）数量6101284(Ⅰ)若同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批学生的平均年龄；(Ⅱ)若在本次抽出的学生中随机挑选2人，记年龄在间的学生人数为，求的分布列及数学期望.22．（10分）在锐角中，角所对的边分别为，已知．证明：；若的面积，且的周长为10，为的中点，求线段的长．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

先确定动点的轨迹为椭圆，再考虑各选项中的直线与椭圆是否有公共点后可得正确的选项.【详解】由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程为．对于①，把代入，整理得，由，知不是“椭型直线”；对于②，把代入，整理得，所以是“椭型直线”；对于③，把代入，整理得，由，知是“椭型直线”；对于④，把代入，整理得，由，知不是“椭型直线”．故②③是“椭型直线”．故：C．本题考查直线与椭圆的位置关系，此类问题一般联立直线方程和椭圆方程，消去一个变量后通过方程的解的个数来判断位置关系，本题属于基础题.2、B【解析】

分别讨论三种情况，然后求并集得到答案.【详解】当时：函数单调递增，根据图形知：或当时：不成立当时：函数单调递减根据图形知：综上所述：故答案选B本题考查了根据图像判断函数的单调性，意在考查学生的读图能力.3、C【解析】

由题意结合均值不等式的结论即可求得的最小值，注意等号成立的条件.【详解】由题意可得：，当且仅当时等号成立.即的最小值是.故选：C.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．4、C【解析】

设两个复数,,在复平面内对应点,利用平面向量的加法的几何意义以及平面向量的数量积可以判断出的最值情况.【详解】设两个复数,,在复平面内对应点,因此有：因为,复数,的实部和虚部都是正整数,所以,(当且仅当),故,假设有最小值,则,显然对于也成立,于是有这与相矛盾,故不存在最小值；对任意正整数,,,,故没有最大值,因此②④说法正确.故选：C本题考查了复数的向量表示,考查了平面向量的数量积的计算,考查了数学运算能力.5、C【解析】

先求出x<0,则【详解】由f(x)≥0得(x-3)(x+2)⩾0，故x≥3或x≤-2，由-6≤x0≤4，故-6≤x0≤-2或本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.6、C【解析】

由数学归纳法可知时，左端，当时，，即可得到答案.【详解】由题意，用数学归纳法法证明等式时，假设时，左端，当时，，所以由到时需要添加的项数是，故选C.本题主要考查了数学归纳法的应用，着重考查了理解与观察能力，以及推理与论证能力，属于基础题.7、C【解析】点在的投影为，点在的投影为，在的投影为，在的投影为，连接四点，注意实线和虚线，得出俯视图，选C8、B【解析】

化简函数的解析式,结合函数的图象的特征,判断此函数是否有自公切线．【详解】①是一个等轴双曲线,没有自公切线;②,在和处的切线都是,故②有自公切线;③此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合,故此函数有自公切线;④即结合图象可得,此曲线没有自公切线.故选:.本题考查命题的真假判断与应用,考查学生的数形结合的能力,难度一般.9、A【解析】

设，判断奇偶性和导数的奇偶性，求和即可得到所求值．【详解】解：函数设，则即，即，则，又，，可得，即有，故选：．本题考查函数的奇偶性和导数的奇偶性，考查运算能力，属于中档题．10、D【解析】

构造函数，对函数求导得到函数的单调性，进而将原不等式转化为，，进而求解.【详解】根据题意，设，则导数；函数在区间上，满足，则有，则有，即函数在区间上为增函数；，则有，解可得：；即不等式的解集为；故选：D．这个题目考查了函数的单调性的应用，考查了解不等式的问题；解函数不等式问题，可以直接通过函数的表达式得到结果，如果直接求解比较繁琐，可以研究函数的单调性，零点等问题，将函数值大小问题转化为自变量问题.11、A【解析】

利用正弦函数对称轴位置特征，可得值，从而求出解析式，利用的图像与性质逐一判断即可．【详解】∵是图象的一条对称轴的方程，∴，又，∴，∴.图象的对称中心为，故A正确；由于的正负未知，所以不能判断的单调性和最值，故B，D错误；，故C错误.故选A.本题主要考查三角函数的图像与性质．12、D【解析】

根据函数的奇偶性得到，在单调递增，得，再由二次函数的性质得到，【详解】函数为偶函数，则，故，因为在单调递增，所以.根据二次函数的性质可知，不等式，或者，的解集为，故选D.此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4.【解析】

法一：采用数形结合，可判断的终点是在以AB为直径的圆上，从而分离参数转化成恒成立问题即可得到答案.法二：（特殊值法）可先设，，，利用找出的轨迹，从而将不等式恒成立问题转化为函数问题求解.【详解】法一：作出相关图形，设,，由于，所以，且这两个向量共起点，所以的终点是在以AB为直径的圆上，可设，所以由图可知，，所，等价于,,所以，答案为4.法二：（特殊值法）不妨设，，，则，，，由于可得整理得，可得圆的参数方程为：，则相当于恒成立，即求得，即求的最大值即可，，所以，因此.故答案为4.本题主要考查向量的相关运算，参数方程的运用，不等式恒成立问题，意在考查学生的综合转化能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.14、【解析】试题分析：考点：三角函数周期【方法点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.15、万【解析】

将这名员工的月薪按照从小到大的顺序排列后,正中间的数据就是中位数.【详解】将这名员工的月薪按照从小到大的顺序排列如下:万，万，万,万，万,万，万，根据中位数的定义可得这名员工月薪的中位数是:万.故答案为:万.本题考查了中位数的概念,属于基础题.16、1【解析】分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件T=1+3+5+7时i的值．详解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加T=1+3+5+7，并输出满足条件时i值．∵T=1+3+5+7=16≥10，故输出的i值为7+2=1．故答案为1．点睛：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)性别观看此片未观看此片合计男101525女251035合计352560；(2)能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“该社区居民是否观看《西游记女儿国》与性别有关【解析】

（1）将题意中的数据逐一填写到表格中即可；（2）将题意提供的数据代入到中，求出的观测值，对比附表得出结果。【详解】解：（1）性别观看此片未观看此片合计男101525女251035合计352560（2）根据列联表中的数据，得到的观测值为故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“该社区居民是否观看《西游记女儿国》与性别有关本题考查了数据处理的能力，主要考查了列联表与独立性检验的应用问题，数据的精准代入与准确计算是解决本题的关键。18、（1）；（2）；（3）【解析】

(1)根据二次函数,则可设,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的求得,再分析对称轴与区间的位置关系进行分类讨论求解的最小值即可.(3)根据题意可知需求与在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.【详解】(1)设.①∵,∴,又∵,∴,可得,∴解得即.(2)由题意知,,,对称轴为.①当,即时,函数h(x)在上单调递增,即；②当,即时,函数h(x)在上单调递减,在上单调递增,即.综上,(3)由题意可知,∵函数在上单调递增,故最小值为,函数在上单调递减,故最小值为,∴,解得.本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.19、(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根据，利用递推公式，可以求出的值，可以猜想出数列的通项公式，然后按照数学归纳法的步骤证明即可；(Ⅱ)利用错位相减法，可以求出数列的前项和.【详解】解:(Ⅰ)当时，当时，当时，猜想，下面用数学归纳法证明当时，，猜想成立，假设当()时，猜想成立，即则当时，，猜想成立综上所述，对于任意，均成立(Ⅱ)由（Ⅰ）得①②由①－②得：本题考查了用数学归纳法求数列的通项公式，考查了用借位相减法求数列的前项和，考查了数学运算能力.20、（1）;（2）分布列见解析，数学期望.【解析】

（1）汽车在第3个路口首次停车是指汽车在前两个路口都遇到绿灯，在第3个路口遇到绿灯，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出汽车在第3个路口首次停车的概率．（2）设前往目的地途中遇到绿灯数为，则，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值．的可能取值为0，2，4，，，，由此能求出的概率分布列和数学期望．【详解】解：（1）由题意知汽车在前两个路口都遇到绿灯，在第3个路口遇到绿灯，汽车在第3个路口首次停车的概率为：．（2）设前往目的地途中遇到绿灯