浙江省宁波市鄞州区诺丁汉大学附中2025届高二下数学期末综合测试模拟试题含解析

浙江省宁波市鄞州区诺丁汉大学附中2025届高二下数学期末综合测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是（）A． B．C． D．2．某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则这个单位安排夜晚值班的方案共有（）A．960种 B．984种 C．1080种 D．1440种3．已知正三棱锥的外接球的半径为，且满足则正三棱锥的体积为()A． B． C． D．4．设函数，则（）A．9 B．11 C．13 D．155．已知函数是定义在上的偶函数，且，若对任意的，都有成立，则不等式的解集为（）A． B．C． D．6．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得P（K2>k）

1．11

1．14

1．124

1．111

1．114

1．111

k

2．615

3．841

4．124

5．534

6．869

11．828

参照附表，得到的正确结论是（）A．有8．4%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B．有8．4%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过1．14%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过1．14%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”7．椭圆C：x24+y23=1的左右顶点分别为AA．[12,34]8．甲､乙､丙､丁､戊5名同学报名参加社区服务活动,社区服务活动共有关爱老人､环境监测､教育咨询､交通宣传､文娱活动五个项目,每人限报其中一项,记事件为“5名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报关爱老人项目”,则()A． B． C． D．9．若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知tan=4,cot=,则tan（+）=（）A． B． C． D．11．是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则的离心率是（）A． B． C． D．12．若存在实数，，使不等式对一切正数都成立（其中为自然对数的底数），则实数的最小值是（）.A． B．4 C． D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．2019年5月15日，亚洲文明对话大会在中国北京开幕.来自亚洲全部47个国家和世界其他国家及国际组织的1352位会议代表共同出席大会.为了保护各国国家元首的安全，相关部门将5个安保小组安排到的三个不同区域内开展安保工作，其中“甲安保小组”不能单独被分派，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有_________种.14．已知，若，i是虚数单位，则____________．15．若实数满足条件，则的最大值为_________．16．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于________________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°Ⅰ试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论18．（12分）设函数，．(1)解不等式；(2)设函数，且在上恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如图所示.用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台.该企业现有两种购置方案：方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）20．（12分）设等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求的前项和．21．（12分）《基础教育课程改革纲要(试行)》将“具有良好的心理素质”列入新课程的培养目标．为加强心理健康教育工作的开展，不断提高学生的心理素质，九江市某校高二年级开设了《心理健康》选修课，学分为2分．学校根据学生平时上课表现给出“合格”与“不合格”两种评价，获得“合格”评价的学生给予41分的平时分，获得“不合格”评价的学生给予31分的平时分，另外还将进行一次测验．学生将以“平时分×41%+测验分×81%”作为“最终得分”，“最终得分”不少于51分者获得学分．该校高二(1)班选修《心理健康》课的学生的平时分及测验分结果如下：测验分[31，41)[41，41)[41，51)[51，61)[61，81)[81，91)[91，111]平时分41分人数1113442平时分31分人数1111111（1）根据表中数据完成如下2×2列联表，并分析是否有94%的把握认为这些学生“测验分是否达到51分”与“平时分”有关联？选修人数测验分达到51分测验分未达到51分合计平时分41分平时分31分合计（2）用样本估计总体，若从所有选修《心理健康》课的学生中随机抽取4人，设获得学分人数为，求的期望．附：，其中1．11．141．1241．111．1141．1112．6153．8414．1245．5346．86911．82822．（10分）某轮胎集团有限公司生产的轮胎的宽度(单位:)服从正态分布,公司规定:轮胎宽度不在内将被退回生产部重新生产.(1)求此轮胎不被退回的概率(结果精确到)；(2)现在该公司有一批轮胎需要进行初步质检,检验方案是从这批轮胎中任取件作检验,这件产品中至少有件不被退回生产部,则称这批轮胎初步质检合格.(¡)求这批轮胎初步质检合格的概率;(¡¡)若质检部连续质检了批轮胎,记为这批轮胎中初步质检合格的批数,求的数学期望.附:若,则.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

构造函数，求出函数的导数，判断函数的单调性，从而求出结果.【详解】令，则.，，是减函数，则有，，即，所以.选.本题考查函数与导数中利用函数单调性比较大小.其中构造函数是解题的难点.一般可通过题设已知条件结合选项进行构造.对考生综合能力要求较高.2、A【解析】分五类：（1）甲乙都不选：；（2）选甲不选乙：；（3）选乙不选甲：；（4）甲乙都选：；故由加法计数原理可得，共种，应选答案A。点睛：解答本题的关键是深刻充分理解题意，灵活运用排列数、组合数公式及分步计数原理和分类计数原理两个基本原理。求解依据题设条件将问题分为四类，然后运用排列数、组合数公式及分步计数原理和分类计数原理两个基本原理求出问题的答案，使得问题获解。3、A【解析】

根据判断出为等边三角形的中心，由此求得正三棱锥的底面积和高，进而求得正三棱锥的体积.【详解】由于三棱锥是正三棱锥，顶点在底面的射影是底面中心.由可知，为等边三角形的中心，由于正三棱锥的外接球的半径为，故由正弦定理得，且正三棱锥的高为球的半径，故正三棱锥的体积为.所以本小题选A.本小题主要考查正三棱锥的几何性质，考查向量加法运算，考查几何体外接球有关问题的求解，属于中档题.4、B【解析】

根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【详解】∵函数，∴=2+9=1．故选B．本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．5、D【解析】

构造函数，判断函数的单调性和奇偶性，根据其性质解不等式得到答案.【详解】对任意的，都有成立构造函数在上递增.是偶函数为奇函数，在上单调递增.当时：当时：故答案选D本题考查了函数的奇偶性，单调性，解不等式，构造函数是解题的关键.6、B【解析】解：计算K2≈8.815>6.869，对照表中数据得出有1.114的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1−1.114=8.4%的把握说明两个变量之间有关系，本题选择B选项.7、B【解析】设P点坐标为(x0,y0)，则于是kPA1∵kPA2【考点定位】直线与椭圆的位置关系8、A【解析】

由条件概率与独立事件可得：，P(AB)=，所以P(A|B)=，得解.【详解】由已知有事件概率为：，事件概率为：P(AB)=，所以P(A|B)=，故选：A.本题考查条件概率的计算，条件概率的两种求法:(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=即可；(2)基本事件法:借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=，本题属于基础题.9、A【解析】分析：函数有小于零的极值点转化为有负根，通过讨论此方程根为负根，求得实数的取值范围.详解：设，则，函数在上有小于零的极值点，有负根，①当时，由，无实数根，函数无极值点，不合题意，②当时，由，解得，当时，；当时，，为函数的极值点，，解得，实数的取值范围是，故选A.点睛：本题考查了利用导数研究函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.10、B【解析】

试题分析：由题意得，，故选B．考点：两角和的正切函数．11、A【解析】试题分析：由题意得，因此，选A.考点：双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a，b，c的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a，b，c的不等式求解，正确把握c2＝a2＋b2的应用及e＞1是求解的关键．12、B【解析】

分别画出和的图象，依题意存在实数，，使不等式对一切正数都成立，要求参数的最小值，临界条件即为直线：恰为函数和的公切线，设函数上的切点，则，即转化为求，设函数的切点为，表示出切线方程，即可得到方程组，整理得到，令，求出令即可得解；【详解】解：分别画出和的图象，依题意存在实数，，使不等式对一切正数都成立，要求参数的最小值，临界条件即为直线：恰为函数和的公切线，设函数上的切点，，，所以，所以切线方程为，整理得，同时直线也是函数的切线，设切点为，所以切线方程为，整理得，所以，整理得，即，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，故，显然，故当时取得最小值，即实数的最小值为4，故选：B．本题考查利用导数分析恒成立问题，两曲线的公切线问题，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、108【解析】

根据题意，分两步，将5个安保小组分成组，然后全排列分派到每个区域，即可得到结果.【详解】根据题意，分两步进行：（1）将5个安保小组分成组，有种情况；（2）将分成的组全排列分派到每一个区域内，有种情况，根据分步计数原理，这样的安排方法共计有种情况.故答案为：108本题考查了排列、组合以及分步计数原理，属于基础题.14、【解析】

由，得，由复数相等的条件得答案．【详解】由，得，．故答案为：1．本题考查复数相等的条件，是基础题．15、1【解析】

作出平面区域，则表示过（0，1）和平面区域内一点的直线斜率．求解最大值即可．【详解】作出实数x，y满足条件的平面区域如图所示：由平面区域可知当直线过A点时，斜率最大．解方程组得A（1，2）．∴z的最大值为=1．故答案为：1．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.16、.【解析】以AD,DC,DD1建立空间直角坐标系，则：得直线和所成角的余弦值等于三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【考点定位】本题主要考察同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想【解析】试题分析：（1）由倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据式子的结构规律，得，由三角函数中的恒等变换的公式展开即可证明．试题解析：（1）选择（2），计算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=，故这个常数为．（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=证明：sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin2α+-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=考点：三角恒等变换；归纳推理．18、（1）；（2）【解析】试题分析：本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容.(1)利用数轴分段法求解；（2）借助数形结合思想，画出两个函数的图像，通过图像的上下位置的比较，探求在上恒成立时实数的取值范围.试题解析：(1)由条件知，由，解得.(5分)(2)由得，由函数的图像可知的取值范围是.(10分)考点：（1）绝对值不等式；（2）不等式证明以及解法；（3）函数的图像.19、（1）3.95；（2）见解析【解析】分析：（1）由频率分布直方图求出补贴分别是3万元，4万元，4.5万元的概率，即得概率分布列，然后可计算出平均值；（2）由频数分布表计算出每天需要充电车辆数的分布列，分别计算出两种方案中新设备可主观能动性车辆数，从而得实际充电车辆数的分布列，由分布列可计算出均值，从而计算出日利润．详解：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为(万元)（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为(元）若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案二下新设备产生的日利润均值为(元)点睛：本题考查统计与概率的相关知识，如频率分布直方图，随机变量的分布列，期望，分布表等，考查数据处理能力，运用数据解决实际问题的能力．20、（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）将已知条件转化为数列的首项和公差表示，通过解方程组可得到基本量的值，从而求得通项公式；（2）借助于（1）可求得的通项公式，结合特点利用列项求和法求和试题解析：（1）由已知有，