立体几何培优专题一动点轨迹问题

【立体几何培优专题一：立体几何的动点问题】总览总览题型梳理题型题型分类知识讲解与常考题型【题型1：动点的轨迹问题】知识讲解知识讲解1.基本原理：空间中满足一定条件的动点集合构成轨迹，其本质是空间图形在特定平面上的投影或交线，可通过线面、面面关系确定。2.常见类型与解法 线面垂直型：若动点到两定点距离相等，在空间中轨迹为两定点连线的中垂面；在平面内则为中垂线。 面面相交型：当动点同时满足两个平面的约束条件时，轨迹是两个平面的交线（直线或曲线）。 圆锥曲线型：当空间中的角、距离等关系满足圆锥曲线定义时，如到定点距离与到定直线距离之比为定值，轨迹可能是椭圆、抛物线或双曲线。3.解题步骤 分析条件：明确动点满足的几何条件，转化为代数关系或几何关系。 降维处理：将空间问题转化为平面问题，通过截面法等找到关键平面进行分析。 确定轨迹：根据平面几何知识确定轨迹形状，并给出完整表述。例题精选例题精选【例题1】（2025高三·全国·专题练习）在长方体中，已知，，点是四边形内（包含边界）的一个动点，若点到平面的距离为1，则点的轨迹的长度为（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】解法一：将平面延展，借助线面位置关系找到点的轨迹为线段，然后确定的大致位置，借助线面位置关系找到点到平面的距离，利用等面积法求得，，最后利用中位线性质即可求得点的轨迹的长度.解法二：建立空间直角坐标系，设出点P的坐标，求出平面的法向量，利用点到平面的距离向量公式求得点的轨迹的方程，然后求出线段长度即可.【详解】解法一：如图，将，，分别延长至，，，使得，，，连接，则平面即平面，则满足条件的点的轨迹为和平面平行的平面与平面的交线落在四边形内部（含边界）的部分，不妨设为线段.由面面平行的性质知，线段与平行.设点到平面的距离为，连接，则由，得，解得，连接，则线段在的左侧.不妨设点在线段上，在线段上.过点分别作，交于点，于点，连接，作于点，易知，，平面，从而有平面，作，垂足为，则，，平面，从而有平面，即点到平面的距离为.易知，，因为，所以.设，则，故，，.由及可得，解得（舍去）或，故为的中点，所以为的中点，所以，即点的轨迹的长度为，.【例题2】（2025·广西·三模）如图，在棱长为的正方体中，点是平面内的一个动点，当时，点的轨迹长度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，，，，可证得平面，求出和，利用勾股定理表示，得到点的轨迹，即可求解.【详解】设平面，连接，，，，因为，，所以三棱锥为正三棱锥，因为平面，平面，所以，因为，，所以平面，又平面，所以，同理可证，又，平面，所以平面，则为正三角形的中心，则，所以，因为，所以，因为平面，平面，所以，即，，因为，即，因为，解得，所以点的轨迹是半径为的圆，所以点的轨迹长度是.故选：.相似练习相似练习【相似题1】（2425高一下·河南·期中）如图，正方体的棱长为4，F是的中点，点P为正方形内一动点（含边界），则当时，点P的轨迹长度为是（

）由平面，平面，得，则，点的轨迹是以点为圆心，为半径的四分之一圆，其轨迹长度为，【相似题2】（2025·江苏盐城·三模）正方体的棱长为1，分别是的中点，是的四等分点（靠近A点），若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足，则动点P的轨迹的长度是（

）设点，则，所以，即点的轨迹为四分之一圆，即轨迹长度为【题型2：与动点有关的线面角问题】知识讲解知识讲解核心知识定义：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是线面角的平面角，范围在。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直，可用于找线面角。解题技巧几何法定射影：过动点作平面的垂线，确定斜线在平面内的射影，从而找出线面角，常利用面面垂直性质找垂线。特殊位置：分析动点的特殊位置（如端点、中点等），判断线面角的最值或变化趋势。转化思想：将线面角问题转化为解三角形问题，利用正弦定理、余弦定理等求解边长、角度关系，或转化为函数问题求最值。例题精选例题精选【例题1】（2024高二上·全国·专题练习）在四棱锥中，是矩形，为棱上一点，求直线与平面所成角的正切值的最大值.【答案】【分析】将四棱锥补形成直四棱柱，将所求角转化为直线与平面所成角，通过作图、证明即直线与平面所成角，设，将表示成关于的函数式，由二次函数的最值推理即得.【详解】如图，将四棱锥补形成直四棱柱，因平面平面，故直线与平面所成角即直线与平面所成角.由，连接，过点作，交于点，连接.因平面，故得平面，故即直线与平面所成角.设，则，由可得，，在中，由余弦定理，，则，因，则，故当时，取得最大值为，此时，即点为线段上靠近点的一个三等分点时，直线与平面所成角的正切值的最大值为，故最大值为.【例题2】（2324高一下·重庆·期末）如图1，在平面四边形ABCD中，，，，，，将沿BD折起，形成如图2所示的三棱锥，且．(1)证明：平面ABD；(2)在三棱锥中，点E，F，G分别为线段AB，BD，AD的中点，设平面CEF与平面ADC的交线为l．①证明：∥；②若Q为l上的动点，求直线CF与平面QGE所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解；【分析】（1）根据勾股定理可得，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）①根据题意可证∥平面CEF，结合线面平行的性质分析证明；②过点作平面∥平面，直线CF与平面QGE所成角即为直线CF与平面所成角，利用等体积法求点到平面的距离为，进而求线面夹角的正弦值，结合二次函数分析求解.【详解】（1）在中，可得，在中，由余弦定理，即，因为，则，可得，且，平面ABD，所以平面ABD.（2）①因为点E，F分别为线段AB，BD的中点，则∥，且，由平面CEF，平面CEF，可得∥平面CEF，又因为平面ADC，且平面CEF与平面ADC的交线为l，所以∥；②因为∥，且平面CEF，平面ADC，可知，则平面ADC，规定点为起点，方向为正方向，设，过点作平面∥平面，如图所示：可知：直线CF与平面QGE所成角即为直线CF与平面所成角，设为，则，可得，在中，，且，则，设点到平面的距离为，因为，则，解得，则，设，则，可得，若，则；若，则，可知，即时，取到最小值，取到最大值；综上所述：直线CF与平面QGE所成角的正弦值的最大值为.【点睛】关键点点睛：1.对于直线与平面的交点不特殊时，可以通过平行移动来确定；2.对于Q为l上的动点，可以借助于坐标的特点设长度进行计算.相似练习相似练习【相似题1】（2324高一下·江苏常州·期末）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；(2)如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．

①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．【答案】(1)2(2)①；②【分析】（1）根据离散曲率的定义计算即可（2）①首先证明，再由点处的离散曲率可求出，从而其它相应的线段都可计算，把与平移至中位线处，得出为异面直线与的夹角或其补角，在用余弦定理求解即可.②首先是把线面角做出，设，再把角的三角函数值表示成的函数，最后转化为函数最值问题.【详解】（1）由离散曲率的定义得：，，，，四个式子相加得：.（2）①如图，分别取的中点，连接，显然有，所以为异面直线与的夹角或其补角，设，因为，所以，，

因为平面，平面，所以，，，，因为，，所以平面，又因为平面，所以，由点处的离散曲率为可得，所以，，，而，，所以，故异面直线与的夹角的余弦值为.②如图，过点做交与，连接，因为平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，设，在中，因为，所以，所以，故，当分母最小时，最大，即最大，此时，即（与重合），，所以的最大值为.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过题目所给的新定义求出，从而计算出各边的长度，求与平面所成的角的最大值，首先是把线面角做出，设，再把角的三角函数值表示成的函数，转化为函数最值问题，求最值是把式子经过适当的变形最终转化为二次函数最值问题.【相似题2】（2324高一下·河南安阳·期中）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，.

(1)证明：(2)若，当与平面所成角的正弦值最大时，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）首先证明平面，进而证出，为中点，证明出为等腰三角形即可；（2）由题意设，解出，再根据体积相等求出，由基本不等式解出最大值，并解出的值，进而解出四棱锥的体积即可.【详解】（1）

如图，连接，设，连接，因为平面平面，故，而平面，故平面，而平面，故，由四边形为平行四边形可得，故为等腰三角形，即；（2）设，由（1）可得平面，而平面，故，故四边形ABCD为菱形，而，故，因为平面平面，故，故，同理，而，故，设为点到平面的距离，与平面所成的角为，，故，又，而，故，故，故，当且仅当即时等号成立，所以，故此时.【点睛】方法点睛：设出，等体积法结合基本不等式是解决立体几何体积问题的一种重要方法.【相似题3】（2324高一下·河南·阶段练习）如图，在四棱台中，平面，底面为平行四边形，，且分别为线段的中点.(1)证明：.(2)证明：平面平面.(3)若，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）证明线面垂直，利用垂直条件及题意即可证明；（2）证明出平面中的两条相交直线均平行于平面即可；（3）结合题意先求出，再求出的体积即可.【详解】（1）证明：如图，连接，与交于点，因为平面平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，则，因为平面，所以，所以，即.（2）证明：延长交于点，连接，由中位线性质可得，因为，所以，因为平面平面，所以平面，所以为的中点，则，因为平面平面，所以平面，因为，所以平面平面.（3）设.因为，所以，则，.设点到平面的距离为与平面所成的角为，则，因为，，所以，得，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时与平面所成的角最大，的体积【点睛】关键点点睛：利用基本不等式求最值，解出相等情况进而解出值，即解出的值，进而求出的体积.【题型3：与动点有关的二面角问题】知识讲解知识讲解核心知识定义与范围：二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，其平面角范围是，平面角的大小即二面角的大小。几何法要点：常用三垂线定理及其逆定理、垂面法等找出二面角的平面角，关键在于找到与棱垂直的直线。解题思路定位棱：明确二面角的棱，若棱不明显，需通过延长线、相交关系确定。作角：过动点作棱的垂线，或构造垂面，找出二面角的平面角，结合动点条件确定其变化规律。解三角形：将二面角问题转化为三角形问题，利用边角关系求解。动态分析：分析动点运动过程中，二面角平面角的变化趋势，可通过特殊位置（起点、终点、中点等）判断二面角的最值情况例题精选例题精选【例题1】（2324高一下·广东广州·期末）如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且.(1)证明：平面；(2)求点到面的距离；(3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）利用面面垂直的性质推理即得.（2）延长交于一点，根据可求得，利用等体积法构造方程求解.（3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出，由二面角大小可构造方程求得，进而得到结果.【详解】（1）在三棱台中，平面平面，，而平面平面，平面，所以平面.（2）由棱台性质知：延长交于一点，

由，得，点到平面的距离为到平面距离的2倍，则，于是，由平面，得为点到平面的距离，又，则是的中点，，即为正三角形，为正三角形，设，则，，解得，，由平面，得，，，设点到平面的距离为，由，得，解得：.即点到平面的距离为.（3）由平面，平面，得平面平面，取中点，连接，在正中，，而平面平面，则平面，而平面，则，又平面，则平面平面，作于，平面平面，则平面，，而平面，则，作于，连接，，平面，则平面，而平面，于是，即二面角的平面角，设，由（2）知：，，由，得，，由，得，若存在使得二面角的大小为，则，解得，，所以存在满足题意的点，.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于长度的方程，从而求得结果.【例题2】（2324高一下·江苏苏州·期末）在三棱柱中，，，，，分别为的中点.(1)证明：平面∥平面；(2)证明：平面⊥平面；(3)若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）只需分别证明面，面，结合面面平行的判定定理即可得证；（2）只需证明平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证；（3）引入参数，将所求表示为的函数即可进一步求解.【详解】（1）三棱柱中，四边形为平行四边形，分别为的中点，所以，且，又因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又由于面，面，所以面，在中，，且，同理，且，所以，又由于面，面，所以面，又面，，平面，所以平面∥平面；（2）连接，，因为，所以，又因为，且，所以，因为，平面，且，所以平面，因为平面，所以，在中，，，，由余弦定理求得，则，，因为，所以，解得，在，，，可知，又，在中，，因此．由（1）知，，且，平面，且，所以平面，因为平面，因此平面平面．（3）设，，，所以到平面的距离为，在平行四边形中，计算得，在中可得，在平行四边形中，计算得，在中可得，在中，，所以到的距离为，设二面角的平面角为，.【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于引入参数，并表示出二面角的平面角的余弦值，由此即可顺利得解.相似练习相似练习【相似题1】（2223高二上·广东东莞·阶段练习）如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．(1)当侧面底面时，求点到平面的距离；(2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）连接，由题意可得平面，则点到平面的距离与点到平面的距离相等，然后结合求解即可；（2）过作交于点，则底面，作交于点，连接，则，即为二面角的平面角，然后求解即可.【详解】（1）在中，，所以，因为在直角梯形中，，，，所以，所以四边形为正方形，所以，，因为侧面底面，侧面底面，平面，所以底面，连接，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，设点到平面的距离为，由题意得，则，因为，所以，所以，解得，所以点到平面的距离为；（2）过作交于点，因为侧面底面，侧面底面，平面，所以底面，作交于点，连接，因为底面，底面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，则，所以，所以，连接，交于点，因为四边形为正方形，所以，所以，设，由，得，得，因为，所以，解得，因为底面，底面，所以所以，所以，即,所以线段上存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为，此时.【点睛】关键点点睛：此题考查点面距离的求解，考查二面角，考查平面图形折叠成空间图形问题，解题的关键是弄清折叠前后边角间的关系，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.【相似题2】（2324高一下·天津·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，【分析】（1）根据面面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）首先证明为直线与平面所成的角，再由线面角的定义进行求解即可；（3）取中点，利用线面垂直的性质结合即可确定为二面角的平面角，最后结合余弦定理求解即可.【详解】（1）取棱的中点，连接，因为为等边三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面，又平面，故，又已知，，又平面，所以平面.（2）连接，由（1）中平面，可知为直线与平面所成的角，因为为等边三角形，且为的中点，所以，又，在中，，所以，直线与平面所成角的正弦值为.（3）取中点，连接，，在中，，因为平面，又平面，所以，在中，，所以，所以，又点为中点，所以，同理，所以为二面角的平面角，设，在中，，在中，，在中，，，，由余弦定理可得：，即：，化简得到：，所以或（舍去），即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时.【点睛】关键点点睛：本题第3小题的解决关键是，利用三线合一分析得为二面角的平面角，从而得解.【题型4：动点的位置关系】知识讲解知识讲解1.明确已知条件 认真审题，梳理出题目给定的关于动点的所有限制条件。例如，动点是在某特定直线、平面内运动，还是和某些定点、定直线存在距离关联等信息。同时，要清楚已知立体几何图形的类型、构造和相关的尺寸大小。2.确定几何法解题路径 利用线面平行关系 若要判断动点所在直线与某平面是否平行，尝试在平面内找一条直线与之平行。这可能需要利用中位线、平行四边形的对边等平面几何知识在立体图形中构造平行关系。例如，对于三棱柱，若动点在侧面的一条棱上，要证明此棱与底面平行，可通过观察是否能找到底面内与之平行的棱，利用棱柱的性质来判定。 借助线面垂直关系 当研究动点所在直线与平面垂直时，根据线面垂直的判定定理，需要寻找直线与平面内两条相交直线垂直。比如在正方体中，动点在面对角线上，要判断其与某个对角面是否垂直，就需要在对角面内找到两条相交直线，看能否证明与动点所在直线垂直。 考虑面面平行与垂直关系 对于面面关系，若判断两个平面是否平行，看是否能在一个平面内找到两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行。而对于面面垂直，需找到一个平面经过另一个平面的一条垂线。例如，在四棱锥中，判断底面和某一侧面是否垂直，就要看侧面上是否存在一条垂直于底面的直线。例题精选例题精选【例题1】（河北省邢台市质检联盟20242025学年高一下学期4月期中联考数学试题）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，直线平面，则.【答案】【分析】在线段上取点，使得，连接，，，由平面，可得，进而可得是线段的中点，由向量关系可得，即可求.【详解】如图，在线段上取点，使得.连接，，，记，，连接，因为直线平面，且平面平面，所以.因为四边形是平行四边形，所以为线段的中点，则为线段的中点.因为，，所以，所以，即.因为为线段的中点，所以是线段的中点，则，所以，则.故答案为：【例题2】（2324高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则.【答案】【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案.【详解】连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得，在线段PE取点G，使得，如下图所示：由，得，连接BG，FG，则，由平面，平面，得平面，而平面，，平面，因此平面平面，又平面平面，平面平面，则，所以.故答案为：.相似练习相似练习【相似题1】（2425高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为.

【答案】1【分析】先利用面面平行的判定定理证得平面平面，从而得到点的轨迹，进而求得取得最小值时点的位置，再利用三棱锥的体积公式即可得解.【详解】在长方体中，取的中点E，的中点F，连接EF，，，

而分别为的中点，则，由，得四边形为平行四边形，，又平面，平面，则平面，同理平面AMN，又平面，因此平面平面，又平面AMN，则平面，即点在平面与平面的交线EF上，当时，取最小值，又，则当取最小值时，P为EF的中点，此时的面积，三棱锥的体积.故答案为：1【相似题2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图1，在梯形中，，，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥体积的最大值为，此时三棱锥的外接球的表面积为．【答案】/【分析】注意到三棱锥体积最大时，平面平面，可知以为顶点时，为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.【详解】在图1中，延长、于点，如下图所示：因为，且，所以，，即，，所以，，，所以，是边长为的等边三角形，所以，、分别为、的中点，所以，，所以，，易知，所以，，翻折后，当平面平面时，点到平面的距离取最大值，因为平面平面，平面平面，平面，，所以，平面，所以，的体积的最大值为；记为外接球球心，半径为，因为平面，，所以，球心到平面的距离为，又的外接圆半径，所以，，所以，球的表面积为，故答案为：；.【相似题3】（2024高三下·四川内江·专题练习）如图，在正方体中，，，，分别是，，，的中点．以下四个结论中正确的是．

①；

②平面；

③与相交；

④与异面．【答案】①③④【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系的判定定理、性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】

在正方体中，可得，因为平面，平面，所以，所以平面，在平面内，所以，因为分别是的中点，所以，即，所以①正确；又由分别是的中点，易得，即四边形为平行四边形，则与相交，所以②不正确，③正确；因为平面，又由平面，所以与为异面直线，所以④正确.故答案为：①③④【题型5：与平行有关的动点的长度问题】知识讲解知识讲解1.明确相关定义与定理 线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。 面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行。 线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。 面面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。2.分析已知条件 仔细读题，明确给定的立体图形的结构特征，如正方体、长方体、三棱柱等，以及已知的线面、面面平行关系。 确定动点的已知条件，例如动点是在某条棱上、某个面上，还是满足特定的条件（如到某平面的距离为定值等）。3.利用线面平行性质确定轨迹 若已知某直线与平面平行，且动点在该直线上运动，根据线面平行的性质定理，过动点作与已知平面相交的平面，那么动点的轨迹就是该直线与交线所确定的平面与已知平面的交线。 例如，在正方体中，已知一条棱与一个面平行，动点在这条棱上，过这条棱作一个与已知面相交的平面，交线是一条直线，那么动点的轨迹就是这条交线（在棱上的部分）。4.借助面面平行性质分析轨迹 当存在面面平行关系时，若动点在其中一个平面内，且满足与另一个平面相关的条件，可利用面面平行的性质来确定轨迹。 比如，两个平行平面被第三个平面所截，交线平行。如果动点到其中一个平面的距离为定值，且在另一个平面内运动，那么动点的轨迹可能是与交线平行的直线（或直线的一部分）。5.通过构造辅助线与平面确定轨迹 为了更好地分析动点轨迹，常常需要构造辅助线或辅助平面。例如，过动点作已知平面的平行线，或者作与已知直线平行的平面等。 假设在三棱锥中，要确定一个动点在某个面上的轨迹，使其与一条侧棱平行，可过该动点作与这条侧棱平行的直线，这条直线与已知面的交点的集合就是动点的轨迹。6.考虑特殊位置与边界情况 分析动点在特殊位置时的情况，如端点、中点等，这些特殊点可能在轨迹上，也可能影响轨迹的范围。 同时，要考虑轨迹的边界情况，看动点是否能到达某些极限位置，从而准确确定轨迹的形状和范围。例如，在一个长方体中，动点在一个面上运动，要与一条棱所在直线平行，需要考虑动点是否能到达面的边界，以及在边界处是否满足条件例题精选例题精选【例题1】（2025·重庆·模拟预测）正方体的棱长为是棱的中点，是侧面内一点，且平面，则长度的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中点为，连接，确定平面平面，得到的轨迹是线段,即可求解.【详解】取的中点为，连接，由中位线易知，又在平面内，不在平面内，所以平面，平面，又是平面内两条相交直线，所以平面平面，又平面，所以在平面内，又是侧面内一点，所以的轨迹是线段,易知,，所以长度的取值范围是.故选：C【例题2】（2025·河南·二模）如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中点，根据线面平行的判定定理，证得平面，平面，进而证得平面平面，得到当时，平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，在中，求得，结合，即可求解.【详解】如图所示，取的中点，连接，，，在正方体中，可得且，因为，分别是棱的中点，则且，所以四边形为平行四边形，则，又因为平面，平面，所以平面，同理可证：平面，因为，且平面，所以平面平面，又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，因为正方体的边长为，可得，，在中，可得，且，则，所以的最小值为.故选：B.【例题3】（2425高二下·广东揭阳·阶段练习）棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列结论不正确的是（

）A．动点的轨迹的长度为B．的最小值为C．三棱锥体积的最小值为D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为【答案】C【分析】取，的中点，连接，可得为动点的轨迹，计算可判断A；当为的中点时，，求解可判断B；由，可得在处时，体积最小，求解可判断C；外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，求得外接球的表面积可判断D.【详解】对于A，取，的中点，连接，所以，又易证，所以，又平面，平面，所以平面，又因为为棱的中点，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又为正方形内一个动点（包括边界），且平面，所以为动点的轨迹，又，所以动点的轨迹的长度为，故A正确；对于B，又易得，所以为的中点时，，此时，所以的最小值为，故B正确；对于C，，其中为到的距离，所以最小时，最小，显然在处时，最小，此时，故C错误；对于D，因为是直角三角形，所以外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，设外接球的球心为，由，可得，所以，解得，所以，所以外接球的表面积为，故D正确.故选：C.相似练习相似练习【相似题1】（2025·山西吕梁·一模）如图所示，在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是.【答案】【分析】根据给定条件，确定点的轨迹，进而求出的范围.【详解】在棱长为4的正方体中，分别取棱中点，连接，由点分别是棱的中点，得，又平面，平面，则平面，又，则四边形为平行四边形，于是，又平面，平面，则平面，又，平面，因此平面平面，又是侧面内一点，且平面，则点的轨迹是线段，在中，，同理，即为等腰三角形，当为中点时，最短，为，当位于、处时，最长，为，所以线段长度的取值范围是.故答案为：【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，若平面，则动点的轨迹长度为

【答案】2【分析】根据面面平行的判定定理得到平面平面，然后根据面面平行的性质和基本事实得到点在底面的轨迹为线段，然后求长度即可.【详解】

过点A1作平面的平行平面，即平面，因为为正方体，所以，，因为平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，因为平面，，所以平面平面，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以，所以点在底面的轨迹为线段，故点的轨迹长度为.故答案为：2.【相似题3】（2425高二上·上海·阶段练习）如图，正方体棱长为2，E、F分别为、的中点，P是底面上一点.若平面BEF，则直线AP与底面所成角的正切值的取值范围是.【答案】【分析】作出辅助线，证明出平面平面，因为平面，所以点，求出各边长，得到等腰直角三角形斜边上的高为，得到，设与平面成角为，求出..【详解】如图，取的中点的中点，连接，由正方体分别为的中点，易知，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面，因为分别为的中点，由中位线性质可得，同理可知，所以，又因为平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因为是底面上一点，且平面，所以点，正方体棱长为2，由分别为的中点，故，，故等腰直角三角形斜边上的高为，故的最小值为，当重合或重合时，取得最大值1，则的长度的取值范围为，设与平面成角为，在正方体中，易知平面，且为垂足，所以.故答案为：.【题型6：与垂直有关的动点的长度问题】知识讲解知识讲解1.明确垂直关系的判定定理 线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。 面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。2.分析已知条件 仔细研读题目，明确给定的立体几何图形的特征，如是否为特殊的棱柱、棱锥等，以及已知的垂直关系，包括线线垂直、线面垂直或面面垂直。 确定动点的相关信息，例如动点的初始位置、运动范围以及所满足的特定条件，如到某条直线或某个平面的距离关系等。3.基于线面垂直确定轨迹 若已知某直线与平面垂直，且动点在该直线上运动，那么动点的轨迹就是这条直线（在给定范围内）。 例如，在正方体中，一条棱垂直于底面，若动点在这条棱上，其轨迹就是该棱。 若动点到某平面的距离始终保持不变且等于某一定值，同时该平面存在一条与之垂直的直线，那么动点的轨迹可能是与该直线平行的直线（或直线的一部分）。此时可通过作与已知平面平行且距离为定值的平面，动点就在这两个平行平面与垂直于已知平面的直线所确定的平面内，其轨迹为该平面与给定范围相交的部分。4.依据面面垂直寻找轨迹 当存在面面垂直关系时，若动点在其中一个平面内，且满足与另一个平面相关的垂直条件，可利用面面垂直的性质来确定轨迹。 例如，两个平面互相垂直，在一个平面内作一条垂直于交线的直线，那么在这个平面内且到这条直线距离为定值的动点轨迹是与该直线平行的直线（或直线的一部分）。因为根据面面垂直的性质，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，而动点到这条直线距离为定值，所以其轨迹与该直线平行。5.通过构造辅助线与平面确定轨迹 为了更清晰地分析动点轨迹，常常需要构造辅助线或辅助平面。比如，过动点作已知直线的垂线，或者作与已知平面垂直的平面等。 例如，在三棱锥中，要确定一个动点在某个面上的轨迹，使其与一条侧棱垂直，可过该动点作与这条侧棱垂直的平面，这个平面与已知面的交线就是动点的轨迹（在给定范围内）。6.考虑特殊位置与边界情况 关注动点在特殊位置时的情况，如线段的端点、中点等，这些特殊点可能在轨迹上，也可能对轨迹的范围产生影响。 同时，要仔细分析轨迹的边界情况，看动点是否能到达某些极限位置，从而精确确定轨迹的形状和范围。例如，在一个长方体中，动点在一个面上运动，要与一条棱垂直，需要考虑动点是否能到达面的边界，以及在边界处是否满足垂直条件。例题精选例题精选【例题1】（2025·湖北·二模）长方体中，，点是平面内的动点，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先确定点所在的截面圆，通过面面垂直找到球心到截面的距离，进而求出截面圆半径，再结合点与截面圆的位置关系求出的最大值.【详解】点在以的中点为球心，半径为的球面上，又点在平面上，点在平面与球的一个截面圆上.取的中点的中点的中点，连接，因为平面，所以面面，面面，作于，所以面，由相似三角形性质可得，，所以，，点在以为圆心，为半径的圆上.因为，所以在该圆上，则的最大值为.故选：D.【例题2】（2425高三上·广东·期末）已知棱长为4的正方体的各个顶点均在球的表面上，点满足，过点作与直线垂直的平面，则截球所得截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先证明线面垂直，再根据点到平面距离及得出，结合球的性质即可得出求出截面面积.【详解】如图，连接，平面，平面，平面，则直线垂直于平面，则为过点且与平面平行的平面，点在平面内，点到平面的距离就是平面与平面的距离，又，所以，球的半径，所以截球所得截面圆的半径，该圆面积为．故选:C．【例题3】（2025·山东滨州·二模）在三棱锥中，平面，点为内（包含边界）一点，且，则点的轨迹的长度为．【答案】【分析】根据题意，证得平面，得到，由，证得，得到点落在以为直径的半圆上，结合圆的周长公式，即可求解.【详解】因为平面，且平面，所以又由，可得，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，如图所示，连接，若，且，且平面，所以平面，又因为平面，所以，即在平面内，若，则，即点落在以为直径的半圆上，因为，所以点的轨迹长度为.故答案为：.相似练习相似练习【相似题1】（2425高二上·上海·期末）已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积，则点的轨迹长度为.【答案】【分析】由正方体可证平面，及，再由三角形面积可知点到的距离，即可判断点轨迹，即可得解.【详解】由连接，由正方体可知，，，，且，，平面，则平面，又平面，，同理，又，，平面，所以平面，即平面，且，设直线平面于点，则，且为三角形中心，又，则，所以点在以为圆心，为半径的圆上，在中，，又，所以，即，所以点的轨迹为圆上的三段弧，且每段弧所对的圆心角为，则轨迹的长度为，故答案为：.【相似题2】（2425高二上·北京·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面，给出下列四个结论：①的面积的最大值为；②满足的面积为2的点有且仅有4个；③点可能为的中点；④线段的最大值为3.其中所有正确结论的序号是.【答案】①④【分析】先找出的运动轨迹，再结合图形逐项分析，即可得解.【详解】取的中点为，连接，由为的中点，得，，则，，又，则，于是，又平面，平面，则，又平面，因此平面，而平面，则平面平面，又平面平面，于是的轨迹为线段，对于①，由图知，当在上时，此时三角形面积最大，，面积的最大值为，①正确；对于②，由图可知，当或时，的面积为2，因此满足使的面积为2的点有且只有2个，②错误；对于③，由图知，点不可能在线段上，点不可能是的中点，③错误；对于④,由图知，当与重合时，此时长度最大，最大值为，④正确.故答案为：①④【相似题3】（2425高二上·上海·阶段练习）如图，矩形ABCD的长，宽，若平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q，使得，则x的范围是.【答案】【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得，再由勾股定理可得的关系，结合二次函数的值域，即可得到结果.【详解】连接，因为平面，平面，所以，又，且，平面，由线面垂直的判定定理可得平面，且平面，所以，设，则，在直角三角形中，由勾股定理可得，在直角三角形中，，在直角三角形中，，即，化简可得，其中，即，解得，又，所以，即x的范围是.故答案为：【题型7：动点的综合问题】例题精选例题精选【例题1】多选题（2026高三·全国·专题练习）已知分别是正方体的棱上的动点（不与顶点重合），则下列结论正确的是（

）A． B．平面平面C．四面体的体积为定值 D．平面【答案】ABD【分析】根据正方体棱与面的垂直关系可证平面，故可判断A的正误，根据正方体对面平行故可判断BD的正误，根据体积计算公式可判断C的正误.【详解】对于A，由正方体的性质可得，，而，，平面，平面，平面，，故A正确；对于B，平面平面，平面与平面重合，平面平面，故B正确；对于C，到平面的距离为定值，到的距离为定值，的长不是定值，故的面积不是定值，四面体的体积不为定值，故C错误；对于D，平面平面，平面，平面，故D正确．故选：ABD.【例题2】多选题（2025·安徽·模拟预测）在四棱柱中，平面，四边形为菱形，，，，为棱的中点，为四边形内一个动点（含边界），且平面，则下列结论正确的有（

）A．动点轨迹的长度为B．平面截四棱柱所得的截面是五边形C．存在点使得D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为【答案】ACD【分析】取分别，中点为，，根据题意做出对应的几何图，结合几何图，利用空间面面平行的性质即可得出的轨迹为线段，则A选项可求；取中点为，连接，，可得平面截四棱柱所得的截面是四边形，则B可求；利用线面垂直的判定与性质即可求得C；结合题意求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断D.【详解】如图1，取分别，中点为，，,平面，平面，易得平面平面，即的轨迹为线段，又，故A正确；如图2，取中点为，连接，，可得，所以平面截四棱柱所得的截面是四边形，故B错误；因为四边形为菱形，，所以，因为平面平面，平面平面,平面,所以平面，因为为直角三角形，所以此时存在，当时，因为平面，平面，所以，又平面平面，所以平面，即平面，则有，故C正确；三棱锥的体积最大时，此时点与点重合，如图3.由已知得此时，所以在底面的射影为的外心，又由为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为，设外接球的球心为，半径为，，，，由，，可得外接球半径，所求外接球的表面积为，故D正确.故选：ACD.【例题3】多选题（2425高一下·云南临沧·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（

）

A． B．平面C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为【答案】ABD【分析】根据线面垂直得出线线垂直判断A，根据面面平行得出线面平行判断B，应用等体积计算求解判断C，应用展开图结合余弦定理计算判断D.【详解】对于，连接、，易知，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确对于，连接，，如图：

，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，同理四边形为平行四边形，，平面，平面，