广东省广州市部分学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市部分学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，故．故选:D2.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由于不等式的解集为，则可推出，反之不成立，所以“”是“”的充分而不必要条件．故选：A.3.函数与的对应关系如下表．x01x12313201则的值为（）A.0 B.3 C.1 D.【答案】A【解析】根据表格，，，故选：A.4.下列命题中，是真命题的全称量词命题的是（）．A.对于实数a,bB.幂函数的图象过定点和点C.存在幂函数图象过点D.当时，幂函数在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】A选项：，故A不合题意；B选项：幂函数不过点，故B不合题意；C选项：不是全称量词命题命题，故C不合题意；D选项：当时，幂函数在上单调递减，故D正确.故选：D．5.若函数是上的减函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数是上的减函数，所以，故选：6.若均大于零，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】均大于零，且，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选：D.7.历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：(其中为有理数集，为无理数集)，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：(其中，且)，以下对说法错误的是（）A.定义域为B.当时，的值域为；当时，的值域为C.为偶函数D.在实数集的任何区间上都不具有单调性【答案】B【解析】显然无理数集和有理数集的并集是实数集，故A正确；的函数值只有两个，的值域为，故B错误；若，则，；若，则，；所以为偶函数，故C正确；由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在之间无间隙转换，所以在实数集的任何区间上都不具有单调性,故D正确.故选：B8.已知函数在区间上递减，且当时，有，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的对称轴为直线，因为函数在区间上递减，所以.所以，，所以.因为，所以.故选：B二、多选题（本大题共3小题，共18分.全选对得6分，部分选对得部分分，错选不得分）9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）．A.与B.与C.与D.与【答案】BCD【解析】对于A，对于，由得或，故的定义域为；对于，由得，故的定义域为；所以与不是同一函数，故A错误；对于B，由根式指数幂知，且与的定义域都为，所以与是同一函数，故B正确；对于C，对于，当时，；当时，；又当时，；综上：，所以与是同一函数，故C正确；对于D，显然与解析式表达式一样，所以与是同一函数，故D正确.故选：BCD.10.已知关于的不等式的解集为，则（）A.B.不等式的解集为C.D.不等式的解集为【答案】BD【解析】因为的解集为，所以，解得，所以A错误；对于B：将代入可得，解得，B正确；对于C：不等式的解集为，所以时，C错误；对于D：将代入可得，即，解得，D正确，故选：BD11.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（）A.的最小值为 B.在上单调递减C.的解集为 D.存在实数满足【答案】ACD【解析】函数是定义在上的偶函数，当时，，设，则，所以，因为是偶函数，所以，所以，所以，函数图象如下所示：可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确；在上单调递减，在上单调递增，故B错误；由或，解得或，综上可得的解集为，故C正确；由，，即存在实数满足，故D正确；故选：ACD．三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知集合，则集合A真子集个数为_____（填数字）【答案】511【解析】由题意，，，有9个元素，故集合A真子集的个数为：故答案为：51113.命题：，，则是________.【答案】，，【解析】命题：，为全称量词命题，则是，，故答案为：，，14.已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数，都有，则不等式的解集为______．【答案】【解析】不妨令，则等价于，可得，构造函数，则是上的增函数，因为，所以等价于，即，所以，解得，所以不等式的解集为.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分）15.已知的定义域为集合，集合．（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）意义，则有，解之可得：，所以集合.（2），所以,因为，所以分和两种情况；若，则，解得：；若，要使成立，则有，解得：，综上所述：实数的取值范围.16.已知是定义在上的偶函数，且时，．（1）求，；（2）求函数的表达式；（3）判断并证明函数在区间上的单调性.解：（1）.（2）设因为函数f(x)为偶函数，所以有即，所以.（3）设，，∵∴∴∴f(x)在为单调减函数.17.设函数.（1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；（2）解关于的不等式；解：（1）函数，又有且只有一个元素，则方程有且仅有一个根，当时，，即，则，满足题设；当时，，即，则，满足题设，所以的取值集合为.（2）依题意，，整理得，当时，解得；当时，无解；当时，解得，综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.18.某公司为了节约资源，研发了一个从生活垃圾中提炼煤油的项目.该项目的月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为:，每处理一吨生活垃圾，可得到的煤油的价值为200元，若该项目不能获利，政府将给予补贴.（1）当时，判断该项目能否获利.如果获利，求出最大利润;如果不能获利，则政府每月最多需要补贴多少元，才能使该项目不亏损?（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?解：（1）当时，该项目的利润，∵，则，故该项目不能获利，当时，取到最小值，故该项目不会获利，政府每月最多需要补贴20000元，才能使该项目不亏损.（2）当时，平均处理成本，当时，平均处理成本取到最小值250；当时，平均处理成本，当，即时，平均处理成本取到最小值200；∵，故该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.19.已知幂函数满足．（1）求函数的解析式；（2）若函数，是否存在实数，（），使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．解：（1）由