2026版步步高大一轮数学江苏基础第九章§9.4列联表与独立性检验（含答案或解析）

§9.4列联表与独立性检验课标要求1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其应用.1.分类变量为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.2.列联表与独立性检验(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba+bX＝1cdc+d合计a+cb+dn＝a+b+c+d(2)计算统计量χ2＝n(ad−bc)2(a+b)(如表为5个常用的小概率值和相应的临界值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8281.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数.()(2)事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响.()(3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量.()(4)在2×2列联表中，若|ad－bc|越小，则说明两个分类变量之间关系越强.()2.一个2×2列联表如表所示，则表中a，c处的值分别为()y1y2合计x1a2573x221bc合计d49A.98，28 B.28，98C.48，45 D.45，483.想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H0为()A.男性喜欢参加体育活动B.女性不喜欢参加体育活动C.喜欢参加体育活动与性别有关D.喜欢参加体育活动与性别无关4.(2024·哈尔滨模拟)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得χ2＝2.826，依据α＝0.05的独立性检验，结论为()参考值：α0.10.050.01xα2.7063.8416.635A.x与y不独立B.x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C.x与y独立D.x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误.题型一列联表及等高堆积条形图例1(1)为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才.某学校在不加重学生负担的前提下，提供个性、全面的选修课程.为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高堆积条形图，根据条形图，下列结论正确的是()A.样本中不愿意选该门课的人数较多B.样本中男生人数多于女生人数C.样本中女生人数多于男生人数D.该等高堆积条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数(2)假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为YXy1y2合计x1101828x2m26m+26合计m+1044m+54则当整数m取时，X与Y的关系最弱()

A.8 B.9 C.14 D.19思维升华利用2×2列联表分析两个分类变量间关系的步骤(1)根据题中数据获得2×2列联表；(2)根据频率特征，即将aa+b与跟踪训练1(2024·成都模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到列联表：优秀非优秀甲班10b乙班c30附：χ2＝n(ad−bc)2(a+b)(cα0.050.010.005xα3.8416.6357.879已知在全部的105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27A.甲班人数少于乙班人数B.甲班的优秀率高于乙班的优秀率C.表中c的值为15，b的值为50D.根据表中的数据，若依据α＝0.05的独立性检验，能认为“成绩优秀率与班级有关系”题型二列联表与独立性检验例2随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑训练天数不大于2天3天或4天不少于5天人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”.附：χ2＝n(ad−bcα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(1)经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数；(2)根据表中数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为马拉松的“热烈参与者”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计思维升华独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表.(2)根据公式χ2＝n(ad(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断.跟踪训练2某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率的作用”的试验，其中甲班为试验班(加强“语文阅读理解”训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如表所示：60分以下61~70分71~80分81~90分91~100分甲班(人数)31161218乙班(人数)78101015现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀.(1)计算两个班级的优秀率；(2)根据以上统计数据填写下面2×2列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助？优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计参考公式及数据：χ2＝n(ad−bc)2(a+b)(α0.050.010.001xα3.8416.63510.828题型三独立性检验的综合应用例3(2024·拉萨模拟)为促进中华戏曲文化的传承与发展，某校开展了戏曲进校园文艺活动，从全校学生中随机抽取60名男生和60名女生参加戏曲知识竞赛，并按得分(满分：100分)统计，分别绘制成频率分布直方图，如图所示.(1)现有10张某戏剧的演出票送给得分在80分以上(含80分)的同学，根据男生组和女生组得分在80分以上(含80分)的人数，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，则男生组、女生组分别得多少张该戏剧的演出票？(2)假设学生竞赛成绩在80分以上(含80分)被认定为这名学生喜爱戏曲.将参加竞赛的学生成绩及性别制成下列2×2列联表：男生女生合计喜爱戏曲不喜爱戏曲合计将列联表补充完整并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为学生喜爱戏曲与性别有关？参考公式及数据：χ2＝n(ad−bc)2(a+b)(cα0.050.010.001xα3.8416.63510.828思维升华独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解往往按各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往用小题的形式，而且χ2的公式一般会在原题中给出.跟踪训练3(2024·赤峰模拟)随着中国科技的迅猛发展和进步，中国民用无人机行业技术实力和国际竞争力不断提升，市场规模持续增长.为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无人机，为测试其性能，对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计，数据如下：飞行距离x(千公里)5663717990102110117核心零件损坏数y(个)617390105119136149163(1)若建立y关于x的回归模型为y^＝b^x+a^，求y关于x(2)为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所有同型号民用无人机中随机选取100台进行等距离测试，测试前对其中60台进行核心零件保养，测试结束后，有20台无人机核心零件报废，其中保养过的占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为核心零件的报废与保养有关？保养未保养合计报废20未报废合计60100附：经验回归方程y^＝b^x+a^χ2＝n(ad−bc)2(a+b)(α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828参考数据：x＝86，y＝112，8Σi=1xiyi＝82743，8Σ

答案精析落实主干知识自主诊断1.(1)√(2)×(3)√(4)×2.C[由2×2列联表知，a+25＝73，b+25＝49，b+21＝c，解得a＝48，b＝24，c＝45.]3.D[独立性检验是一种假设性检验，假设有反证法的意味，应假设两类变量无关，在该假设下构造的随机变量χ2应该很小，如果χ2很小，则不能肯定或否定假设，反之，则在一定程度上说明假设不合理，即认为两个变量在一定程度上有关，所以想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关.]4.C[零假设为H0：x与y独立，由χ2＝2.826<3.841，依据α＝0.05的独立性检验，可得H0成立，故可以认为x与y独立.]探究核心题型例1(1)B[由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课，则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误；由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大，所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，C，D错误.](2)C[在两个分类变量的列联表中，当|ad－bc|的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小.令|ad－bc|＝0，得10×26＝18m，解得m≈14.4，又m为整数，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱.]跟踪训练1D[由条件知10+b+c+30＝105，10+c故b+c＝65，10+c＝30，所以b＝45，c＝20，故C错误；由于甲班人数为10+b＝10+45＝55，乙班人数为c+30＝20+30＝50<55，故A错误；由于甲班优秀率为1055＝211，乙班优秀率为2050由于χ2＝105×(10×30−45×20)255×例2解(1)s＝100+80＝180，t＝80+70＝150.(2)∵80180∴p的估计值为49(3)零假设H0：药物A对预防疾病B无效.根据列联表中的数据可得χ2＝400＝2000297≈6.734>6.635＝x0.01根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为药物A对预防疾病B有效.跟踪训练2解(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为3050＝0.6＝60%乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝0.5＝50%所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.(2)补全2×2列联表如下所示.优秀人数非优秀人数合计甲班302050乙班252550合计5545100零假设为H0：加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率没有帮助.由χ2＝100×(25×30−25×20根据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此认为H0成立，即加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率没有帮助.例3解(1)由频率分布直方图得，男生组得分在80分以上(含80分)的有(0.010+0.005)×10×60＝9(人)，女生组得分在80分以上(含80分)的有(0.025+0.010)×10×60＝21(人)，所以男生组分得票数为99+21×10＝3女生组分得票数为219+21×10＝7所以男生组、女生组分别得3张和7张该戏剧的演出票.(2)由(1)知，男生组得分在80分以上(含80分)的有9人，80分以下的有51人；女生组得分在80分以上(含80分)的有21人，80分以下的有39人，所以补充2×2列联表：男生女生合计喜爱戏曲92130不喜爱戏曲513990合计6060120零假设为H0：学生喜爱戏曲与性别无关.根据列联表中数据计算，得χ2＝120＝325＝6.4<6.635根据临界值表可知，没有充分证据推断H0不成立，即学生喜爱戏曲与性别无关.跟踪训练3解(1)依题意，b^＝8a^＝y－b所以y关于x的经验回归方程为y^＝1.6x－26(2)依题意，核心零件报废的无人机中保养过的有20×30%＝6(台)，未保养的有20－6＝14(台)，则2×2列联表如下：保养未保养合计报废61420未报废542680合计6040100零假设为H0：核心零件的报废与保养无关，则χ2＝100×(6×26−14×54)220×80×60×40＝9.375>6.635，根据小概率值α推断H0不成立，即认为核心零件报废与保养有关，此推断犯错误的概率不超过0.01.

9.4列联表与独立性检验课标要求1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其应用.1.分类变量为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.2.列联表与独立性检验(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d(2)计算统计量χ2=n(ad−bc)2(a+b)(如表为5个常用的小概率值和相应的临界值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8281.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数.(√)(2)事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响.(×)(3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量.(√)(4)在2×2列联表中，若|ad-bc|越小，则说明两个分类变量之间关系越强.(×)2.一个2×2列联表如表所示，则表中a，c处的值分别为()y1y2合计x1a2573x221bc合计d49A.98，28 B.28，98C.48，45 D.45，48答案C解析由2×2列联表知，a+25=73，b+25=49，b+21=c，解得a=48，b=24，c=45.3.想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H0为()A.男性喜欢参加体育活动B.女性不喜欢参加体育活动C.喜欢参加体育活动与性别有关D.喜欢参加体育活动与性别无关答案D解析独立性检验是一种假设性检验，假设有反证法的意味，应假设两类变量无关，在该假设下构造的随机变量χ2应该很小，如果χ2很小，则不能肯定或否定假设，反之，则在一定程度上说明假设不合理，即认为两个变量在一定程度上有关，所以想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关.4.(2024·哈尔滨模拟)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得χ2=2.826，依据α=0.05的独立性检验，结论为()参考值：α0.10.050.01xα2.7063.8416.635A.x与y不独立B.x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C.x与y独立D.x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05答案C解析零假设为H0：x与y独立，由χ2=2.826<3.841，依据α=0.05的独立性检验，可得H0成立，故可以认为x与y独立.回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误.题型一列联表及等高堆积条形图例1(1)为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才.某学校在不加重学生负担的前提下，提供个性、全面的选修课程.为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高堆积条形图，根据条形图，下列结论正确的是()A.样本中不愿意选该门课的人数较多B.样本中男生人数多于女生人数C.样本中女生人数多于男生人数D.该等高堆积条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数答案B解析由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课，则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误；由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大，所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，C，D错误.(2)假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为YXy1y2合计x1101828x2m26m+26合计m+1044m+54则当整数m取时，X与Y的关系最弱()

A.8 B.9 C.14 D.19答案C解析在两个分类变量的列联表中，当|ad-bc|的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小.令|ad-bc|=0，得10×26=18m，解得m≈14.4，又m为整数，所以当m=14时，X与Y的关系最弱.思维升华利用2×2列联表分析两个分类变量间关系的步骤(1)根据题中数据获得2×2列联表；(2)根据频率特征，即将aa+b与跟踪训练1(2024·成都模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到列联表：优秀非优秀甲班10b乙班c30附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(cα0.050.010.005xα3.8416.6357.879已知在全部的105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27A.甲班人数少于乙班人数B.甲班的优秀率高于乙班的优秀率C.表中c的值为15，b的值为50D.根据表中的数据，若依据α=0.05的独立性检验，能认为“成绩优秀率与班级有关系”答案D解析由条件知10+b+c+30=105，10+c105=27，故b+c=65，10+c=30，所以b=45，c=20由于甲班人数为10+b=10+45=55，乙班人数为c+30=20+30=50<55，故A错误；由于甲班优秀率为1055=211，乙班优秀率为2050=25>由于χ2=105×(10×30−45×题型二列联表与独立性检验例2(2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病未服用10080s服用15070220合计250t400(1)求s，t；(2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p，给出p的估计值；(3)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？附：χ2＝n(α0.050.010.001xα3.8416.63510.828解(1)s＝100＋80＝180，t＝80＋70＝150.(2)∵80180＝49，∴(3)零假设H0：药物A对预防疾病B无效.根据列联表中的数据可得χ2＝400×100×70−80×1502250×150根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为药物A对预防疾病B有效.思维升华独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表.(2)根据公式χ2=n(ad(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断.跟踪训练2某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率的作用”的试验，其中甲班为试验班(加强“语文阅读理解”训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如表所示：60分以下61~70分71~80分81~90分91~100分甲班(人数)31161218乙班(人数)78101015现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀.(1)计算两个班级的优秀率；(2)根据以上统计数据填写下面2×2列联表，依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助？优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计参考公式及数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(α0.050.010.001xα3.8416.63510.828解(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为3050=0.6=60%乙班优秀人数为25人，优秀率为2550=0.5=50%所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.(2)补全2×2列联表如下所示.优秀人数非优秀人数合计甲班302050乙班252550合计5545100零假设为H0：加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率没有帮助.由χ2=100×(25根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此认为H0成立，即加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率没有帮助.题型三独立性检验的综合应用例3(2024·拉萨模拟)为促进中华戏曲文化的传承与发展，某校开展了戏曲进校园文艺活动，从全校学生中随机抽取60名男生和60名女生参加戏曲知识竞赛，并按得分(满分：100分)统计，分别绘制成频率分布直方图，如图所示.(1)现有10张某戏剧的演出票送给得分在80分以上(含80分)的同学，根据男生组和女生组得分在80分以上(含80分)的人数，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，则男生组、女生组分别得多少张该戏剧的演出票？(2)假设学生竞赛成绩在80分以上(含80分)被认定为这名学生喜爱戏曲.将参加竞赛的学生成绩及性别制成下列2×2列联表：男生女生合计喜爱戏曲不喜爱戏曲合计将列联表补充完整并依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为学生喜爱戏曲与性别有关？参考公式及数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(cα0.050.010.001xα3.8416.63510.828解(1)由频率分布直方图得，男生组得分在80分以上(含80分)的有(0.010+0.005)×10×60=9(人)，女生组得分在80分以上(含80分)的有(0.025+0.010)×10×60=21(人)，所以男生组分得票数为99+21×10=3女生组分得票数为219+21×10=7所以男生组、女生组分别得3张和7张该戏剧的演出票.(2)由(1)知，男生组得分在80分以上(含80分)的有9人，80分以下的有51人；女生组得分在80分以上(含80分)的有21人，80分以下的有39人，所以补充2×2列联表：男生女生合计喜爱戏曲92130不喜爱戏曲513990合计6060120零假设为H0：学生喜爱戏曲与性别无关.根据列联表中数据计算，得χ2=120=325=6.4<6.635根据临界值表可知，没有充分证据推断H0不成立，即学生喜爱戏曲与性别无关.思维升华独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解往往按各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往用小题的形式，而且χ2的公式一般会在原题中给出.跟踪训练3(2024·赤峰模拟)随着中国科技的迅猛发展和进步，中国民用无人机行业技术实力和国际竞争力不断提升，市场规模持续增长.为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无人机，为测试其性能，对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计，数据如下：飞行距离x(千公里)5663717990102110117核心零件损坏数y(个)617390105119136149163(1)若建立y关于x的回归模型为y^=b^x+a^，求y关于x的经验回归方程(b(2)为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所有同型号民用无人机中随机选取100台进行等距离测试，测试前对其中60台进行核心零件保养，测试结束后，有20台无人机核心零件报废，其中保养过的占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为核心零件的报废与保养有关？保养未保养合计报废20未报废合计60100附：经验回归方程y^=b^x+a^中斜率和截距的最小二乘估计公式b^=nΣi=1(xi−x)(yi−y)nΣi=1(xα0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828参考数据：x=86，y=112，8Σi=1xiyi=82743，8Σ解(1)依题意，b^=8Σi=1(xa^=y-b^x所以y关于x的经验回归方程为y^=1.6x(2)依题意，核心零件报废的无人机中保养过的有20×30%=6(台)，未保养的有20-6=14(台)，则2×2列联表如下：保养未保养合计报废61420未报废542680合计6040100零假设为H0：核心零件的报废与保养无关，则χ2=100×(6×26−14×推断H0不成立，即认为核心零件报废与保养有关，此推断犯错误的概率不超过0.01.

课时精练(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是()答案D解析观察等高堆积条形图发现x1x1+2.下列关于独立性检验的说法正确的是()A.独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验B.独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系C.利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病D.对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大答案D解析对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是否是线性相关，故错误；对于B，独立性检验并不能100%确定两个变量相关，故错误；对于C，99%是指“吸烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非吸烟人中患肺病的发病率，故错误；对于D，根据卡方计算的定义可知该选项正确.3.(2024·枣庄模拟)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表：疗法疗效合计未治愈治愈甲155267乙66369合计21115136经计算得到χ2≈4.881，根据小概率值α=0.005的独立性检验(已知χ2独立性检验中x0.005=7.879)，则可以认为()A.两种疗法的效果存在差异B.两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005C.两种疗法的效果没有差异D.两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005答案C解析零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异.由χ2≈4.881<7.879=x0.005，根据小概率值α=0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异.4.古语云：“朝霞不出门，晚霞行千里”，其大意是如果早晨起来看到天边有朝霞的话，今天的天气可能不佳，会下雨，要引起重视，若是傍晚看到天边的晚霞，第二天很有可能是一个好天气，天气晴朗.某学习小组针对“朝霞不出门”这一句的可信度进行了观测统计，得到如下2×2列联表.有朝霞无朝霞合计当天有雨8816当天无雨21214合计102030参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(临界值参照表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828则下列说法正确的是()A.如果有朝霞，当天下雨的概率超过95%B.能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关C.能在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关D.连续三天中必有一天出现朝霞答案B解析由题中2×2列联表知，如果有朝霞，则当天下雨的概率约为80%，故A选项错误；由题得χ2=30×(8×12−8×2)216×有朝霞的天数占总天数的13，但并不意味着连续三天中必有一天出现朝霞，故D选项错误二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.(2024·湛江模拟)某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如表所示：性别是否患过某流行疾病合计患过该疾病未患过该疾病男20ba+b女c50c+d合计a+c80110下列说法正确的有()参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(附表：α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828A.aa+B.χ2>6.635C.根据小概率值α=0.01的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联D.根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联答案ABC解析根据列联表中的数据可求得a=20，b=30，c=10，d=50，代入计算可得aa+b=25>cc经计算可得χ2=110×(20×50−30结合附表数值以及独立性检验的实际意义，根据小概率值α=0.01的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联，C正确，D错误.6.(2024·长春模拟)暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图.在被调查者中，下列说法正确的是()参考公式及数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多B.男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人C.经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的2倍D.根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关答案BD解析设男生人数为x，则女生人数为x+20，由题意得x+x+20=180，解得x=80，即在被调查者中，男生、女生人数分别为80，100，可得到如下2×2列联表，性别锻炼情况合计经常锻炼不经常锻炼男483280女4060100合计8892180由表可知，A显然错误；男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多48-40=8，B正确；在经常锻炼者中是男生的频率为4888≈0.5455，在不经常锻炼者中是男生的频率为3292≈0.3478，0.54550.3478≈1.6零假设H0：是否经常锻炼与性别无关，则χ2=180×(48×60−32×40)280×100×88三、填空题(每小题5分，共10分)7.在独立性检验中，统计量χ2有两个临界值：3.841和6.635.当χ2≥3.841时，至少有95%的把握说明两个事件有关，当χ2≥6.635时，至少有99%的把握说明两个事件有关，当χ2<3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与心脏病的调查中，共调查了200人，经计算χ2=20.87.根据这一数据分析，我们可认为打鼾与患心脏病之间是的(填“有关”或“无关”).

答案有关解析因为χ2=20.87>6.635，所以至少有99%的把握认为打鼾与患心脏病有关.可认为打鼾与患心脏病之间是有关的.8.在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表(部分数据缺失)：被某病毒感染未被某病毒感染合计注射疫苗1050未注射疫苗3050合计30100计算可知，根据小概率值α=的独立性检验，认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”.

附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828答案0.05解析完善2×2列联表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合计注射疫苗104050未注射疫苗203050合计3070100零假设为H0：给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果.因为χ2=100×(103.841<4.762<6.635，所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”.四、解答题(共28分)9.(13分)由中央电视台综合频道(CCTV-1)和某传媒公司联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，受到了青年观众的喜爱.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下2×2列联表.非常喜欢喜欢合计A3015B合计已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35.(1)现从100名观众中根据喜爱程度用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？(6分)(2)完成上述表格，依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为观众的喜爱程度与所在地区有关？(7分)附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(α0.050.010.001xα3.8416.63510.828解(1)由题意得来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的观众有0.35×100=35(人)，所以应从A地区抽取30×20100=6从B地区抽取35×20100=7(人)(2)完成2×2列联表如下：非常喜欢喜欢合计A301545B352055合计6535100零假设为H0：观众的喜爱程度与所在地区无关.χ2=100×(30×20−35根据小概率值α=