2026版步步高大一轮数学江苏基础第三章§3.6函数中的构造问题（含答案或解析）

§3.6函数中的构造问题重点解读1.函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.2.同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.题型一导数型构造函数命题点1利用f(x)与x构造函数例1(2024·绵阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf'(x)>0成立，若a＝30.2·f(30.2)，b＝ln2·f(ln2)，c＝log319·f

log319，则aA.a>b>c B.c>b>aC.c>a>b D.a>c>b思维升华(1)出现nf(x)＋xf'(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x).(2)出现xf'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝f(跟踪训练1已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf'(x)－f(x)<0，且f(2)＝2，则f(ex)－ex>0的解集是()A.(－∞，ln2) B.(ln2，＋∞)C.(0，e2) D.(e2，＋∞)命题点2利用f(x)与ex构造函数例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f'(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为.

思维升华(1)出现f'(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x).(2)出现f'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝f(跟踪训练2已知f(x)为定义在R上的可导函数，f'(x)为其导函数，且f(x)<f'(x)恒成立，则()A.f(2025)<ef(2026)B.ef(2025)<f(2026)C.ef(2025)＝f(2026)D.ef(2025)>f(2026)命题点3利用f(x)与sinx，cosx构造函数例3(2025·杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sinx＋f'(x)cosx>0，则()A.f

π3<3f

π6 B.f

π6<C.f

π3>3f

π6 D.f

π6>3思维升华函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)＝f(x)sinx，F'(x)＝f'(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝f(F'(x)＝f'(F(x)＝f(x)cosx，F'(x)＝f'(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝f(F'(x)＝f'(跟踪训练3(2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)，有f'(x)sinx－f(x)cosx<0，则关于x的不等式f(x)>2f

π6sinxA.0，π3 C.π3，π 题型二同构法构造函数命题点1双变量同构例4已知α，β均为锐角，且α＋β－π2>sinβ－cosαA.sinα>sinβ B.cosα>cosβC.cosα>sinβ D.sinα>cosβ命题点2指对同构例5(多选)若ea＋a>b＋lnb(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是()A.a>lnb B.a<lnbC.ea>b D.ea<b思维升华指对同构的常用形式(1)积型：aea≤blnb，一般有三种同构方式：①同左构造形式：aea≤lnbelnb，构造函数f(x)＝xex；②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数f(x)＝xlnx；③取对构造形式：a＋lna≤lnb＋ln(lnb)(a>0，b>1)，构造函数f(x)＝x＋lnx.(2)商型：eaa≤①同左构造形式：eaa≤elnblnb，构造函数f②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数f③取对构造形式：a－lna≤lnb－ln(lnb)(a>0，b>1)，构造函数f(x)＝x－lnx.(3)和、差型：ea±a>b±lnb，一般有两种同构方式：①同左构造形式：ea±a>elnb±lnb，构造函数f(x)＝ex±x；②同右构造形式：ea±lnea>b±lnb，构造函数f(x)＝x±lnx.跟踪训练4(1)若2x－2y<3－x－3－y，则()A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0(2)(2024·盐城模拟)若不等式ax－exlna≤0(a>e)在x∈[2，＋∞)上恒成立，则实数a的最大值为.

答案精析例1A[令g(x)＝xf(x)，x∈R，因为f(x)＝f(－x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，又因为当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf'(x)>0，所以当x∈(－∞，0]时，g'(x)＝f(x)＋xf'(x)>0，所以g(x)在(－∞，0]上单调递增，又g(x)为奇函数，所以g(x)在R上单调递增，又因为a＝30.2·f(30.2)＝g(30.2)，b＝ln2·f(ln2)＝g(ln2)，c＝log319·f

＝glog319＝又－2<0<ln2<lne＝1＝30<30.2，所以g(－2)<g(ln2)<g(30.2)，即a>b>c.]跟踪训练1A[令g(x)＝f(x)x，x∈(0则g'(x)＝xf'(故g(x)＝f(x)x在(0结合f(2)＝2，得g(2)＝f(2)2由f(ex)－ex>0，得f(e即g(ex)>g(2)，∴ex<2，则x<ln2，即f(ex)－ex>0的解集是(－∞，ln2).]例2(3，＋∞)解析设F(x)＝f(x)·ex，则F'(x)＝f'(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f'(x)]>0，∴F(x)是增函数.又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞).跟踪训练2B[设g(x)＝f(x)ex，则g'(因为f(x)<f'(x)恒成立，即f'(x)－f(x)>0恒成立，所以g'(x)>0恒成立，g(x)为增函数，则g(2025)<g(2026)，则f(2025)e2025即ef(2025)<f(2026).]例3B[令F(x)＝f(x)cosx，x≠π2＋k故F'(x)＝f'(x)cosx＋f(x)sinxcos2x故Fπ6<Fπ3，即fπ6cosπ6fπ6<3fπ3跟踪训练3B[令函数g(x)＝f(x)sinx，x∈则g'(x)＝f'(因此函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)>2fπ6sinx⇔f(x即g(x)>gπ6，解得0<x<π所以原不等式的解集为0，π例4D[∵α＋β－π2>sinβ－cosα∴β－sinβ>π2－α－sinπ令f(x)＝x－sinx，x∈0，π则f'(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在0，π∵α，β均为锐角，则π2－α∈0，π2，β∴β>π2－α∴cosβ<cosπ2sinβ>sinπ2∴cosβ<sinα，sinβ>cosα.]例5AC[方法一由ea＋a>b＋lnb，可得ea＋a>elnb＋lnb，令f(x)＝ex＋x，则f(a)>f(lnb)，因为f(x)在R上是增函数，所以a>lnb，即ea>b.方法二由ea＋a>b＋lnb，可得ea＋lnea>b＋lnb，令g(x)＝x＋lnx，则g(ea)>g(b)，因为g(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以ea>b，即a>lnb.]跟踪训练4(1)A[由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，令f(t)＝2t－3－t，∵y＝2t为增函数，y＝3－t为减函数，∴f(t)为增函数，∴x<y，∴y－x＋1>1，∴ln(y－x＋1)>0，故A正确，B错误；∵|x－y|与1的大小不确定，故C，D无法确定.](2)e2解析由ax－exlna≤0得xex≤设f(x)＝xex，则f'(x)＝当x>1时，f'(x)<0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则xex≤lnaelna，即f(x)≤又x，lna∈(1，＋∞)，所以x≥lna恒成立，又x∈[2，＋∞)，即lna≤2，所以e<a≤e2，所以a的最大值为e2.

3.6函数中的构造问题重点解读1.函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.2.同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.题型一导数型构造函数命题点1利用f(x)与x构造函数例1(2024·绵阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x)，且当x∈(-∞，0]时，f(x)+xf'(x)>0成立，若a=30.2·f(30.2)，b=ln2·f(ln2)，c=log319·f

log319，则a，b，A.a>b>c B.c>b>aC.c>a>b D.a>c>b答案A解析令g(x)=xf(x)，x∈R，因为f(x)=f(-x)，所以g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x)，所以g(x)为奇函数，又因为当x∈(-∞，0]时，f(x)+xf'(x)>0，所以当x∈(-∞，0]时，g'(x)=f(x)+xf'(x)>0，所以g(x)在(-∞，0]上单调递增，又g(x)为奇函数，所以g(x)在R上单调递增，又因为a=30.2·f(30.2)=g(30.2)，b=ln2·f(ln2)=g(ln2)，c=log319·f

log319=glo又-2<0<ln2<lne=1=30<30.2，所以g(-2)<g(ln2)<g(30.2)，即a>b>c.思维升华(1)出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x).(2)出现xf'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=f(跟踪训练1已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)<0，且f(2)=2，则f(ex)-ex>0的解集是()A.(-∞，ln2) B.(ln2，+∞)C.(0，e2) D.(e2，+∞)答案A解析令g(x)=f(x)x，x∈(0则g'(x)=xf'(故g(x)=f(x)x在(0结合f(2)=2，得g(2)=f(2)2由f(ex)-ex>0，得f(e即g(ex)>g(2)，∴ex<2，则x<ln2，即f(ex)-ex>0的解集是(-∞，ln2).命题点2利用f(x)与ex构造函数例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>0，且有f(3)=3，则f(x)>3e3-x的解集为.

答案(3，+∞)解析设F(x)=f(x)·ex，则F'(x)=f'(x)·ex+f(x)·ex=ex[f(x)+f'(x)]>0，∴F(x)是增函数.又f(3)=3，则F(3)=f(3)·e3=3e3.∵f(x)>3e3-x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集为(3，+∞).思维升华(1)出现f'(x)+nf(x)形式，构造函数F(x)=enxf(x).(2)出现f'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=f(跟踪训练2已知f(x)为定义在R上的可导函数，f'(x)为其导函数，且f(x)<f'(x)恒成立，则()A.f(2025)<ef(2026)B.ef(2025)<f(2026)C.ef(2025)=f(2026)D.ef(2025)>f(2026)答案B解析设g(x)=f(x)ex，则g'(因为f(x)<f'(x)恒成立，即f'(x)-f(x)>0恒成立，所以g'(x)>0恒成立，g(x)为增函数，则g(2025)<g(2026)，则f(2025)e2025即ef(2025)<f(2026).命题点3利用f(x)与sinx，cosx构造函数例3(2025·杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sinx+f'(x)cosx>0，则()A.fπ3<3fπ6 BC.fπ3>3fπ6 D答案B解析令F(x)=f(x)cosx，x≠π2+k故F'(x)=f'(x故F(x)=f(x)cosx在−故Fπ6<Fπ3，即fπ6cosπ6<fπ3cos思维升华函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)=f(x)sinx，F'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx；F(x)=f(F'(x)=f'(F(x)=f(x)cosx，F'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx；F(x)=f(F'(x)=f'(跟踪训练3(2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)，有f'(x)sinx-f(x)cosx<0，则关于x的不等式f(x)>2f

π6sinx的解集为(A.0，π3 B.0，π6 C.π答案B解析令函数g(x)=f(x)sinx，x∈则g'(x)=f'(x因此函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)>2f

π6sinx⇔f(x即g(x)>gπ6，解得0<x<π所以原不等式的解集为0，π题型二同构法构造函数命题点1双变量同构例4已知α，β均为锐角，且α+β-π2>sinβ-cosα，则(A.sinα>sinβ B.cosα>cosβC.cosα>sinβ D.sinα>cosβ答案D解析∵α+β-π2>sinβ-cosα∴β-sinβ>π2-α-sinπ令f(x)=x-sinx，x∈0，π则f'(x)=1-cosx>0，∴f(x)在0，π∵α，β均为锐角，则π2-α∈0，π2，β∴β>π2-α∴cosβ<cosπ2−α，sinβ∴cosβ<sinα，sinβ>cosα.命题点2指对同构例5(多选)若ea+a>b+lnb(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是()A.a>lnb B.a<lnbC.ea>b D.ea<b答案AC解析方法一由ea+a>b+lnb，可得ea+a>elnb+lnb，令f(x)=ex+x，则f(a)>f(lnb)，因为f(x)在R上是增函数，所以a>lnb，即ea>b.方法二由ea+a>b+lnb，可得ea+lnea>b+lnb，令g(x)=x+lnx，则g(ea)>g(b)，因为g(x)在(0，+∞)上是增函数，所以ea>b，即a>lnb.思维升华指对同构的常用形式(1)积型：aea≤blnb，一般有三种同构方式：①同左构造形式：aea≤lnbelnb，构造函数f(x)=xex；②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数f(x)=xlnx；③取对构造形式：a+lna≤lnb+ln(lnb)(a>0，b>1)，构造函数f(x)=x+lnx.(2)商型：eaa≤①同左构造形式：eaa≤elnblnb，构造函数f②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数f③取对构造形式：a-lna≤lnb-ln(lnb)(a>0，b>1)，构造函数f(x)=x-lnx.(3)和、差型：ea±a>b±lnb，一般有两种同构方式：①同左构造形式：ea±a>elnb±lnb，构造函数f(x)=ex±x；②同右构造形式：ea±lnea>b±lnb，构造函数f(x)=x±lnx.跟踪训练4(1)若2x-2y<3-x-3-y，则()A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0答案A解析由2x-2y<3-x-3-y，得2x-3-x<2y-3-y，令f(t)=2t-3-t，∵y=2t为增函数，y=3-t为减函数，∴f(t)为增函数，∴x<y，∴y-x+1>1，∴ln(y-x+1)>0，故A正确，B错误；∵|x-y|与1的大小不确定，故C，D无法确定.(2)(2024·盐城模拟)若不等式ax-exlna≤0(a>e)在x∈[2，+∞)上恒成立，则实数a的最大值为.

答案e2解析由ax-exlna≤0得xex≤lna设f(x)=xex，则f'(x)=当x>1时，f'(x)<0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递减，则xex≤lnaelna，即f(x)≤又x，lna∈(1，+∞)，所以x≥lna恒成立，又x∈[2，+∞)，即lna≤2，所以e<a≤e2，所以a的最大值为e2.课时精练(分值：52分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.已知a>0，b>0，则“a>b”是“lnab>1a-1b”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析lnab>1a-即lna-1a>lnb-1记f(x)=lnx-1x，x>0显然f(x)在(0，+∞)上单调递增，因为f(a)>f(b)，所以a>b>0.2.已知f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，且∀x∈R，f'(x)>2x，f(2)=5，则不等式f(x)>x2+1的解集为()A.(-∞，2) B.(2，+∞)C.(-∞，2) D.(2，+∞)答案B解析令g(x)=f(x)-x2，则g'(x)=f'(x)-2x>0，所以g(x)在R上单调递增，又f(2)=5，所以g(2)=f(2)-22=1，不等式f(x)>x2+1，即f(x)-x2>1，即g(x)>g(2)，所以x>2，即不等式f(x)>x2+1的解集为(2，+∞).3.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f'(x)sinx+f(x)cosx>0，则下列说法正确的是()A.f5π6<-f7π6<-B.-f7π6<f5π6<-C.-f−π6<-f7π6D.-f−π6<f5π6答案D解析令g(x)=f(x)sinx，因为f(x)为奇函数，则g(x)为偶函数，g'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx，又当x>0时，f'(x)sinx+f(x)cosx>0，则g(x)在(0，+∞)上单调递增，则有g−π6=gπ6<g5π6即-12f−π6<12f5π即-f−π6<f5π6<-4.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<blnb，则()A.ab>e B.b>eaC.ab<e D.b<ea答案B解析由aea<blnb，得ealnea<blnb.设f(x)=xlnx(x>0)，因为a>0，则ea>1，因为b>0，且blnb>aea>0，则b>1.当x>1时，f'(x)=lnx+1>0，则f(x)在(1，+∞)上单调递增，ealnea<blnb，即f(ea)<f(b)，所以ea<b.二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.(2025·滁州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f'(x)，且对任意的x∈R，都有f(x)+f'(x)>0，则下列说法正确的是()A.ef(1)<f(0) B.ef(1)>f(0)C.2f(ln2)<ef(1) D.2f(ln2)>ef(1)答案BC解析令g(x)=exf(x)，所以g'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0，所以g(x)在R上是增函数，所以g(0)<g(1)，即f(0)<ef(1)，故A错误，B正确；又g(ln2)<g(1)，所以eln2f(ln2)<ef(1)，即2f(ln2)<ef(1)，故C正确，D错误.6.已知正数a，b满足2a+log2a=4b+2log4b，则()A.a>2b B.a<2bC.a>b D.a<b答案BC解析原等式可化为2a+log2a=22b+log2b，令f(x)=2x+log2x，显然f(x)在(0，+∞)上单调递增，∵2b>b>0，∴2a+log2a=22b+log2b<22b+log2(2b)，∴f(a)<f(2b)，∴a<2b，故A错误，B正确；又2a+log2a=22b+log2b>2b+log2b，∴f(a)>f(b)，∴a>b，故C正确，D错误.三、填空题(每小题5分，共10分)7.已知f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<-xf'(x)，则不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是.

答案(2，+∞)解析根据题意，构造函数y=xf(x)，x∈(0，+∞)，则y'=f(x)+xf'(x)<0，所以函数y=xf(x)在(0，+∞)上单调递减.又因为f(x+1)>(x-1)f(x2-1)，所以(x+1)f(x+1)>(