2026版步步高大一轮数学江苏基础第四章§4.7正弦定理、余弦定理（含答案或解析）

§4.7正弦定理、余弦定理课标要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA＝

＝a2＝；

b2＝；

c2＝

变形(1)a＝2RsinA，b＝，

c＝；

(2)sinA＝a2RsinB＝，

sinC＝；

(3)a∶b∶c＝

cosA＝；

cosB＝；

cosC＝

2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12aha(ha表示边a(2)S＝＝＝；

(3)S＝(r为三角形的内切圆半径).

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则a>b.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形.()2.在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝23，则角B的值为()A.30°或150° B.60°或120°C.60° D.30°3.已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是()A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cosA＝，△ABC的面积为.

1.熟记△ABC中的以下常用结论：(1)A＋B＋C＝π，A＋(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(3)大边对大角，大角对大边，a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC.(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.2.谨防两个易误点(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断.题型一利用正弦定理解三角形例1(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝2.(1)求A；(2)若a＝2，2bsinC＝csin2B，求△ABC的周长.思维升华(1)利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).(2)已知△ABC的两边a，b及角A，解三角形的一般步骤①由正弦定理asinA＝bsinB，得到②当sinB>1时，无解；当sinB＝1，且a<b时，B＝90°，有唯一解；当sinB<1时，若a≥b，则有唯一解，若a<b，则有两个解.跟踪训练1(1)(2025·南京统考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2acosBsinC＋2bcosAsinC＝c2，则△ABC外接圆的面积是()A.π8 B.C.π2 (2)(多选)(2024·金昌模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列对△ABC解的个数的判断正确的是()A.当a＝22，c＝4，A＝30°时，有两解B.当a＝5，b＝7，A＝60°时，有一解C.当a＝2，b＝4，A＝30°时，无解D.当a＝6，b＝4，A＝60°时，有两解题型二利用余弦定理解三角形例2(1)(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝35，则△ABCA.6 B.8 C.24 D.48(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A＝cos(B＋C)，且a＝27，bc＝12，则△ABC的周长为.

思维升华利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.跟踪训练2(1)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3sinC＝3sinA，B＝π6，△ABC的面积为3，则bA.22 B.6 C.4 D.2(2)(2024·毕节模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2－23bc＋c2＋3，且3sinA－cosA＝0，则△ABC的面积为.

题型三三角形形状的判断例3(1)(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的有()A.若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形B.若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC一定是等腰三角形C.若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形D.若a＝bcosC，则△ABC一定是直角三角形(2)在△ABC中，若c＋acosC＝b＋acosB，则△ABC的形状是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.跟踪训练3(1)(2024·宁波模拟)在△ABC中，A，B，C成等差数列且sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC的形状为()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若4acos2B2＝c＋2a，则△ABCA.等腰三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形

答案精析落实主干知识1.bsinBcsinCb2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2RsinB2Rc2RsinA∶sinB∶b2＋c23.(2)12absinC12ac12bcsinA(3)12r(a＋b＋自主诊断1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.D[在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝23，由正弦定理asinA＝bsinB，即23又AC<BC，所以B<A，即0°<B<60°，所以B＝30°.]3.A[由正弦定理得，acosB＝bcosA⇒sinAcosB＝sinBcosA⇒sin(A－B)＝0，由于－π<A－B<π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形.]4.34解析依题意得cosA＝b2所以sinA＝1−cos所以△ABC的面积为12bcsinA＝15探究核心题型例1解(1)方法一常规方法(辅助角公式)由sinA＋3cosA＝2，可得12sinA＋32cosA即sinA＋π由于A∈(0，π)⇒A＋π3∈π故A＋π3解得A＝π6方法二常规方法(同角三角函数的基本关系)由sinA＋3cosA＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sinA得到4cos2A－43cosA＋3＝0⇔(2cosA－3)2＝0，解得cosA＝32又A∈(0，π)，故A＝π6(2)由题设条件和正弦定理得，2bsinC＝csin2B⇔2sinBsinC＝2sinCsinBcosB，又B，C∈(0，π)，则sinBsinC≠0，进而cosB＝22，得到B＝π于是C＝π－A－B＝7π12sinC＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝2＋asin即2sin解得b＝22，c＝6＋故△ABC的周长为2＋6＋32.跟踪训练1(1)D[设△ABC外接圆的半径为R，因为2acosBsinC＋2bcosAsinC＝c2，所以由正弦定理，得2sinAcosBsinC＋2sinBcosAsinC＝csinC，因为sinC≠0，且A＋B＋C＝π，所以2sin(A＋B)＝2sinC＝c，所以csinC＝2＝2R，解得R所以△ABC外接圆的面积是πR2＝π.](2)AC[对于A，由正弦定理得asinA＝csinC，即22又因为0°<C<180°，c>a，所以C＝45°或C＝135°，有两解，故A正确；对于B，由正弦定理得sinB＝bsinAa＝对于C，由正弦定理得sinB＝bsinAa＝对于D，由正弦定理得sinB＝bsinAa又b<a，所以B为锐角，此三角形只有一解，故D错误.]例2(1)C[由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos∠BAC，即64＝100＋AB2－2AB×10×35∴AB2－12AB＋36＝0，∴AB＝6，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，S△ABC＝12AB·BC＝12×6×8＝24(2)8＋27解析cos2A＝－cosA＝2cos2A－1，即2cos2A＋cosA－1＝0，解得cosA＝－1(舍去)或cosA＝12在△ABC中，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝28，∴(b＋c)2－3bc＝28，(b＋c)2＝64，∴b＋c＝8，∴a＋b＋c＝8＋27.跟踪训练2(1)D[因为3sinC＝3sinA，所以3c＝3a，即a＝3c，又因为B＝π6且△ABC的面积为3可得S△ABC＝12acsin＝12×3c2×1解得c＝2，则a＝23，则由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝12＋4－2×23×2×32＝4，所以b＝2.(2)1解析∵3sinA－cosA＝0，可得tanA＝33又A∈(0，π)，∴A＝π6又∵a2＝b2－23bc＋c2＋3，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴23bc－3＝2bccosA，∵A＝π6，解得bc＝1S△ABC＝12bcsinA＝1例3(1)ABD[对于A，由题意可得，sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，由正弦定理可得a2＋b2<c2，由余弦定理可得cosC＝a2＋b2−c对于B，由正弦定理得，sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，即sinB＝sin(B＋C)＝sinA，则A＝B，△ABC是等腰三角形，B正确；对于C，由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB⇔sin2A＝sin2B，2A＝2B或2A＋2B＝π，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，C错误；对于D，a＝bcosC，所以a＝b·a2＋b2−c22ab，即2a2＝a2＋b2－c2，即a2＋c2＝b(2)C[已知c＋acosC＝b＋acosB，A，B，C为△ABC的内角，由正弦定理可得sinC＋sinAcosC＝sinB＋sinAcosB，即sin(A＋B)＋sinAcosC＝sin(A＋C)＋sinAcosB，即sinAcosB＋sinBcosA＋sinAcosC＝sinAcosC＋sinCcosA＋sinAcosB，化简得sinBcosA＝sinCcosA，即cosA(sinB－sinC)＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinC，∴A为直角或B＝C，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.]跟踪训练3(1)C[在△ABC中，由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C，而A＋B＋C＝π，则B＝π3由sinA，sinB，sinC成等比数列，得sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即ac＝a2＋c2－ac，解得a＝c，因此△ABC是等边三角形.](2)A[因为4acos2B2＝c＋2a所以4a·1＋cosB2＝c＋2即2acosB＝c，方法一由正弦定理得2sinAcosB＝sinC＝sin(B＋A)＝sinBcosA＋cosBsinA，所以sinAcosB－sinBcosA＝0，即sin(A－B)＝0，又因为A，B∈(0，π)，A＝B，所以△ABC为等腰三角形.方法二由余弦定理得2a·a2＋c即a2＋c2－b2＝c2，即a2＝b2，即a＝b，所以△ABC为等腰三角形.]

4.7正弦定理、余弦定理课标要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA=bsinBa2=b2+c2-2bccosA；b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC变形(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；(2)sinA=a2R，sinB=b2R，sin(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCcosA=b2cosB=c2cosC=a2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S=12aha(ha表示边a(2)S=12absinC=12acsinB=12bc(3)S=12r(a+b+c)(r1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(×)(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则a>b.(√)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(×)(4)当b2+c2-a2>0时，△ABC为锐角三角形.(×)2.在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=23，则角B的值为()A.30°或150° B.60°或120°C.60° D.30°答案D解析在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=23，由正弦定理asinA=bsinB，即2332=2又AC<BC，所以B<A，即0°<B<60°，所以B=30°.3.已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB=bcosA，则△ABC一定是()A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案A解析由正弦定理得，acosB=bcosA⇒sinAcosB=sinBcosA⇒sin(A-B)=0，由于-π<A-B<π，故必有A-B=0，A=B，即△ABC为等腰三角形.4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，b=5，c=6，则cosA=，△ABC的面积为.

答案34解析依题意得cosA=b2+c所以sinA=1−cos2A所以△ABC的面积为12bcsinA=151.熟记△ABC中的以下常用结论：(1)A+B+C=π，A+B2=π(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(3)大边对大角，大角对大边，a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC.(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.2.谨防两个易误点(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断.题型一利用正弦定理解三角形例1(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=2.(1)求A；(2)若a=2，2bsinC=csin2B，求△ABC的周长.解(1)方法一常规方法(辅助角公式)由sinA+3cosA=2，可得12sinA+32cosA即sinA+π由于A∈(0，π)⇒A+π3∈π故A+π3=π解得A=π6方法二常规方法(同角三角函数的基本关系)由sinA+3cosA=2，又sin2A+cos2A=1，消去sinA得到4cos2A-43cosA+3=0⇔(2cosA-3)2=0，解得cosA=32又A∈(0，π)，故A=π6(2)由题设条件和正弦定理得，2bsinC=csin2B⇔2sinBsinC=2sinCsinBcosB，又B，C∈(0，π)，则sinBsinC≠0，进而cosB=22，得到B=π于是C=π-A-B=7π12sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2+由正弦定理可得，asinA=bsin即2sinπ6=b解得b=22，c=6+2，故△ABC的周长为2+6+32.思维升华(1)利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).(2)已知△ABC的两边a，b及角A，解三角形的一般步骤①由正弦定理asinA=bsinB，得到sin②当sinB>1时，无解；当sinB=1，且a<b时，B=90°，有唯一解；当sinB<1时，若a≥b，则有唯一解，若a<b，则有两个解.跟踪训练1(1)(2025·南京统考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2acosBsinC+2bcosAsinC=c2，则△ABC外接圆的面积是()A.π8 B.π4 C.π答案D解析设△ABC外接圆的半径为R，因为2acosBsinC+2bcosAsinC=c2，所以由正弦定理，得2sinAcosBsinC+2sinBcosAsinC=csinC，因为sinC≠0，且A+B+C=π，所以2sin(A+B)=2sinC=c，所以csinC=2=2R，解得R所以△ABC外接圆的面积是πR2=π.(2)(多选)(2024·金昌模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列对△ABC解的个数的判断正确的是()A.当a=22，c=4，A=30°时，有两解B.当a=5，b=7，A=60°时，有一解C.当a=2，b=4，A=30°时，无解D.当a=6，b=4，A=60°时，有两解答案AC解析对于A，由正弦定理得asinA=csinC，即22sin30°=4sin又因为0°<C<180°，c>a，所以C=45°或C=135°，有两解，故A正确；对于B，由正弦定理得sinB=bsinAa=7×32对于C，由正弦定理得sinB=bsinAa=4×12对于D，由正弦定理得sinB=bsinAa=4×3又b<a，所以B为锐角，此三角形只有一解，故D错误.题型二利用余弦定理解三角形例2(1)(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝35，则△ABCA.6 B.8 C.24 D.48答案C解析由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos∠BAC，即64＝100＋AB2－2AB×10×35∴AB2－12AB＋36＝0，∴AB＝6，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，S△ABC＝12AB·BC＝12×6×(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=cos(B+C)，且a=27，bc=12，则△ABC的周长为.

答案8+27解析cos2A=-cosA=2cos2A-1，即2cos2A+cosA-1=0，解得cosA=-1(舍去)或cosA=12在△ABC中，根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得b2+c2-bc=28，∴(b+c)2-3bc=28，(b+c)2=64，∴b+c=8，∴a+b+c=8+27.思维升华利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.跟踪训练2(1)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3sinC=3sinA，B=π6，△ABC的面积为3，则bA.22 B.6 C.4 D.2答案D解析因为3sinC=3sinA，所以3c=3a，即a=3c，又因为B=π6且△ABC的面积为3可得S△ABC=12acsinB=12×3c2×12解得c=2，则a=23，则由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=12+4-2×23×2×32=4，所以b(2)(2024·毕节模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2-23bc+c2+3，且3sinA-cosA=0，则△ABC的面积为.

答案1解析∵3sinA-cosA=0，可得tanA=33又A∈(0，π)，∴A=π6又∵a2=b2-23bc+c2+3，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，∴23bc-3=2bccosA，∵A=π6，解得bc=1S△ABC=12bcsinA=1题型三三角形形状的判断例3(1)(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的有()A.若sin2A+sin2B+cos2C<1，则△ABC为钝角三角形B.若bcosC+ccosB=b，则△ABC一定是等腰三角形C.若acosA=bcosB，则△ABC一定是等腰三角形D.若a=bcosC，则△ABC一定是直角三角形答案ABD解析对于A，由题意可得，sin2A+sin2B<1-cos2C=sin2C，由正弦定理可得a2+b2<c2，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c对于B，由正弦定理得，sinBcosC+sinCcosB=sinB，即sinB=sin(B+C)=sinA，则A=B，△ABC是等腰三角形，B正确；对于C，由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB⇔sin2A=sin2B，2A=2B或2A+2B=π，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，C错误；对于D，a=bcosC，所以a=b·a2+b2−c22ab，即2a2=a2+b2-c2，即a2+c2=(2)在△ABC中，若c+acosC=b+acosB，则△ABC的形状是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形答案C解析已知c+acosC=b+acosB，A，B，C为△ABC的内角，由正弦定理可得sinC+sinAcosC=sinB+sinAcosB，即sin(A+B)+sinAcosC=sin(A+C)+sinAcosB，即sinAcosB+sinBcosA+sinAcosC=sinAcosC+sinCcosA+sinAcosB，化简得sinBcosA=sinCcosA，即cosA(sinB-sinC)=0，∴cosA=0或sinB=sinC，∴A为直角或B=C，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.跟踪训练3(1)(2024·宁波模拟)在△ABC中，A，B，C成等差数列且sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC的形状为()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案C解析在△ABC中，由A，B，C成等差数列，得2B=A+C，而A+B+C=π，则B=π3由sinA，sinB，sinC成等比数列，得sin2B=sinAsinC，由正弦定理得b2=ac，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，即ac=a2+c2-ac，解得a=c，因此△ABC是等边三角形.(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若4acos2B2=c+2a，则△ABCA.等腰三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形答案A解析因为4acos2B2=c+2a所以4a·1+cosB2=c+2a，即2acosB=方法一由正弦定理得2sinAcosB=sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA，所以sinAcosB-sinBcosA=0，即sin(A-B)=0，又因为A，B∈(0，π)，A=B，所以△ABC为等腰三角形.方法二由余弦定理得2a·a2+c即a2+c2-b2=c2，即a2=b2，即a=b，所以△ABC为等腰三角形.课时精练(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.(2024·成都模拟)在△ABC中，BC=3，AC=5，C=2π3，则ABA.53 B.51 C.45 D.7答案D解析在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=52+32-2×5×3×−12=49，所以2.(2024·黄石模拟)若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B+C=60°，a=3，则sinBA.23 B.36 C.16答案B解析在△ABC中，B+C=60°，所以A=120°，所以sinAa=sin120°3由正弦定理以及比例的性质可得sinB+sinCb+3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bc=3a2，且b+c=72a，则sinAA.156 B.158 C.23答案B解析因为bc=3a2，b+c=72a，则由余弦定理可得cosA=b2+c2−a又A∈(0，π)，所以sinA=1−cos2A4.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=2sinCcosB，ccosB+bcosC=2c，则△ABC的形状是()A.等腰非直角三角形 B.直角非等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案D解析因为sinA=2sinCcosB，所以sin(B+C)=2sinCcosB，即sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB，即sinBcosC=sinCcosB，即sin(B-C)=0，所以B=C，b=c，又ccosB+bcosC=2c，所以cosB+cosB=2，所以cosB=22所以B=π4，所以C=π4，A=故△ABC为等腰直角三角形.二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是()A.若A>B，则sinA>sinBB.若a=10，c=8，C=π3，则符合条件的△ABCC.若B=π6，b=2，c=2，则△ABCD.若acosA=bcosB=c答案ACD解析A选项，在△ABC中，根据大角对大边，A>B⇒a>b，由正弦定理可得asinA=bsinB，所以sinA>sinB选项，根据正弦定理，sinA=asinCc，结合选项数据，得sinA=53C选项，由正弦定理得sinC=csinBb，结合数据，得sinC=22，因为c>b，所以C>B，故C为锐角或钝角，△D选项，由acosA=bcosB=ccosC及正弦定理得，sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，即tanA=tanB=tanC，而A，B，C∈(06.(2025·益阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，则下列结论中正确的是()A.(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=5∶6∶7B.△ABC为钝角三角形C.若a+b+c=18，则△ABC的面积为615D.若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R=16r答案BD解析因为sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，由正弦定理可得a∶b∶c=2∶3∶4，设a=2x(x>0)，b=3x，c=4x，则(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=5x∶7x∶6x=5∶7∶6，故A错误；由题意可知，C为最大角，因为cosC=a2+b2−c22ab=若a+b+c=18，则a=4，b=6，c=8，又cosC=-14，所以sinC=1−cos2C=154，所以△ABC的面积S△ABC=12absinC=12×4×6由正弦定理得，2R=csinC=4x154=16x15，即R=8x15，由面积公式可得12(a+b+c)r=12absinC，即12×9x·r=12×2x×3x×154，所以r=15三、填空题(每小题5分，共10分)7.(2025·马鞍山模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=1，cosC=-13，则边AB上的高为.答案6解析设边AB上的高为h，由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcosC=32+12-2×3×1×−13=12，即c=2又cosC=-13，则C∈π则sinC=22所以S△ABC=12absinC=12即12×3×1×223=12×23h，解得8.(2025·武威模拟)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为3(a2+b2−c2)43，答案4解析∵S△ABC=12absinC由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC，结合S△ABC=3(a得12absinC=32abcos∴sinC=3cosC，∵C∈(0，π)，∴cosC≠0，∴tanC=3，∴C=π3由正弦定理asinA=csinC，得a=四、解答题(共27分)9.(13分)(2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2-c2=2ab.(1)求B；(6分)(2)若△ABC的面积为3+3，求c.(7分)解(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2abcosC，因为a2+b2-c2=2ab，所以cosC=22因为C∈(0，π)，所以sinC>0，从而sinC=1−cos2C=1−又因为sinC=2cosB，即cosB=12又B∈(0，π)，所以B=π3(2)由(1)可得B=π3，cosC=22，C∈(0，从而C=π4，sinA=sin(B+C)=sin=32×22+12×2方法一由正弦定理有bsinπ3从而b=32·2c=62由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为S△ABC=12bc·sin=12·62c·c·6+24由已知△ABC的面积为3+3，可得3+38c