2026版步步高大一轮数学江苏基础第四章§4.8解三角形（含答案或解析）

§4.8解三角形课标要求1.掌握三角形中角平分线、中线、高线等问题.2.能利用解三角形的方法解决平面几何的有关问题及判断三角形的存在问题.题型一三角形中角平分线、中线、高线例1在△ABC中，AB＝2，AC＝4，角A为钝角，△ABC的面积为23.(1)若D是BC的中点，求AD的长度；(2)若E是边BC上一点，AE为△ABC的角平分线，求AE的长度.思维升华三角形中线、角平分线解题策略(1)若AD是△ABC边BC上的中线，一般利用向量解决问题，即AD＝1(2)若AD是△ABC中角A的平分线，则S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，ABAC跟踪训练1(多选)已知△ABC中，AB＝1，AC＝4，BC＝13，D在BC上，AD为∠BAC的平分线，E为AC的中点，则()A.BC边上的高线长为2B.AD＝2C.BD＝13D.BE＝3题型二与多边形有关的问题例2(2024·烟台模拟)在平面四边形ABCD中，∠ABC＝π3，∠ADC＝π2，BC(1)若△ABC的面积为33，求AC；(2)若AD＝33，∠ACB＝∠ACD＋π3，求tan∠ACD思维升华在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可.若研究最值，常使用函数思想.跟踪训练2如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝23，AD＝4.(1)求cos∠DBC的值；(2)求AC的长度.题型三三角形中的存在性问题例3在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.思维升华(1)先仔细审题，已确定的条件有哪些，供选择的条件有哪些，设问是什么.(2)将已确定的条件和设问关联，结合有关的概念、公式、定理等进行思考，采用多种方式进行推理，确定所要选择的条件具备哪些性质.(3)观察供选择的条件有哪些，判断条件选择后是否有解题思路，进而确定所选择的条件.跟踪训练3(2025·北京模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，atanB＝2bsinA.(1)求B的大小；(2)若a＝8，再从下列两个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求△ABC的面积.条件①：b＝7；条件②：cosA＝－23

答案精析例1解(1)∵AB＝2，AC＝4，△ABC的面积为23，∴S△ABC＝12AB·AC·sin∠BAC＝12×2×4×sin∠BAC＝2∴sin∠BAC＝32又∠BAC为钝角，∴∠BAC＝2π3∵D是BC的中点，∴AD＝∴AD2＝1∴|AD|2＝4＋16＋2AB·∴|AD|＝3，即AD＝3.(2)∵AE为△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE＝12∠BAC＝π∵S△ABC＝S△ABE＋S△ACE，∴12AB·AE·sinπ3＋12AC·AE·即12×2AE×32＋12×4AE∴AE＝43跟踪训练1ACD[在△ABC中，由余弦定理cos∠BAC＝A＝1＋16−132∴∠BAC＝60°，设BC边上的高为h，则S△ABC＝12AB·AC·sin60°＝12·BC·h，解得h＝239又S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，故12AB·AD·sin30°＋12AC·AD·sin30°＝12AB·AC·sin60°，解得AD＝4∵AD平分∠BAC，由角平分线定理知ABAC＝BDDC，∴BDDC＝14，∴BD＝14∵E为AC的中点，∴AE＝2，在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos∠BAC＝1＋4－2×1×2×12＝3，∴BE＝3，故D正确.例2解(1)在△ABC中，BC＝4，∠ABC＝π3∴S△ABC＝12AB·BC·sin∠ABC＝33解得AB＝3在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝13，∴AC＝13.(2)设∠ACD＝α，则∠ACB＝∠ACD＋π3＝α＋π在Rt△ACD中，AD＝33，易知AC＝ADsin在△ABC中，∠BAC＝π－∠ACB－∠ABC＝π3－α由正弦定理得BCsin∠即4sin∴2sinα＝3sinπ＝332cosα－32sin可得tanα＝33即tan∠ACD＝33跟踪训练2解(1)在△ABD中，由勾股定理得BD＝AB2＋sin∠ABD＝ADBDcos∠ABD＝ABBDcos∠DBC＝cos(60°－∠ABD)＝cos60°cos∠ABD＋sin60°sin∠ABD＝12×217＋(2)因为∠DCB＝90°，所以BC＝BD·cos∠DBC＝33，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝12＋27－2×23×33×12＝21所以AC的长度为21.例3解(1)因为2sinC＝3sinA，所以2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，cosC＝a2＋b2−c22ab故S△ABC＝12absinC＝12×4×5×(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cosC＝a＝a2−2解得0<a<3，由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，因为a∈N*，故a＝2.跟踪训练3解(1)由atanB＝2bsinA，得asinB＝2bsinAcosB，在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB＝2sinAsinBcosB，因为sinA≠0，sinB≠0，所以cosB＝12又0<B<π，所以B＝π3(2)选条件①：b＝7.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即72＝82＋c2－16c·cosπ3整理得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5，当c＝3时，△ABC的面积S△ABC＝12acsin＝12×8×3×sinπ3＝6当c＝5时，△ABC的面积S△ABC＝12acsin＝12×8×5×sinπ3＝10不可选条件②，理由如下：若cosA＝－23，故A则sinA＝1−−则b＝asinb2＝4325>a2，即b>a其与A为钝角矛盾，故不存在这样的△ABC.

4.8解三角形课标要求1.掌握三角形中角平分线、中线、高线等问题.2.能利用解三角形的方法解决平面几何的有关问题及判断三角形的存在问题.题型一三角形中角平分线、中线、高线例1在△ABC中，AB=2，AC=4，角A为钝角，△ABC的面积为23.(1)若D是BC的中点，求AD的长度；(2)若E是边BC上一点，AE为△ABC的角平分线，求AE的长度.解(1)∵AB=2，AC=4，△ABC的面积为23，∴S△ABC=12AB·AC·sin∠BAC=12×2×4×sin∠BAC=23，∴sin∠BAC=又∠BAC为钝角，∴∠BAC=2π3∵D是BC的中点，∴AD=12(AB∴AD2=14(AB+∴|AD|2=4+16+2AB·∴|AD|=3，即AD=3.(2)∵AE为△ABC的角平分线，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=π∵S△ABC=S△ABE+S△ACE，∴12AB·AE·sinπ3+12AC·AE·sinπ即12×2AE×32+12×4AE×3∴AE=43思维升华三角形中线、角平分线解题策略(1)若AD是△ABC边BC上的中线，一般利用向量解决问题，即AD=12(AB+(2)若AD是△ABC中角A的平分线，则S△ABD+S△ACD=S△ABC，ABAC=BD跟踪训练1(多选)已知△ABC中，AB=1，AC=4，BC=13，D在BC上，AD为∠BAC的平分线，E为AC的中点，则()A.BC边上的高线长为2B.AD=2C.BD=13D.BE=3答案ACD解析在△ABC中，由余弦定理cos∠BAC=AB2+AC∴∠BAC=60°，设BC边上的高为h，则S△ABC=12AB·AC·sin60°=12·BC·h，解得h=239又S△ABD+S△ACD=S△ABC，故12AB·AD·sin30°+12AC·AD·sin30°=12AB·AC·sin60°，解得AD=4∵AD平分∠BAC，由角平分线定理知ABAC=BDDC，∴BDDC=14，∴BD=14DC=15∵E为AC的中点，∴AE=2，在△ABE中，由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos∠BAC=1+4-2×1×2×12=3，∴BE=3，故D正确题型二与多边形有关的问题例2(2024·烟台模拟)在平面四边形ABCD中，∠ABC=π3，∠ADC=π2，(1)若△ABC的面积为33，求AC；(2)若AD=33，∠ACB=∠ACD+π3，求tan∠ACD解(1)在△ABC中，BC=4，∠ABC=π3∴S△ABC=12AB·BC·sin∠ABC=33解得AB=3，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=13，∴AC=13.(2)设∠ACD=α，则∠ACB=∠ACD+π3=α+π在Rt△ACD中，AD=33，易知AC=ADsinα=在△ABC中，∠BAC=π-∠ACB-∠ABC=π3-α由正弦定理得BCsin∠BAC=即4sinπ3∴2sinα=3sinπ3−α=332cosα-可得tanα=337，即tan∠ACD=思维升华在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可.若研究最值，常使用函数思想.跟踪训练2如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，∠ABC=60°，AB=23，AD=4.(1)求cos∠DBC的值；(2)求AC的长度.解(1)在△ABD中，由勾股定理得BD=AB2+AD2=27，sin∠cos∠ABD=ABBD=21cos∠DBC=cos(60°-∠ABD)=cos60°cos∠ABD+sin60°sin∠ABD=12×217+32×2(2)因为∠DCB=90°，所以BC=BD·cos∠DBC=33，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=12+27-2×23×33×12=21所以AC的长度为21.题型三三角形中的存在性问题例3在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b=a+1，c=a+2.(1)若2sinC=3sinA，求△ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解(1)因为2sinC=3sinA，所以2c=2(a+2)=3a，则a=4，故b=5，c=6，cosC=a2+b2−c22ab=18，所以故S△ABC=12absinC=12×4×5×37(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c解得0<a<3，由三角形三边关系可得a+a+1>a+2，可得a>1，因为a∈N*，故a=2.思维升华(1)先仔细审题，已确定的条件有哪些，供选择的条件有哪些，设问是什么.(2)将已确定的条件和设问关联，结合有关的概念、公式、定理等进行思考，采用多种方式进行推理，确定所要选择的条件具备哪些性质.(3)观察供选择的条件有哪些，判断条件选择后是否有解题思路，进而确定所选择的条件.跟踪训练3(2025·北京模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，atanB=2bsinA.(1)求B的大小；(2)若a=8，再从下列两个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求△ABC的面积.条件①：b=7；条件②：cosA=-23解(1)由atanB=2bsinA，得asinB=2bsinAcosB，在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB=2sinAsinBcosB，因为sinA≠0，sinB≠0，所以cosB=12又0<B<π，所以B=π3(2)选条件①：b=7.在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，即72=82+c2-16c·cosπ3整理得c2-8c+15=0，解得c=3或c=5，当c=3时，△ABC的面积S△ABC=12acsinB=12×8×3×sinπ3当c=5时，△ABC的面积S△ABC=12acsinB=12×8×5×sinπ3不可选条件②，理由如下：若cosA=-23，故A则sinA=1−−23则b=asinBsinA=8×3253=12155，b其与A为钝角矛盾，故不存在这样的△ABC.课时精练(分值：55分)1.(12分)(2024·揭阳模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosB=2c-b，点D为BC边的中点.(1)求A；(6分)(2)若b+c=6，AD=7，求△ABC的面积.(6分)解(1)由2acosB=2c-b及正弦定理得，2sinAcosB=2sinC-sinB.由A+B+C=π，得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.∴sinB=2cosAsinB.∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，则cosA=12又A∈(0，π)，∴A=π3(2)∵点D为BC边的中点，∴2AD=AB+AC，∴4AD2=AB2+AC2+2AB∴28=c2+b2+bc，即28=(b+c)2-bc，∴bc=(b+c)2-28=36-28=8，∴△ABC的面积S=12bcsin∠BAC=232.(13分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2=a2+b2+ab.(1)求角C；(6分)(2)若CD是角C的平分线，AD=27，DB=7，求CD的长.(7分)解(1)已知c2=a2+b2+ab，即a2+b2-c2=-ab，由余弦定理知cosC=a2+b又C∈(0，π)，所以C=2π3(2)因为CD是角C的平分线，AD=27，DB=7，由角平分线定理知ADBD=ACBC=2，即b=2又由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos∠ACB，即(37)2=a2+4a2+2解得a=3，所以b=6，又S△ABC=S△ACD+S△BCD，即12absin∠ACB=12b·CD·sin∠ACB2+12即18=9CD，所以CD=2.3.(15分)(2024·蚌埠模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6.(1)若A=2π3，C=π3，求sin∠(2)若CD=2，cosA=3cosC，求四边形ABCD的面积.(8分)解(1)在△ABD中，AB=AD=4，A=2π3则∠ADB=π6BD=2ADcos∠ADB=2×4×cosπ6=43在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠BDC=sin∠BDC=BCsinCBD=6sin(2)在△ABD和△BCD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=42+42-2×4×4×cosA=32-32cosA，BD2=CB2+CD2-2CB·CDcosC=62+22-2×6×2×cosC=40-24cosC，得4cosA-3cosC=-1，又cosA=3cosC，得cosA=-13，cosC=-1则sinA=223，sinC=四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=12AB·AD·sinA+12CB·CD·sin=12×4×4×223+12×6=1624.(15分)(2024·北京模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB+12b=c，