2026版步步高大一轮数学江苏基础一轮复习第三章§3.5导数与函数的最值

§3.5导数与函数的最值(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.已知函数f(x)=-x+2sinx，x∈[0，π]，则函数f(x)的最大值为()A.0 B.2-πC.3-π3 D.3-答案C解析f(x)=-x+2sinx，x∈[0，π]，∴f'(x)=-1+2cosx，令f'(x)=0，得x=π3∴fπ3=3-π又f(0)=0，f(π)=-π，∴f(x)max=fπ3=3-π2.函数f(x)=(3x-1)e2x的最小值为()A.-3e−43 B.-32e答案B解析由f(x)=(3x-1)e2x，得f'(x)=6x+1e2令f'(x)<0，得x<-16；令f'(x)>0，得x>-16，所以函数f(x)在−∞所以f(x)=(3x-1)e2x的最小值为f−16=−13.已知函数f(x)=lnx+ax在(0，1)上有最大值，则a的取值范围是()A.(0，+∞) B.(0，1)C.(-∞，-1) D.(-1，0)答案C解析因为f'(x)=1x+a，x>0所以当a≥0时，f'(x)>0恒成立，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，不存在最大值；当a<0时，令f'(x)=0，得x=-1a所以当x∈0，−1a时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈−1a，+∞时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，所以f(x所以0<-1a<1，解得a<-14.某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为()A.52海里 B.522C.32海里 D.102海里答案B解析设BM=x(0<x<100)，并设陆地上修建石油管道的单位长度费用为1，则AM=100+x2，MC=100-所以总费用为f(x)=3100+x2+100-x(0<x<100)，则f'(x)=3令f'(x)>0，则522<x即f(x)在52令f'(x)<0，则0<x<52即f(x)在0，5所以当x=522时，f(x二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f'(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A.f(a)<f(b)<f(c)B.函数f(x)在x=c处取得最大值，在x=e处取得最小值C.函数f(x)在x=c处取得极大值，在x=e处取得极小值D.函数f(x)的最小值为f(d)答案AC解析由题图可知，当x≤c时，f'(x)≥0，所以函数f(x)在(-∞，c]上单调递增，又a<b<c，所以f(a)<f(b)<f(c)，故A正确；因为f'(c)=0，f'(e)=0，且当x<c时，f'(x)>0；当c<x<e时，f'(x)<0；当x>e时，f'(x)>0.所以函数f(x)在x=c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x=e处取得极小值，但不一定是最小值，故B不正确，C正确；由题图可知，当d≤x≤e时，f'(x)≤0，所以函数f(x)在[d，e]上单调递减，从而f(d)>f(e)，故D不正确.6.(2025·莆田模拟)已知函数f(x)=(x2-3x+1)ex，则下列说法中正确的是()A.f(x)在R上有两个极值点B.f(x)无最大值、无最小值C.f(x)有最小值、无最大值D.函数f(x)在R上有三个零点答案AC解析∵f(x)的定义域为R，f'(x)=(x2-x-2)ex=(x-2)(x+1)ex，∴当x∈(-∞，-1)∪(2，+∞)时，f'(x)>0；当x∈(-1，2)时，f'(x)<0，∴f(x)在(-∞，-1)，(2，+∞)上单调递增，在(-1，2)上单调递减，∴f(x)的极大值为f(-1)=5e，极小值为f(2)=-e2当x<0时，x2-3x+1>0，ex>0，∴f(x)>0在(-∞，0)上恒成立，可作出f(x)的图象如图所示，对于A，f(x)的极大值点为-1，极小值点为2，A正确；对于B，C，f(-1)不是f(x)的最大值，f(2)是f(x)的最小值，B错误，C正确；对于D，由图象可知，f(x)在R上有且仅有两个零点，D错误.三、填空题(每小题5分，共10分)7.已知函数y=(x+a)ex的最小值为-1，则实数a=.

答案-1解析y'=(x+a+1)ex，当x∈(-∞，-a-1)时，y'<0，函数单调递减，当x∈(-a-1，+∞)时，y'>0，函数单调递增，故当x=-a-1时，函数取得极小值，也是最小值，为-e-a-1，故-e-a-1=-1，所以a=-1.8.(2024·雅安模拟)已知f(x)=lnx，g(x)=x，若f(m)=g(n)，则m-n的最小值为.

答案1解析由题设f(m)=g(n)=t，则lnm=n=t，得m=et，n=t，则m-n=et-t，设h(x)=ex-x，h'(x)=ex-1，令h'(x)=0，得x=0，当x∈(-∞，0)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，所以当x=0时，函数取得最小值，h(0)=1，所以m-n的最小值为1.四、解答题(共28分)9.(13分)小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，当年产量为x万件时，需另投入流动成本W(x)万元.已知在年产量不足4万件时，W(x)=13x3+2x，在年产量不小于4万件时，W(x)=7x+64x-27.每件产品售价6元.(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式；(年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本)(6分)(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？(7分)解(1)由题意，当0<x<4时，P(x)=6x-2-13x3+2x=-13当x≥4时，P(x)=6x-2-7x+64x−27所以P(x)=−(2)当0<x<4时，P'(x)=-x2+4，令P'(x)=0，解得x=2.易得P(x)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，所以当0<x<4时，P(x)max=P(2)=103当x≥4时，P(x)=25-x+64x≤25-2x·64x=9，当且仅当x=64综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，最大年利润是9万元.10.(15分)设函数f(x)=x2+ax-lnx，a∈R.(1)若函数f(x)在[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围；(6分)(2)令g(x)=f(x)-x2，是否存在实数a，使得当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.(9分)解(1)∵f'(x)=2x∴当x∈[1，2]时，f'(x)≤0恒成立，即2x2+ax-1≤0恒成立，即a≤-2x+1x又函数y=-2x+1x在[1，2∴当x=2时，−2x+1故a的取值范围是−∞(2)∵f(x)=x2+ax-lnx，a∈R，∴g(x)=f(x)-x2=ax-lnx，x∈(0，e]，∴g'(x)=a-1x=ax−1x(0<x当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)min=g(e)=ae-1=3，解得a=4e当0<1a<e，x∈0，1a时，g'(x)<0，g(x)在0，1a上单调递减，当x∈1a，e时，g'(x)>0∴g(x)min=g1a=1+lna=3，解得a=e2当1a≥e，x∈(0，e]时，g'(x)≤0，g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)min=g(e)=ae-1=3解得a=4e综上，存在实数a=e2，使得当x∈(0，e]时，g(x)的最小值是3.每小题5分，共10分11.已知函数f(x)=x3-3x，x∈(a，a+4)存在最小值，则实数a的取值范围为()A.[-2，1) B.(-2，1)C.[-3，1) D.(-3，1)答案A解析∵f(x)=x3-3x，∴f'(x)=3x2-3，令f'(x)=3x2-3=0，得x=±1，且当x<-1时，f'(x)>0；当-1<x<1时，f'(x)<0，当x>1时，f'(x)>0，∴f(x)在(-∞，-1)上单调递增，在(-1，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，又f(-1)=2，f(1)=-2，令f(x)=x3-3x=-2，解得x=-2或x=1，∴其图象如图所示，由图可知，当x∈(a，a+4)时，f(x)存在最小值，∴-2≤a<1<a+4，解得-2≤a<1，即实数a的取值范围为[-2，1).12.已知函数f(x)=lnx+x+1-xex，则函数f(x)的最大值为.

答案0解析f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=1x+1-(x+1)ex=(1+设g(x)=1-xex(x>0)，则g'(x)=-(x+1)ex<0，故函数g(x)在区间(0，+∞)上单调递减，由于g(0)=1>0，g(1)=1-e<0，故存在x0∈(0，1)，使g(x0)=0，即g(x0)=1-x0ex0=0，即ex故当x∈(0，x0)时，g(x)>0，则f'(x)>0，当x∈(x0，+∞)时，g(x)<0，则f'(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0，x0)，单调递减区间为(x0，+∞).即函数f(x)的最大值为f(x0)=lnx0+x0+1-x0ex0=ln1ex0+x0+1-x

答案精析1.C[f(x)＝－x＋2sinx，x∈[0，π]，∴f'(x)＝－1＋2cosx，令f'(x)＝0，得x＝π3∴fπ3又f(0)＝0，f(π)＝－π，∴f(x)max＝fπ3＝2.B[由f(x)＝(3x－1)e2x，得f'(x)＝6x＋1e2令f'(x)<0，得x<－16令f'(x)>0，得x>－16，所以函数f(x)在−∞，−所以f(x)＝(3x－1)e2x的最小值为f−＝－32e3.C[因为f'(x)＝1x＋a，x>0所以当a≥0时，f'(x)>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不存在最大值；当a<0时，令f'(x)＝0，得x＝－1a所以当x∈0，−1a时，f'(x)>0，函数f(当x∈−1f'(x)<0，函数f(x)单调递减，所以f(x)max＝f−1所以0<－1a<1，解得a<－1.4.B[设BM＝x(0<x<100)，并设陆地上修建石油管道的单位长度费用为1，则AM＝100＋x2，MC＝100－所以总费用为f(x)＝3100＋x2＋100－x(0<x则f'(x)＝3x100＋令f'(x)>0，则522<x即f(x)在52令f'(x)<0，则0<x<52即f(x)在0，5所以当x＝52f(x)取得最小值.]5.AC[由题图可知，当x≤c时，f'(x)≥0，所以函数f(x)在(－∞，c]上单调递增，又a<b<c，所以f(a)<f(b)<f(c)，故A正确；因为f'(c)＝0，f'(e)＝0，且当x<c时，f'(x)>0；当c<x<e时，f'(x)<0；当x>e时，f'(x)>0.所以函数f(x)在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，但不一定是最小值，故B不正确，C正确；由题图可知，当d≤x≤e时，f'(x)≤0，所以函数f(x)在[d，e]上单调递减，从而f(d)>f(e)，故D不正确.]6.AC[∵f(x)的定义域为R，f'(x)＝(x2－x－2)ex＝(x－2)(x＋1)ex，∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f'(x)>0；当x∈(－1，2)时，f'(x)<0，∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减，∴f(x)的极大值为f(－1)＝5e，极小值为f(2)＝－e2当x<0时，x2－3x＋1>0，ex>0，∴f(x)>0在(－∞，0)上恒成立，可作出f(x)的图象如图所示，对于A，f(x)的极大值点为－1，极小值点为2，A正确；对于B，C，f(－1)不是f(x)的最大值，f(2)是f(x)的最小值，B错误，C正确；对于D，由图象可知，f(x)在R上有且仅有两个零点，D错误.]7.－1解析y'＝(x＋a＋1)ex，当x∈(－∞，－a－1)时，y'<0，函数单调递减，当x∈(－a－1，＋∞)时，y'>0，函数单调递增，故当x＝－a－1时，函数取得极小值，也是最小值，为－e－a－1，故－e－a－1＝－1，所以a＝－1.8.1解析由题设f(m)＝g(n)＝t，则lnm＝n＝t，得m＝et，n＝t，则m－n＝et－t，设h(x)＝ex－x，h'(x)＝ex－1，令h'(x)＝0，得x＝0，当x∈(－∞，0)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，所以当x＝0时，函数取得最小值，h(0)＝1，所以m－n的最小值为1.9.解(1)由题意，当0<x<4时，P(x)＝6x－2－1＝－13x3＋4x－2当x≥4时，P(x)＝6x－2－7＝25－x－64x所以P(x)＝−(2)当0<x<4时，P'(x)＝－x2＋4，令P'(x)＝0，解得x＝2.易得P(x)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，所以当0<x<4时，P(x)max＝P(2)＝103当x≥4时，P(x)＝25－x≤25－2x·64x当且仅当x＝64x即x＝8时取等号.综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，最大年利润是9万元.10.解(1)∵f'(x)＝2x∴当x∈[1，2]时，f'(x)≤0恒成立，即2x2＋ax－1≤0恒成立，即a≤－2x＋1x又函数y＝－2x＋1x在[1，2∴当x＝2时，−2x＋1故a的取值范围是−∞(2)∵f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R，∴g(x)＝f(x)－x2＝ax－lnx，x∈(0，e]，∴g'(x)＝a－1x＝ax−1x(当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，解得a＝4e当0<1a<e，x∈0，g'(x)<0，g(x)在0，1当x∈1a，e时，g'(x)g(x)在1a∴g(x)min＝g1a＝1＋lna＝3，解得