2024高中数学第一章计数原理1.3组合精练含解析北师大版选修2-3

PAGE5-§3组合A组1.下列问题是组合问题有()(1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的有多少个?(2)某铁路途上有5个车站,则这条线上有多少种票价?(3)3人去干5种不同的工作,每人干1种,有多少种分工方法?(4)把3本相同的书分给5个学生,每人最多得1本,有几种安排方法?A.(1)(2)(4) B.(1)(3)(4) C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(3)解析:(1)因为本问题与元素依次无关,所以是组合问题.(2)虽然甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的,但票价与依次无关,甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价,所以是组合问题.(3)因为分工方法是从5种不同的工作中选出3种,按肯定依次分给3个人去干,所以是排列问题.(4)因为3本书是相同的,无论把3本书分给哪三人,都不需考虑他们的依次,所以是组合问题.答案:A2.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建马路的条数为()A.4 B.8 C.28 D.64解析:由于“村村通”马路的修建,是组合问题.故共须要建=28条马路.答案:C3.已知,则n等于()A.14 B.12 C.13 D.15解析:∵,∴7+8=n+1,∴n=14.答案:A4.(2024·山东胶州高二期中)在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是()A. B. C. D.解析:从100件产品中抽取3件的取法数为,其中全为正品的取法数为,∴共有不同取法为.故选C.答案:C5.某食堂每天中午打算4种不同的荤菜,7种不同的素菜,用餐者可以按下述方法搭配午餐:(1)任选两种荤菜、两种素菜和白米饭;(2)任选一种荤菜、两种素菜和蛋炒饭.那么每天不同午餐的搭配方法总数是()A.22 B.56 C.210 D.420解析:=210.答案:C6.从正方体的6个面中选取3个面,其中2个面不相邻的选法共有种.

解析:从6个面中任选3个面,有=20种选法,3个面相邻的选法共8种,故符合条件的选法共有20-8=12(种).答案:127.从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A,从这组学生中选出2人担当正、副组长的选法种数为B,若,则这组学生共有人.

解析:设有学生n人,则,解得n=15或n=-10(舍去).答案:158.若对随意的x∈A,则∈A,就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合M=的全部非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为.

解析:具有伙伴关系的元素组共4组,所以集合M的全部非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组,又集合中的元素是无序的,因此,所求集合的个数为=15.答案:159.计算:(1);(2);(3).解(1)原式=×1==56+4950=5006.(2)原式=2()=2()=2×=32.(3)原式=·n=·n=(n+1)n=n2+n.10.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形?解方法一:我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准.第一类:共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点,共有=48(个)不同的三角形;其次类:共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有=112(个)不同的三角形;第三类:共线的4个点中没有点作为三角形的顶点,共有=56(个)不同的三角形.由分类加法计数原理,不同的三角形共有48+112+56=216(个).方法二:间接法.=220-4=216(个).B组1.圆周上有12个不同的点,过其中随意两点作弦,这些弦在圆内的交点的个数最多是()A. B. C. D.解析:圆周上每4个点组成一个四边形,其对角线在圆内有一个交点.∴交点最多为个.故选D.答案:D2.某地政府召集5家企业的负责人开会,已知甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能状况的种数为()A.14 B.16 C.20 D.48解析:可分为两种状况:(1)甲企业选中1人,有=12种选法;(2)甲企业无人选中,有=4种选法,所以由分类计数原理可知共有12+4=16种可能.答案:B3.(2024·湖南常德一中月考)有8张奖券,其中一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分给4个人,每人2张,不同的获奖状况有种(用数字作答).

解析:因为8张奖券中一、二、三等奖各1张,其余5张无奖,所以只需将有奖的三张分给四人,再将无奖奖券补够每人都有两张奖券即可,三张有奖奖券分给四人有两种状况:一是三个人每人一张,另一个人无,共=24种分法;二是一个人一张,一个人两张,另两个人无,共=36种分法,共有24+36=60种不同的获奖状况,故答案为60.答案:604.导学号43944011从1到9的9个数字中取3个偶数、4个奇数,试问:(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?(2)上述七位数中,3个偶数排在一起的有几个?(3)(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个?解(1)分三步完成:第一步,在4个偶数中取3个,有种状况;其次步,在5个奇数中取4个,有种状况;第三步,3个偶数、4个奇数进行排列,有种状况.所以符合题意的七位数有=100800(个).(2)上述七位数中,3个偶数排在一起的有=14400(个).(3)上述七位数中,3个偶数排在一起,4个奇数也排在一起的有=5760(个).5.导学号43944012某次足球赛共12支球队参与,分三个阶段进行:(1)小组赛:经抽签分成甲、乙两组,每组6队进行单循环竞赛,以积分及净剩球数取前两名;(2)半决赛:甲组第一名与乙组其次名,乙组第一名与甲组其次名作主客场交叉淘汰赛(每两队客场各赛一场)决出胜者;(3)决赛:两个胜队参与决赛一场,决出输赢.问全部赛程共需竞赛多少场?解(1)小组赛中每组6队进行单循环竞赛,就是6支球队的任两支球队都要竞赛一次,所需竞赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数,所以小组赛共要竞赛2=2×=3