2025年山东省济南市莱芜区中考数学三模试卷

第1页（共1页）2025年山东省济南市莱芜区中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（4分）的相反数是（）A． B．﹣ C．± D．2．（4分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形（）A． B． C． D．3．（4分）我国新能源汽车产销量逐年增加，预测2025年我国新能源汽车销量将达16500000辆．将数据16500000用科学记数法表示为（）A．1.65×105 B．1.65×106 C．1.65×107 D．1.65×1084．（4分）若从一个正n边形的一个顶点出发可以画2条对角线，则n是（）A．五 B．六 C．七 D．八5．（4分）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，则∠2＝（）A．80° B．70° C．60° D．50°6．（4分）下列代数式运算正确的是（）A． B．（﹣2b2）3＝﹣6b6 C． D．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b37．（4分）已知点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y18．（4分）2025年春节档热映多部精彩电影，小明，小亮分别从如图所示的四部影片中随机选择一部观看，小亮选择的影片相同的概率为（）A． B． C． D．9．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，分别以点A、C为圆心，以大于，两弧交于点D、E，作直线DE分别交AC、BC于点F、G，GC长为半径作弧，交BC于点H，AH，下面结论错误的是（）A．AH＝2GF B．∠C＝2∠BAH C．BG2＝BC•CG D．10．（4分）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，它的相关函数为．已知点M，连结MN，若线段MN与二次函数y＝x2﹣4x+n（n＞0）的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A．1≤n＜5 B．1＜n＜5 C．1＜n≤5 D．1≤n≤5二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，请直接填写答案．）11．（4分）因式分解：m2﹣3m＝．12．（4分）现有下列长度的四根木棒：3，6，9，11，从中任取三根．13．（4分）一把折扇展开后如图所示，其纸面部分近似的看作是两个扇形围成的，其中．∠AOD＝150°，AB＝2，则折扇纸面部分的面积是．14．（4分）虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程，如图1，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高16cm1（单位：cm），乙容器中的液面高为y2（单位：cm），小明绘制了y1，y2关于时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示，x的值为．15．（4分）正方形ABCD中，AB＝6，O是BC边的中点，OE＝2，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF．三、解答题（本大题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（7分）计算：．17．（7分）解不等式组：，并求它的所有整数解．18．（7分）如图，在▱ABCD中，点E、F在BD上，求证：∠AED＝∠CFB．19．（8分）汽车尾气对环境的污染一直是一大难题，近几年新能源汽车特别是电车为环保特性、能源节约、低噪声作出了巨大贡献，为满足新能源汽车的充电需求，某校数学实践小组开展了测量该小区充电站长度的实践活动，在实地测量后撰写了活动报告测量充电站的长度测量工具角度测量仪、卷尺等活动形式以小组为单位测量示意图测量步骤及结果如图：步骤如下：①先测出∠NKM＝53°；②再测量最后一个停车位的长度RL＝6.2m；③后测量TM＝1.8m．…如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位，GH⊥CD，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．根据以上信息回答下列问题：（1）求充电站的宽MN的长；（2）该充电站有30个停车位，求QM的长．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）20．（8分）为深入学习2025年全国两会精神，某校开展了以“学习两会精神，永远跟党走，发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如图的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“80≤x＜90”这组的数据如下：83，84，84，86，87，87，88，89．竞赛成绩分组统计表组别竞赛成绩组频数160≤x＜708270≤x＜80380≤x＜90490≤x＜100a请根据以上信息，解答下列问题：（1）a＝，m＝；（2）扇形统计图中3组的圆心角度数是度；（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是分；（4）若学生竞赛成绩达到85分以上（含85分）为优秀，请你估计全校2000名学生中优秀学生的人数．21．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA至点D，过点E作⊙O的切线交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝EF；（2）若OA＝AB＝5，BE＝13，求BF的长．22．（10分）为增强学生的科技兴趣与实践能力，某中学计划采购一批科技产品，包括无人机和遥控车．已知某品牌无人机的单价比遥控车的单价高出40元．（1）求无人机和遥控车的单价；（2）学校在采购时遇到商家“科技节”促销：无人机享受七五折优惠．若计划购买无人机和遥控车共190个，且无人机的数量不少于遥控车数量的，请问应如何购买23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx﹣2的图象与反比例函数的图象交于点A（1，﹣4），B（﹣2，n）（1）求反比例函数的关系式和一次函数的关系式；（2）如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，是否存在点M，N，使得四边形BCMN是矩形？若存在；若不存在，请说明理由．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点M为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点M在直线l右侧，且点M的纵坐标大于﹣3，过点M作MN⊥CM交直线l于点N，若tan∠MCN＝（3）如图2，连接AC，BC，C两点之间，过点M作AC的平行线交BC于点P25．（12分）【结论探究】（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，连接AD，连接EC．①求证：BD＝CE；②如图2，若M为DE的中点，延长CM至点F，连接BF，试判断△BDF的形状；【拓展应用】（2）如图3，在等边△ABC中，D是△ABC内一点，取AE的中点M、连接DM，CD．若，∠DBC＝30°，求DM的长．

2025年山东省济南市莱芜区中考数学三模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BCC．ACDACDA一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（4分）的相反数是（）A． B．﹣ C．± D．【解答】解：的相反数是﹣，故选：B．2．（4分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形（）A． B． C． D．【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，故此选项不合题意；C．既是中心对称图形，符合题意；D．是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：C．3．（4分）我国新能源汽车产销量逐年增加，预测2025年我国新能源汽车销量将达16500000辆．将数据16500000用科学记数法表示为（）A．1.65×105 B．1.65×106 C．1.65×107 D．1.65×108【解答】解：16500000＝1.65×107．故选：C．4．（4分）若从一个正n边形的一个顶点出发可以画2条对角线，则n是（）A．五 B．六 C．七 D．八【解答】解：∵从一个正n边形的一个顶点出发可以画2条对角线，∴n﹣3＝2，∴n＝5．故选：A．5．（4分）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，则∠2＝（）A．80° B．70° C．60° D．50°【解答】解：如图，∵直角三角板的直角顶点在直线a上，∠1＝30°，∴∠3＝90°﹣30°＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝60°，故选：C．6．（4分）下列代数式运算正确的是（）A． B．（﹣2b2）3＝﹣6b6 C． D．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3【解答】解：A、，故此选项不符合题意；B、（﹣8b2）3＝﹣3b6，故此选项不符合题意；C、5与，故此选项不符合题意；D、（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a6﹣b3，故此选项符合题意；故选：D．7．（4分）已知点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1【解答】解：∵在反比例函数中，k＜0，∴此函数图象在二、四象限，∵﹣3＜﹣1＜0，∴点A（﹣8，y1），B（﹣1，y5）在第二象限，∴y2＞y1＞6，∵2＞0，∴C（3，y3）点在第四象限，∴y3＜3，∴y1，y2，y7的大小关系为y3＜y1＜y8．故选：A．8．（4分）2025年春节档热映多部精彩电影，小明，小亮分别从如图所示的四部影片中随机选择一部观看，小亮选择的影片相同的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：用A、B、C、D分别表示四部影片，画树状图为：共有16种等可能的结果，其中小明，所以小明，小亮选择的影片相同的概率＝＝．故选：C．9．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，分别以点A、C为圆心，以大于，两弧交于点D、E，作直线DE分别交AC、BC于点F、G，GC长为半径作弧，交BC于点H，AH，下面结论错误的是（）A．AH＝2GF B．∠C＝2∠BAH C．BG2＝BC•CG D．【解答】解：由作图可知DE是AC的垂直平分线，∴点F是AC的中点，以G为圆心，GC长为半径作弧，连结AG，∴CG＝HG，∴点G是CH的中点，∴GF是△CAH的中位线，∴AH＝2GF，故A选项正确；由作图可知DE是AC的垂直平分线，∴GF⊥AC，∴∠CFG＝90°，∵GF是△CAH的中位线，∴GF∥AH，∴∠CFG＝∠CAH＝90°，∵∠BAC＝108°，∴∠BAH＝∠BAC﹣∠CAH＝108°﹣90°＝18°，∵在△ABC中，∠BAC＝108°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣108°﹣36°＝36°，∴∠C＝2∠BAH，故B选项正确；∵DE是AC的垂直平分线，∴GC＝AG，∴∠CAG＝∠C＝36°，∴∠C＝∠C，∠CAG＝∠B，∴△GCA∽△ACB，∴，∴AC8＝BC•CG，∵∠BAG＝∠BAC﹣∠CAG＝108°﹣36°，∠AGB＝∠CAG+∠C＝36°+36°＝72°，∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝BA，∵AB＝AC，∴BG＝AC，∴BG2＝BC•CG，故C选项正确；∵BG2＝BC•CG，设BC＝a，CG＝b，∴（a﹣b）4＝ab，整理得：a2﹣3ab+b6＝0，∴或（不符合题意，∴，故D选项错误．故选：D．10．（4分）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，它的相关函数为．已知点M，连结MN，若线段MN与二次函数y＝x2﹣4x+n（n＞0）的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A．1≤n＜5 B．1＜n＜5 C．1＜n≤5 D．1≤n≤5【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x+n（n＞4）的相关函数为y＝，对称轴为直线x＝2，大致图象如下：当0＜n＜5时，图象与MN有一个交点，如图1所示，图象与MN恰有两个交点，当如图2所示时，y＝x3﹣4x+n（x≥0）的顶点在MN上时，图象与x轴有一个交点，此时顶点坐标为（5，1）2﹣4x+n中，得n＝5，综上，n的取值范围为1≤n＜6，故选：A．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，请直接填写答案．）11．（4分）因式分解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣6）．故答案为：m（m﹣3）．12．（4分）现有下列长度的四根木棒：3，6，9，11，从中任取三根．【解答】解：从3，6，5，11中任取三根，6，9；2，6，11；3，6；6，9，11，6，11和6，9，所以从中任取三根，可以组成三角形的概率＝＝．故答案为：．13．（4分）一把折扇展开后如图所示，其纸面部分近似的看作是两个扇形围成的，其中．∠AOD＝150°，AB＝2，则折扇纸面部分的面积是．【解答】解：∵OB＝1，AB＝2，∴OA＝AB+OB＝5，∴两面贴纸部分的面积的面积S＝﹣＝π，故答案为：π．14．（4分）虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程，如图1，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高16cm1（单位：cm），乙容器中的液面高为y2（单位：cm），小明绘制了y1，y2关于时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示，x的值为．【解答】解：当x＝0时，y1＝a，∵初始甲容器液面高16cm，∴a＝16，又∵x＝6时，y＝0，设y1＝kx+b，，解得，∵甲容器向乙容器倒液体时，y1+y2始终为16，∴y6＝16﹣y1＝16﹣（﹣16x+16）＝16x，∴甲比乙低2cm时，即y5﹣y2＝﹣2，∴（﹣16x+16）﹣16x＝﹣5，解得：x＝，故答案为：．15．（4分）正方形ABCD中，AB＝6，O是BC边的中点，OE＝2，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF．【解答】解：如图，连接DO，连接OF，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，在△EDO与FDM中，，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝6，∴OC＝7，∴OD＝＝＝3，∴OM＝＝＝3，∵OF≤MF+OM，∴OF≤6+2，∴线段OF长的最小值为3+8，故答案为：3+2．三、解答题（本大题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（7分）计算：．【解答】解：＝＝＝．17．（7分）解不等式组：，并求它的所有整数解．【解答】解：解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣5≤x＜3，不等式组的整数解为﹣2、﹣7、0、1、7．18．（7分）如图，在▱ABCD中，点E、F在BD上，求证：∠AED＝∠CFB．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠AED＝∠CFB．19．（8分）汽车尾气对环境的污染一直是一大难题，近几年新能源汽车特别是电车为环保特性、能源节约、低噪声作出了巨大贡献，为满足新能源汽车的充电需求，某校数学实践小组开展了测量该小区充电站长度的实践活动，在实地测量后撰写了活动报告测量充电站的长度测量工具角度测量仪、卷尺等活动形式以小组为单位测量示意图测量步骤及结果如图：步骤如下：①先测出∠NKM＝53°；②再测量最后一个停车位的长度RL＝6.2m；③后测量TM＝1.8m．…如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位，GH⊥CD，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．根据以上信息回答下列问题：（1）求充电站的宽MN的长；（2）该充电站有30个停车位，求QM的长．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）【解答】解：（1）∵四边形PQMN是矩形，∴∠N＝90°，∵四边形KLRT是矩形，∴RL＝KT＝6.2m，∵TM＝8.8m，∴KM＝KT+TM＝6.2+1.8＝2（m），∵在Rt△KNM中，∠NKM＝53°，∴MN＝KM×sin53°＝8×0.6＝6.4（m），答：充电站的宽MN的长约为4.4m；（2）∵四边形PQMN是矩形，∴KN∥RM，∴∠RMK＝∠NKM＝53°，∴在Rt△RTM中，，∵由题意得AB＝RL＝8.2m，∠ABQ＝∠RMT＝53°，∴在Rt△ABQ中，BQ＝AB•cos53°＝6.4×0.60＝3.72（m），∵该充电站有30个停车位，∴QM＝BQ+30RM＝2.72+30×3＝93.72（m），答：QM的长约为93.72m．20．（8分）为深入学习2025年全国两会精神，某校开展了以“学习两会精神，永远跟党走，发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如图的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“80≤x＜90”这组的数据如下：83，84，84，86，87，87，88，89．竞赛成绩分组统计表组别竞赛成绩组频数160≤x＜708270≤x＜80380≤x＜90490≤x＜100a请根据以上信息，解答下列问题：（1）a＝20，m＝40；（2）扇形统计图中3组的圆心角度数是86.4度；（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是87分；（4）若学生竞赛成绩达到85分以上（含85分）为优秀，请你估计全校2000名学生中优秀学生的人数．【解答】解：（1）n＝8÷16%＝50（人），m%＝1﹣16%﹣20%﹣24%＝40%，∴m＝40，a＝50×40%＝20，故答案为：20，40；（2）360°×24%＝86.7°，故答案为：86.4；（3）随机抽取50名学生的竞赛成绩，第25，87，∴随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是87分，故答案为：87；（4）2000×＝1120（人），答：估计全校2000名学生中优秀学生的人数为1120人．21．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA至点D，过点E作⊙O的切线交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝EF；（2）若OA＝AB＝5，BE＝13，求BF的长．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵∠BAC＝∠OAE，∴∠BAC＝∠OEA，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，∴∠OEA+∠FEB＝90°，∴∠FEB＝∠B，∴BF＝EF；（2）解：如图，连接DE，∵AB＝5，BE＝13，∴AE＝BE﹣AB＝13﹣5＝6，∵AD为⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴DE＝＝＝6，∵OE⊥EF，∠AED＝90°，∴∠OED＝∠FEB，∵OE＝OD，FE＝FB，∴△OED∽△FEB，∴＝，即＝，解得：BF＝．22．（10分）为增强学生的科技兴趣与实践能力，某中学计划采购一批科技产品，包括无人机和遥控车．已知某品牌无人机的单价比遥控车的单价高出40元．（1）求无人机和遥控车的单价；（2）学校在采购时遇到商家“科技节”促销：无人机享受七五折优惠．若计划购买无人机和遥控车共190个，且无人机的数量不少于遥控车数量的，请问应如何购买【解答】解：（1）设遥控车的单价为x元，则无人机的单价为（x+40）元，根据题意得：，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，∴x+40＝80+40＝120，答：遥控车单价为80元，无人机的单价为120元；（2）设购买无人机m个，则购买遥控车（190﹣m）个，根据题意得：（190﹣m），解得：m≥76，设总费用为W元，根据题意得：W＝120×0.75m+80（190﹣m）＝10m+15200，∵10＞4，∴W随m的增大而增大，∴当m＝76时，W有最小值，此时，100﹣m＝190﹣76＝114，答：购买无人机76个，遥控车114个．23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx﹣2的图象与反比例函数的图象交于点A（1，﹣4），B（﹣2，n）（1）求反比例函数的关系式和一次函数的关系式；（2）如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，是否存在点M，N，使得四边形BCMN是矩形？若存在；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣7得，∴一次函数的表达式为y＝﹣2x﹣2，把A（5，﹣4）代入得，∴反比例函数的表达式为；（2）过C点作CD⊥x轴，交AB于D点，设，则D（t∴，将B（﹣2，n）代入，∴B（﹣2，2），∵S△ABC＝6∴S△BCD+S△ACD＝2，∴，∴，∴t7＝﹣1，t2＝8（舍去），∴C（﹣1，4）；（3）存在，理由：设直线BC的表达式为y＝kx+b，将B（﹣3，C（﹣1，得，解得，∴y＝2x+6，当四边形BCMN是矩形时，∠BCM＝90°，∴kBC•kCM＝﹣3，∴kCM＝﹣，设直线CM的解析式为y＝﹣x+，∴当x＝0时，y＝，∴M（0，），当y＝0时，x＝7，∴M（2，0），∵把C（﹣1，4）平移到B（﹣2，∴同理N（﹣1，）或（6．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点M为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点M在直线l右侧，且点M的纵坐标大于﹣3，过点M作MN⊥CM交直线l于点N，若tan∠MCN＝（3）如图2，连接AC，BC，C两点之间，过点M作AC的平行线交BC于点P【解答】解：（1）把A（﹣1，0），7）代入y＝ax2+bx﹣3得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣3；（2）过点M作ED∥y轴，过点C作CD⊥DE于点D，如图所示：∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∵∠CMN＝∠NEM＝∠CDM＝90°，∴∠DCM+∠CMD＝∠CMD+∠NME＝90°，∴∠DCM＝∠NME，∴△CDM∽△MEN，∴，设点M的坐标为（m，m2﹣4m﹣3），在y＝x2﹣8x﹣3中，令x＝0得y＝﹣5，∴C（0，﹣3），∵y＝x3﹣2x﹣3＝（x﹣4）2﹣4，∴物线的对称轴直线为x＝3，∴DM＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）＝m2﹣3m，NE＝m﹣1，∵tan∠MCN＝，∴＝，∴，解得：m1＝（此时点M的纵坐标大于﹣3，m5＝，∴点M坐标为（，﹣）；（3）过点M作MH∥y轴交BC于点H，作PG⊥HM于点G∵OC＝OB＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵MH∥y