人教版数学八年级上册-完全平方公式课件

乘法公式14.2.2完全平方公式人教版八年级数学上册班级：xxx乘法公式14.2.2完全平方公式人教版八年级数学上册数学人教版八年级上册授课人：XXX

一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.(如图)用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你有什么发现呢？导入新知2.灵活应用完全平方公式进行计算.1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.3.体验归纳添括号法则.素养目标一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b

米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积，

并进行比较.aabb直接求：总面积=(a+b)(a+b)间接求：总面积=a2+ab+ab+b2你发现了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2知识点1完全平方公式探究新知计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1)

(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.p2+2p+1(2)

(m+2)2=(m+2)(m+2)=

.m2+4m+4(3)

(p–1)2=(p–1)(p–1)=

.p2–2p+1(4)

(m–2)2=(m–2)(m–2)=

.m2–4m+4根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？(a+b)2=

.a2+2ab+b2(a–b)2=

.a2–2ab+b2问题1：问题2：探究新知(a+b)2=

.a2+2ab+b2(a–b)2=

.a2–2ab+b2

也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”完全平方公式探究新知你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?探究新知设大正方形ABCD的面积为S.S=

=S1+S2+S3+S4=

.(a+b)2a2+b2+2abS1S2S3S4证明探究新知aabb=+++a2ababb2(a+b)2=

.a2+2ab+b2和的完全平方公式：几何解释探究新知a2−ab−b(a−b)=a2−2ab+b2.=(a−b)2a−ba−baaabb(a−b)bb(a−b)2(a–b)2=

.a2–2ab+b2差的完全平方公式：几何解释探究新知(a+b)2=a2+2ab+b2.(a–b)2=a2–2ab+b2.观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：(1)说一说积的次数和项数.(2)两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？(3)两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a，b有什么关系？它的符号与什么有关？问题4：探究新知

公式特征：公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.积为二次三项式；积中两项为两数的平方和；另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.探究新知下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x–y)2=x2–y2(3)(–x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××(x+y)2=x2+2xy+y2(x–y)2=x2–2xy+y2(–x+y)2=x2–2xy+y2(2x+y)2=4x2+4xy+y2想一想探究新知例1运用完全平方公式计算：解:(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2；(a+b)2=a2+2ab+b2(4m)2+2•(4m)•n+n2+8mn+n2；素养考点1利用完全平方公式进行计算(2)

(a–b)2=a2–2ab+b2y2=y2–y+解：

=+–2•y•探究新知

利用完全平方公式计算：(1)(5–a)2；

(2)(–3m–4n)2；(3)(–3a＋b)2.(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2；(2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；探究新知(1)1022；=(100–1)2=10000–200+1解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=9801.

例2

运用完全平方公式计算：

素养考点2利用完全平方公式进行简便计算探究新知

利用乘法公式计算：(1)982–101×99；(2)20162–2016×4030＋20152.＝(2016–2015)2＝1.解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152巩固练习例3已知x–y＝6，xy＝–8.求:(1)

x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.＝36–16＝20；解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，(x–y)2＝x2＋y2–2xy，∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20–16＝4.素养考点3利用完全平方公式的变形求整式的值方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.探究新知(1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_____.52对应训练.(2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，

则k=________.18或–18(3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为______.1巩固练习添括号法则a+(b+c)=a+b+c;a–(b+c)=a–b–c.a+b+c=a+(b+c);

a–b–c=a–(b+c).去括号：把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：知识点2探究新知

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”).添括号法则探究新知例

运用乘法公式计算:(1)(x+2y–3)(x–2y+3);(2)(a+b+c)2.

原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]解:

(1)(2)原式=

[(a+b)+c]2

=

x2–(2y–3)2

=

x2–(4y2–12y+9)=

x2–4y2+12y–9.=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.素养考点4添括号法则的应用探究新知

计算：(1)(a–b＋c)2；

(2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．＝1–4x2＋4xy–y2.解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；(2)原式＝[1–

(2x–y)][1＋(2x–y)]＝12–(2x–y)2探究新知1.将9.52变形正确的是(

)

A．9.52=92+0.52

B．9.52=(10+0.5)(10–0.5)

C．9.52=102–2×10×0.5+0.52

D．9.52=92+9×0.5+0.522.若x2+2(m–3)x+16是关于x的完全平方式，则m=

．C–1或7链接中考2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是(

)A．(a–b)2B．(–a–b)2C．–(a＋b)2D．–(a–b)21.运用乘法公式计算(a–2)2的结果是(

)A．a2–4a+4B．a2–2a+4C．a2–4D．a2–4a–4AD基础巩固题课堂检测3.运用完全平方公式计算:(1)(6a+5b)2=_______________；(2)(4x–3y)2=_______________；(3)(2m–1)2=_______________；(4)(–2m–1)2=_______________.36a2+60ab+25b216x2–24xy+9y24m2+4m+1

4m2–4m+14.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．

25课堂检测计算:(1)(3a＋b–2)(3a–b＋2)；(2)(x–y–m＋n)(x–y＋m–n)．(2)原式＝[(x–y)–(m–n)][(x–y)＋(m–n)]解：(1)原式＝[3a＋(b–2)][3a–(b–2)]＝(3a)2–(b–2)2＝9a2–b2＋4b–4.

＝(x–y)2–(m–n)2＝x2–2xy＋y2–m2＋2mn–n2.能力提升题课堂检测1.若a+b=5，ab=–6，求a2+b2，a2–ab+b2.2.已知x+y=8，x–y=4，求xy.解：a2+b2=(a+b)2–2ab=52–2×(–6)=37；a2–ab+b2=a2+b2–ab=37–(–6)=43.解：∵x+y=8，∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①;∵x–y=4，∴(x–y)2=16，即x2+y2–2xy=16②;由①–②得4xy=48∴xy=12.拓广探索题课堂检测完全平方公式法则注意(a±b)2=a2±2ab+b21.项数、符号、字母及其指数2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行常用结论3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面)a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab;4ab=(a+b)2–(a–b)2.课堂小结作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业相关知识内容延伸学习，授课时可参考。完全平方公式人教版数学八年级上册教案一、教学目标知识与技能目标：学生能够准确推导并熟练掌握完全平方公式，即\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)和\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)，能够灵活运用公式进行多项式乘法运算及化简求值。过程与方法目标：通过多项式乘法法则推导完全平方公式，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力；在运用公式解决问题的过程中，提高学生的运算能力和知识迁移能力。情感态度与价值观目标：让学生在探索完全平方公式的过程中，体验数学知识的发现与创造过程，激发学生学习数学的兴趣和热情；通过小组合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力。二、教学重难点教学重点：完全平方公式的推导过程及公式的结构特征，熟练运用完全平方公式进行计算。教学难点：理解完全平方公式的结构特征，灵活运用公式进行变形和计算，避免出现类似\((a+b)^2=a^2+b^2\)的错误。三、教学方法讲授法、讨论法、练习法、启发式教学法相结合，引导学生自主探索、合作交流，加深对完全平方公式的理解和运用。四、教学过程（一）情境导入（5分钟）教师提问：“同学们，我们之前学习了多项式乘法法则，现在老师有一个实际问题想请大家帮忙解决。”展示问题：学校要修建一个边长为\(a\)米的正方形花坛，为了美观，现在要将花坛的边长增加\(b\)米，那么扩建后花坛的面积是多少呢？让学生思考并尝试用不同的方法表示扩建后花坛的面积，引导学生回顾多项式乘法法则，激发学生的学习兴趣和求知欲。（二）探究新知（20分钟）推导完全平方公式引导学生用两种方法计算扩建后花坛的面积。方法一：扩建后花坛是一个边长为\((a+b)\)的正方形，根据正方形面积公式，其面积为\((a+b)^2\)。方法二：将扩建后的花坛分割成四个部分，两个小正方形和两个相同的长方形，其面积分别为\(a^2\)、\(b^2\)、\(ab\)、\(ab\)，所以总面积为\(a^2+2ab+b^2\)。由此得到等式\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)。接着，教师引导学生思考：“如果是边长为\(a\)的正方形花坛，边长减少\(b\)米，那么剩余部分的面积是多少呢？”让学生仿照上述方法，自己推导\((a-b)^2\)的公式。学生推导后，教师进行总结：\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)。分析公式结构特征教师引导学生观察两个完全平方公式，提问：“大家仔细观察这两个公式，它们有什么共同的结构特征呢？”组织学生进行小组讨论，然后请小组代表发言。教师总结公式的结构特征：公式左边是一个二项式的完全平方；公式右边是一个三项式，其中首末两项分别是二项式两项的平方，都为正，中间一项是二项式两项乘积的\(2\)倍，其符号与二项式中间的符号相同，即“首平方，尾平方，首尾两倍中间放，符号看前方”。（三）例题讲解（15分钟）讲解课本例题，例如：计算\((2x+3)^2\)，\((3m-2n)^2\)。教师先引导学生分析题目，确定公式中的\(a\)和\(b\)分别对应题目中的哪些项。然后按照完全平方公式的结构特征进行计算，规范板书解题过程，强调每一步的依据和注意事项，如符号问题、系数的平方等。让学生跟着教师一起思考和计算，加深对公式运用的理解。再给出一些变式练习，如计算\((-x+5y)^2\)，\((-2a-3b)^2\)，引导学生灵活运用公式，注意符号的处理，让学生上台板演，其他学生在练习本上完成，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行纠正。（四）课堂练习（10分钟）布置课本练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。教师巡视课堂，了解学生的掌握情况，对学习有困难的学生进行个别辅导，及时解决学生在做题过程中遇到的问题。选取部分学生的作业进行展示和评价，表扬做得好的学生，同时指出存在的共性问题，进行集中讲解和强调。（五）课堂小结（5分钟）教师提问：“同学们，通过这节课的学习，你们都学到了哪些知识呢？”引导学生回顾完全平方公式的推导过程、公式的结构特征以及运用公式进行计算的方法和注意事项。教师进行补充和总结，强调完全平方公式在整式乘法运算中的重要性，鼓励学生在课后继续加强练习，熟练掌握公式的运用。（六）作业布置（1分钟）基础作业：课本习题中相关的基础计算题，要求学生认真书写解题过程，巩固完全平方公式的运用。拓展作业：思考完全平方公式在实际生活中的其他应用场景，如计算房屋装修材料的面积等，并尝试用公式解决相关问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。五、教学反思在教学过程中，要关注学生的学习情况和反馈，及时调整教学策略。对于公式的推导，要让学生充分参与，理解公式的由来，避免死记硬背。在练习环节，要注重分层教学，满足不同层次学生的学习需求，帮助学生克服学习难点，提高学习效果。同时，要引导学生总结归纳解题方法和技巧，培养学生良好的学习习惯和数学思维能力。这份教案涵盖教学全流程，注重知识传授与能力培养。你可提出对教案环节、难度等方面的意见，以便我进一步优化。相关知识内容延伸学习，授课时可参考。以下是人教版八年级数学（上册和下册）的核心知识点整理，涵盖代数、几何、函数等主要领域，供参考：###**人教版八年级数学上册知识点**####**第十一章三角形**1.**三角形的分类**

-按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。

-按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。2.**三角形的性质**

-**三边关系**：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

-**内角和**：三角形内角和为180°；外角等于不相邻两内角之和，且大于任一不相邻内角。3.**三角形的重要线段**

-高线、中线、角平分线的定义及性质（中线平分面积，角平分线到两边距离相等）。4.**多边形**

-**内角和公式**：\((n-2)×180°\)（\(n\)为边数）。

-**外角和**：任意多边形外角和为360°。

-正多边形的概念及对称性。####**第十二章全等三角形**1.**全等三角形的判定**

-**SSS（边边边）**：三边对应相等的两三角形全等。

-**SAS（边角边）**：两边及其夹角对应相等的两三角形全等。

-**ASA（角边角）**：两角及其夹边对应相等的两三角形全等。

-**AAS（角角边）**：两角及一角的对边对应相等的两三角形全等。

-**HL（斜边、直角边）**：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等则全等。2.**全等三角形的性质**

-对应边相等，对应角相等，对应线段（高线、中线、角平分线）相等。3.**角平分线的性质**

-角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：到角两边距离相等的点在角平分线上。####**第十三章轴对称**1.**轴对称图形与对称轴**

-定义：沿某条直线折叠后直线两旁部分完全重合的图形（如等腰三角形、矩形等）。2.**轴对称的性质**

-对应点连线被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相等。3.**垂直平分线**

-性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。4.**等腰三角形**

-**性质**：两腰相等，两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（三线合一）。

-**判定**：有两边相等的三角形是等腰三角形；等角对等边。5.**等边三角形**

-三边相等，三角均为60°；判定：三边相等、三角相等或有一个角为60°的等腰三角形。6.**含30°角的直角三角形**

-30°角所对直角边等于斜边的一半。####**第十四章整式的乘法与因式分解**1.**整式的乘法**

-**同底数幂相乘**：\(a^m×a^n=a^{m+n}\)（底数不变，指数相加）。

-**幂的乘方**：\((a^m)^n=a^{mn}\)（底数不变，指数相乘）。

-**积的乘方**：\((ab)^n=a^nb^n\)（积的各因式分别乘方）。

-**单项式×单项式/多项式**：系数、同底数幂分别相乘，再相加。

-**多项式×多项式**：用分配律展开，如\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)。2.**乘法公式**

-**平方差公式**：\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)。

-**完全平方公式**：

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)。3.**因式分解**

-**定义**：将多项式化为几个整式的积的形式（与整式乘法互为逆运算）。

-**方法**：

-**提公因式法**：如\(ma+mb+mc=m(a+b+c)\)。

-**公式法**：套用平方差公式或完全平方公式。

-**十字相乘法**（拓展）：用于二次三项式分解，如\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)。####**第十五章分式**1.**分式的概念**

-定义：形如\(\frac{A}{B}\)（\(B≠0\)，\(A\)、\(B\)为整式）的式子，分母含字母。2.**分式的基本性质**

-\(\frac{A}{B}=\frac{A×C}{B×C}\)，\(\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}\)（\(C≠0\)）。3.**分式的运算**

-**乘除**：\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)，\(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}\)。

-**加减**：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母先通分再计算。4.**分式方程**

-定义：分母含未知数的方程。

-**解法**：去分母化为整式方程，解后需验根（避免分母为0）。

-**应用**：解决行程、工程等实际问题（注意单位统一和验根）。###**人教版八年级数学下册知识点**####**第十六章二次根式**1.**二次根式的定义**

-形如\(\sqrt{a}\)（\(a≥0\)）的式子，如\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{x+1}\)（\(x≥-1\)）。2.**二次根式的性质**

-\((\sqrt{a})^2=a\)（\(a≥0\)）；\(\sqrt{a^2}=|a|\)。3.**二次根式的运算**

-**乘法**：\(\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)（\(a≥0\)，\(b≥0\)）。

-**除法**：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a≥0\)，\(b>0\)）。

-**加减**：先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式（如\(\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)）。####**第十七章勾股定理**1.**勾股定理**

-直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方：\(a^2+b^2=c^2\)（\(c\)为斜边）。2.**勾股定理的逆定理**

-若三角形三边满足\(a^2+b^2=c^2\)，则该三角形为直角三角形（\(c\)为最长边）。3.**勾股数**

-满足\(a^2+b^2=c^2\)的正整数组，如（3,4,5）、（5,12,13）等。4.**应用**

-求直角三角形边长、判断三角形形状、解决几何中的最短路径问题等。####**第十八章平行四边形**1.**平行四边形**

-**性质**：对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。

-**判定**：

-两组对边分别平行/相等；

-一组对边平行且相等；

-对角线互相平分；

-两组对角分别相等。2.**特殊平行四边形**

-**矩形**：

-性质：四个角都是直角，对角线相等（平行四边形+直角）。

-判定：有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；三个角是直角的四边形。

-**菱形**：

-性质：四条边相等，对角线互相垂直且平分每组对角（平行四边形+邻边相等）。

-判定：一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边相等的四边形。

-**正方形**：

-性质：兼具矩形和菱形的所有性质（四边相等、四角直角、对角线相等且垂直平分）。

-判定：有一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形。3.**三角形中位线定理**

-三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半（用于证明线段平行或长度关系）。####**第十九章一次函数**1.**函数的概念**

-变量\(x\)、\(y\)，对于\(x\)的每一个确定值，\(y\)都有唯一确定的值对应，则\(y\)是\(x\)的函数（如\(y=2x+1\)）。2.**一次函数的表达式**

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