2023北京初三（上）期末数学试题汇编：圆的性质

2023北京初三（上）期末数学汇编

圆的性质

一、单选题

1.（2023秋・北京东城•九年级统考期末）如图，在。。中，48是直径，弦AC的长为5,点。在圆上，且

ZADC=30°,则的半径为（）

A.2.5B.5C.7.5D.10

2.（2023秋・北京密云・九年级统考期末）如图，AB是。。的直径，C、。是。。上两点，ZCDB=40°,则

/ABC的度数是（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

3.（2023秋・北京通州・九年级统考期末）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弦所对的圆周角相

等；③圆中90。的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2023秋・北京平谷・九年级统考期末）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一

尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，8为。。的直径，弦

AB_LCD于E,CE=1寸，弦AB=10寸，则。。的半径为多少寸（）

C.13D.26

5.（2023秋・北京西城・九年级北京市第六十六中学校考期末）如图，在。。中，C、。为。。上两点，AB

是。。的直径，已知NAOC=130。，则/8OC的度数为（

A.65°B.50°C.30°D.25°

6.（2023秋・北京通州•九年级统考期末）如图，点A,B,C在。。上，ZACB=35°,则NA08的度数是

7.（2023秋•北京海淀•九年级北京市十一学校校考期末）如图，四边形ABC。内接于。。，若四边形

ABC。是菱形，则”的度数为（）

二、填空题

8.（2023秋・北京平谷・九年级统考期末）如图，在。。中，A,B,C是。。上三点，如果NACB=3（T,弦

AB=5,那么。。的半径长为—.

9.（2023秋・北京东城•九年级统考期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章

计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积=；（弦X失+失2）.弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的

弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为120。，半

径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为米2.（73«1.73）

10.（2023秋・北京密云•九年级统考期末）如图，的弦AB长为2,是。。的直径,

ZADB=30°,ZADC=15°.

①。。的半径长为.

②尸是CO上的动点，则PA+PB的最小值是.

11.（2023秋・北京通州・九年级统考期末）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的。。在格

点上，则/A即的正切值为.

三、解答题

12.（2023秋・北京密云•九年级统考期末）如图，AABC内接于O。，AE是的直径，AE±BC,垂足为

D.

（1）求证：ZABO=ZCAE；

（2）已知。。的半径为5,DE=2,求BC长.

13.（2023秋•北京平谷•九年级统考期末）如图，己知劣弧A8,如何等分A8?下面给出两种作图方法，

选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程.

方法一：①作射线Q4、0B-,

②作ZAOB的平分线0D,与A8交于点G

点C即为所求作.

证明：平分NA93,

ZAOC=NBOC

；•—（）（填推理的依据）.

方法二：①连接48；

②作线段A3的垂直平分线所，直线石产与A8交于点C；

点C即为所求作.

证明：：所垂直平分弦AB,

二直线E尸经过圆心0,

；•一（一）（填推理的依据）.

14.（2023秋•北京东城•九年级统考期末）如图，48是。。的直径，弦。0，居于点£,CD=2OE,若

AB=4,求CD的长.

15.（2023秋・北京西城・九年级北京市第六十六中学校考期末）下面是小坟同学设计的“作一个角等于已知

角”的尺规作图过程.

已知：在AABC中，AB=BC,80平分/ABC交AC于点Z）.

求作：NBPC,使/BPC=/BAC.

作法：①分别以点8和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E和点R

连接所交2。于点O-,

②以点。为圆心，。2的长为半径作。。；

③在劣弧上任取一点尸（不与点A、2重合），连接2尸和CP.所以/3PC=N54C.

根据小坟设计的尺规作图过程.

A

(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明.

证明：连接。4、OC.

\"AB=BC,BD平分/ABC,

：.BDLACB.AD=CD.

：.OA=OC.

,/EF是线段BC的垂直平分线，

：.0B=_.

：.OB=OA.

为AABC的外接圆.

:点尸在。。上，

:./BPC=/BAC(_)(填推理的依据).

16.(2023秋・北京海淀•九年级北京市十一学校校考期末)下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边

的平行线”的尺规作图过程.

已知：如图，AABC.

求作：直线B。，使得3。〃AC.

作法：如图，

①分别作线段AC,8C的垂直平分线小两直线交于点。；

②以点。为圆心，长为半径作圆；

③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交A8于点

④作直线8。.所以直线8。就是所求作的直线.

根据小石设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接AD

•.,点A,B,C,。在上，AD=BC,

••AD=---------•

AZDBA=ZCAB（）（填推理的依据）.

：.BD//AC.

参考答案

1.B

【分析】连接BC,由题意易得ZABC=ZADC=30。，在吊△ACS中解三角形求解.

【详解】连接BC,

AABC=ZADC=3Q°

在。。中，48是直径，

:.ZACB=9CP,

在R/AACB中，

ZACB=90°,ZABC=3O°,AC=5

AB=2AC=10

OA=5

故选：B.

【点睛】本题主要考查圆周角定理及含30。直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理及含30。直角三角形的

性质是解题的关键.

2.C

【分析】首先根据A3是直径得出NAC3=90。，然后利用圆周角定理的推论得出

ZCAB=ZCDB=40°,最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案.

【详解】解：是。。的直径，

:.ZACB=90°.

,/ZCAB和NCDB都是8C所对的圆周角，

:.NCAB=NCDB=40。,

ZABC=90°-ZCAB=50°,

故选：C.

【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论及三角形内角和定理，掌握圆周角定理及其推论的内容是解题的

关键.

3.A

【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据圆周角定理对②③进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对

④进行判断.

【详解】解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；

在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，所以②错误；

90。的圆周角所对的弦是直径，所以③错误；

在同圆或等圆中，相等的圆心角对的弧相等，所以④错误.

故选：A.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了圆的认识和

圆心角、弧、弦的关系.掌握这些知识点是解题关键.

4.C

【分析】连接。4,构造直角三角形，根据垂径定理和勾股定理求解.

【详解】解：连接如图所示，

C

设直径CD的长为2x,则半径OC=x,

•.•CD为。。的直径，弦45，3于£,

AE=BE=-AB=-xlO=5

22f

而OA=OC=x,

根据勾股定理得尤2=52+(X-l)2,

解得X=13,

即。。的半径为13寸.

故选C.

【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键.

5.D

【分析】先求出的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出答案.

【详解】解：：/AOC=130。，AB是。。的直径，

ZBOC=180°-ZAOC=50°,

：.ZBDC=^ZBOC^25°,

故选：D.

【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，熟记定理是解题的关键.

6.B

【分析】直接根据圆周角定理求解.

【详解】解：・・・NACB=35。，

/.ZAOB=2ZACB=70°.

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.

7.B

la+b=180?

【分析】设/AOC=a,NABC=B，由菱形的性质与圆周角定理可得;1,，求出夕即可解决问题.

1a--b

i2

【详解】解：设NAOC=a,NABC寸;

•••四边形ABCO是菱形，

ZABC=ZAOC=/3.

.­.NADC=3；

四边形ABCD为圆的内接四边形，

...a+£=180°,

ia+b=180?

1

i1,

ia=­b7

i2

解得：£二120。,a=60°,则NAZ)C=60。，

故选：B.

【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆

中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.

8.5

【分析】如图，作直径AD,连接则/。=/AC3=30。，?ABD90?,可得AD=2AB=10,从而可

得答案.

【详解】解：如图，作直径AD,连接则/O=NAC8=30。，?ABD90?,

,/AB=5,

：.AD=2AB=10,

二。。的半径为5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，含30。的直角三角形的性质，作出合适的辅助线构建直角三角

形是解本题的关键.

9.8.92

【分析】由题意可知OC_LAB于。，交圆弧于C,由题意得AO=4米，ZAOB=120。解得OD=（OA=2

米，再求出C。，最后由勾股定理得到4。，由垂径定理求出即可得出结果.

【详解】解：如图，由题意可知，

ZAOB=120°,AB1CD,OA=OB=4（米），

ZDAO=30°,ZADO=90°,AD=BD=-AB

2

:.OD=-OA=2（米）

2

..cr）=oc-00=4—2=2（米）

AD=VtM2-（9r>2=A/42-22=2>/3（米）

AB=2.AD=4A/3（米）

；・弧田面积=；（42、。+。2）

=；x（4岛2+2,

=4A/3+2

-8.92（平方米）

故答案为：8.92

【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用；熟练掌握垂径定理是解答本题的关键.

10.2273

【分析】①连接0Ao8,易证“108是等边三角形，弦长为2,OA=OB=2,即可得到答案；

@^ilEZBOC=ZAOB+ZAOC=90°,延长3。交。。于点E,连接AE交CD于点P,连接3P,则此时

PA+PB=PA+PE=AE,即PA+P3的最小值是AE的长，再用勾股定理求出AE即可.

【详解】解：①连接OAOB,

D

,/ZADB=30°,

ZAC®=60。，

,?OA=OB,

AAOB是等边三角形，

;弦AB长为2,

OA=OB=2,

即。O的半径长为2,

故答案为：2

②：ZADC=15°,

：.NAOC=2NADC=30。，

ZBOC=ZAOB+ZAOC=90°,

延长2。交。。于点E,连接AE交8于点P,连接3P,则此时出+依二9+性二的，即上4+尸3的最

小值是AE的长，

,?OA=OE=2,

：.ZOAE=ZAEB=30°,

：.NBAE=ZBAO+ZOAE=90°,

,,AE=y/BE2—AB2=A/42—22=2-^3,

即PA+PB的最小值是2白.

故答案为：2也

【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、轴对称最短路径等知识，熟练掌

握相关定理并灵活应用是解题的关键.

11.；.

【分析】根据圆周角定理可知/ABC,再根据正切值的定义求解即可.

AT1

【详解】解：根据圆周角定理可得NAE£>=NA8C,liltanZAED=tanZABC==—.

AB2

故答案为：.

【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数，解题的关键是找到NAa)二NABC

12.(1)见解析

(2)8

【分析】（1）由垂径定理可得BE=CE，由圆周角定理得到N&a=NOLE,由40=30得到

ZABO^ZBAE,即可得到结论；

（2）由垂径定理可得B£>=CD=LBC,ZBD（9=90°,在RMBOD中，由勾股定理可得30=4,即可得

2

到BC长.

【详解】（1）证明：：AE是。。的直径，AELBC,

•"­BE=CE，

：.ZBAE=ZCAE,

'：AO=BO,

•••AMO是等腰三角形，

ZABO=NBAE,

：.ZABO=ZCAE；

（2）是。。的直径，AE±BC,

：.BD=CD=-BC,ZBDO=90°,

2

在RtABOD中，OD=OE—DE=5—2=3,03=5,

•，•BD=y/OB2-ODr=V52-32=4>

BC=2BD=8.

【点睛】此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理的内

容是解题的关键.

13.方法一：画图见解析，AC，BC，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；方法二：画图见解

析，AC，BC，垂径定理.

【分析】方法一：按照作图语句提示作图，再根据圆心角与弧的关系进行证明即可；

方法二：按照作图语句提示作图，再根据垂径定理进行证明即可；

【详解】解：方法一：如图，点C即为所求作.

D

证明：：0C平分—A03,

ZAOC=NBOC

/.AC=BC（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）.

方法二：如图，点C即为所求作.

证明：：所垂直平分弦AB,

二直线E尸经过圆心0,

AC=BC(垂径定理).

【点睛】本题考查的是复杂的作图，平分弧的作图，熟练的利用基本作图解决复杂的作图是解本题的关

键，同时考查了角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质.

14.CD=2V2.

【分析】由垂径定理得到CE=DE,推出