2023北京初三二模数学试题汇编：代数综合（第26题）

2023北京初三二模数学汇编

代数综合（第26题）

一、解答题

1.（2023•北京东城•统考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线丁=q2+加:+l（awO）的对称轴是直线

x=3.

（1）求出该抛物线的顶点坐标（用含。的式子表示）；

（2）当。＞0时，对于任意的正数乙若点（3—/,%）,（3+2/,%）在该抛物线上，则/为（填

“＜，，或“=，，）.

（3）已知点4（0,3）,5（7,3）.若该抛物线与线段A3恰有一个公共点，求。的取值范围.

2.（2023•北京西城・统考二模）在平面直角坐标系X0Y中，点（占，/），（范，％）都在抛物线

r

y=ay?-2ar+8（a＜0）±,且-1＜须＜2,\-m＜x2＜m+l.

（1）当m=-2时，比较%,为的大小关系，并说明理由;

（2）若存在毛，4，满足h=%，求机的取值范围.

3.(2023•北京海淀•统考二模)在平面直角坐标系尤Oy中，已知抛物线y=+云+。+2(。>0)过点

(1,4a+2).

(1)求该抛物线的顶点坐标；

(2)过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线/,将抛物线在y轴右侧的部分沿直线/翻折，其余部分保持

不变，得到图形G,%)，N(-l+a,为)是图形G上的点，设=%+%・

①当a=l时，求/的值；

②若6VrV9,求。的取值范围.

4.(2023•北京朝阳•统考二模)在平面直角坐标系中，点(―1,%)在抛物线丁=必-ax上.

(1)求％的值(用含a的式子表示)；

(2)若a<—1,试说明：M<0；

(3)点(1,%)，(。一2,%)在该抛物线上，若％，为，％中只有一个为负数，求a的取值范围.

5.（2023•北京房山・统考二模）平面直角坐标系无Oy中，抛物线y=o?一4》+3。的对称轴为直线x=〃。

（1）若抛物线经过点（1,0）,求。和n的值；

（2）若抛物线上存在两点A（占，加）和B（马，机+1），芭=〃。

①判断抛物线的开口方向，并说明理由；

②若1々-玉匚1，求。的取值范围。

6.（2023•北京丰台•统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点（4,3）在抛物线y+云+3（若为）

上.

（1）求抛物线的对称轴；

（2）若点（羽，5）,（x2,-3）在抛物线上，求a的取值范围；

（3）若点（m,力），（m+1,j2）在抛物线上，对于任意的〃z23,都有昆-为|23,直接写出a的取

值范围.

7.（2023・北京门头沟•统考二模）在平面直角坐标系X0V中，设二次函数丁=依2-+的图象为

抛物线G.

备用图

（I）求抛物线G的对称轴及其图象与y轴的交点坐标；

（2）如果抛物线G'与抛物线G关于x轴对称，直接写出抛物线G的表达式；

（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记抛物线G与抛物线G'围成的封闭区域（不包括边界）为W.

①当a=3时，直接写出区域卬内的整点个数；

②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求。的取值范围.

8.（2023•北京顺义・统考二模）在平面直角坐标系尤Oy中，已知抛物线y=。x2-2/x-3（aW0）

（1）求该抛物线的对称轴（用含。的式子表示）；

（2）若a=l,当-2＜尤＜3时，求y的取值范围；

（3）己知A（2aT,yi）,B（a,yi）,C（a+2,乃）为该抛物线上的点，若yi＜券＜以，求a的取值范围.

9.（2023•北京燕山•统考二模）在平面直角坐标系x0y中，抛物线丁=以？一4/%.

（1）求抛物线与x轴的交点坐标及抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；

（2）已知点尸（。一1,%），。（。+5,，2）在该抛物线上，若求a的取值范围.

参考答案

1.（1）;抛物线y=依2+法+1（。wO）的对称轴是直线％=3,

」=3,

2a

••b=-6a,

当x=3时，y—9a+3b+1=9Q+3x（—6a）+1=—9Q+1,

抛物线y=加+Zzx+l（aw0）的顶点坐标是（3,—9a+1）；

（2）Vy=ax^+Z?x+l（a>0）,

抛物线开口向上，

距离抛物线对称轴越远，函数值越大，

点（3-t,y）距离对称轴％=3的距离为：|3V—3|=/,

点（3-2t,%）距离对称轴x=3的距离为:|3-2r-3|=|-2r|=2t,

'：t>0,

2t>t,

•••（3-2t,%）距离对称轴x=3比（3—y）距离对称轴x=3更远,

%<%，

故填：<；

（3）当。>0时，抛物线开口向上.

•••抛物线与线段AB恰有一个公共点,

...当x=7时的函数值大于或等于3.

•*.49a—42a+123,

.2

・・Q2一;

7

当〃<0时，抛物线开口向下

当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB有唯一公共点.

•*-y顶点=_9a+l=3

,2

••Cl——

9

22

综上所述：a=一一或a2—.

97

2.【答案】（1）%>为，理由见解析

（2）加>—2

【解析】

【分析】(1)当机=-2时，3<X2<5,将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴，根据毛，巧的大小判

断与对称轴的距离，结合。<0,即可得出答案；

(2)根据题意可知满足y=%，即均与犬2关于对称轴％=1对称，当-1<%<2时，则演的最小值要

比玉=2时的对称点0小，巧的最大值要比罚=-1时的对称点3大，解不等式组即可.

【小问1详解】

X>%；

理由：Vy=ax1-2av+8=tz(x-l)'+8-«,

.•.抛物线的对称轴是直线x=l

当〃z=-2时，3<x2<5

*/-1<<2,3<x2<5,对称轴是直线x=l

：.X］比X,离对称轴近

Va<0,抛物线开口向下

%>%

【小问2详解】

,/l—m<x^<根+7

解得机〉一3①

:存在药,%,满足%=%，且一1<%<2

1—m<3

解得加>一2②

综上，加的取值范围是加>-2

3.(1)•抛物线y=ox?+H+Q+2过点(1,4〃+2),

••4Q+2=a+Z?+〃+2.

b=2a..................................................................................................................1分

y=加+2or+a+2=a(x+l)2+2.

・・・抛物线的顶点坐标为(—1,2)•..................................................................................2分

(2)①・.・a=l,

.••点”(-2,必)，N(0,%)，y=(x+l『+2.

%=%=3.

，t=yx+y2=6.........................................................................................................3分

(2)Vy=ax2+2ax+Q+2,

直线/的解析式为>=a+2.

当OVaVl时，-l-a<-l+a<0,

...点M,N在原抛物线上.

...点M,N关于x=—l对称.

•••%=%・

当x=O时，%=a+2.

d>0,

•••抛物线开口向上.

xN-1时，y随尤的增大而增大.

,,为<%・

.•"=%+%<2(。+2)<6,不符合题意.

当a=l时，由①可知?"=6,符合题意.

当a>l时，-l-a<O<-l+a.

...点M在原抛物线上，

点N在原抛物线沿直线/翻折后的抛物线上.

点N关于直线I的对称点N'在原抛物线上.

•••点M(―1-％)与点N'(—1+。,2a+4—%)关于x=—1对称.

%=2a+4-%.

%=2a+4.

'：6<t<9,

1<a<一,

2

・'.1<a4—.

2

综上所述，a的取值范围是1<a<3.........................................................................6分

2

4.(1)•.•点(一1,%)在抛物线y=一一四上

：.yx=a+\

(2)9：a<-l,

**•a+1v0

・・・％<0；

(3)根据题意，可知%=-。+1，%=-21+4,

当av—1时

X<0,%>°，％>°，符合题意

当一1<。41时，

^>0,y2>0,%>。不符合题意

当1<〃(2时，

X>0,y2<0,为20符合题意

当〃>2时，

%>0,y2<0,为<0,不符合题意；

综上所述，〃<一1或1<Q«2.

5.(1)把(1,0)代入y=ax?-4x+3a得〃=1。。。。。。。。。。1分

“2oooooooooooooooooooooooo2

(2)①开口向上。ooooooooooooooooooooooo3分

*.*xr=n,又对称轴为x=n

AA(n,m)是抛物线的顶点

*.*B(/,m+1),且m+1>m

,,点B在顶点A的上万。ooooooooooooooooooooooo4分

・••抛物线开口向上

②设区2-X-LI=1,

•「Xi=n,.*.x2=n+1或X2=n—1

将抛物线平移，使其顶点A(n,m)落在坐标原点，

平移a的值不变，平移后抛物线表达式为>=°必，

此时A(0,0),AB(1,1)或B(-1,1)

将B(1,1)代入y=ax?得。=1

：%一Xi|W1,结合图象

••a的取值围^—^0000000000000000000000006分

(其他解法酌情给分)

6.解：(1)由题意得抛物线经过点(0,3)和点(4,3),

...抛物线的对称轴x==2.…1分

2

(2):抛物线的对称轴x=-—=2，

2a

.*./7=-4a.

抛物线顶点坐标为(2,3-4a).

:点(％,5),(9,-3)在抛物线上，

3

・•・当〃>0时，3-4aW-3,解得。

2

当a<0时，3-4a引5,解得aW」.

2

综上所述，或aW-工......4分

22

(3)QNI或aW-L....6分

—2a

7.(1)解：抛物线G的对称轴为x=------=1,

2a

令广0,可得产1,图象与y轴的交点坐标(0,1);

(2)解：在抛物线G上取点(X,y),其关于X轴的对称点为(x,-y),

把点(x,-y)代入抛物线G的解析式得一y=G?-2ta+l(awO),

抛物线G'的表达式为y=-ax2+2ax-l(a^O)；

(3)①当。=3时，抛物线G的解析式为y=3f—6x+l,

抛物线G的解析式为y=-3x2+6x-l,在同一平面直角坐标系中图象如图：

从图中可以得出区域W内的整点个数为3；

②当a>0时，

抛物线丁=双2-2四+1(。/0),经过点(1,-3)时，区域W内恰有5个整点.

「・—3=Q—2〃+1.解得：〃=4

・•・综合①可得：3<a<4

当a<0时，

抛物线丁=双2-2四+1(。/0)经过点(-1,0)和(1,2)时，区域W内恰有5个整点

0—6Z+2a+1,2—ci—2a+1.

解得：a=—,a=—1.

3

1I

：.-l<a<——.

3

解得：3〈〃<4或一14。<—.

3

-2a2

8.解：(1)对称轴尤=------=a......................................1分

2a

(2)-：a=l,

.•.抛物线解析式为-2x-3,对称轴为x=l,开口向上.

V-2<x<3,包含对称轴下1,且x=-2比x=3距离对称轴远，

.••当x=]时,y最小=-4；当x=-2时,y=5.

：.-4^y<5..............................................3分

(3)yi<y3<y2,B(a,yi),对称轴为x=a,

B(a,竺)为抛物线的顶点，a<0,C