2023北京初三二模数学试题汇编：点和圆、直线和圆的位置关系

2023北京初三二模数学汇编

点和圆、直线和圆的位置关系

一、单选题

1.（2023•北京昌平•统考二模）船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立

两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正

方形网格，点是网格线交点，当船航行到点尸的位置时，此时与两个灯塔间的角度

（/MPN的大小）一定无触礁危险.那么，对于四个位置，船处于时，也一定无触

礁危险.（）

A.位置AB.位置BC.位置CD.位置。

二、解答题

2.（2023•北京大兴・统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点4-厂,0）,旗厂,。）.点尸为平面内一点

（不与点/，点2重合），若AABP是以线段A3为斜边的直角三角形，则称点尸为线段的直点.

—>

6x

备用图

⑴若厂=1,

①在点-J,2（0，l）,Q（-L-l）这三个点中，点是线段AB的直点；

②点P为线段AB的直点，点C（-M）,求CP的取值范围；

（2）点。在直线y=上，若点。的横坐标亏满足2＜与＜4,点P为线段AB的直点，且£＞P=1,直接写

出厂的取值范围.

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3.(2023・北京朝阳•统考二模)如图，Afi为。。的直径，C为。。上一点，AELCE,直线CE与直线

相交于点〃，AC平分N硼九

(1)求证：E”是。。的切线；

(2)AE与。。的交点为凡连接尸。并延长与0。相交于点。，连接CO.若尸为AC中点，求证:

ND=NH.

4.(2023•北京东城•统考二模)已知：如图，点尸和0O.

求作：直线PA,使得PA与相切于点A.

作法：(1)连接。P,分别以点。和点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于C，。两点；

(2)作直线CD,交OP于点B；

(3)以点B为圆心，以长为半径作。3,与。。相交，其中一个交点为点A；

(4)作直线PA.

直线PA即为所求作.

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明.

证明：由作法可知，点B为线段OP的中点.连接。4.

•••0P为。B的直径，

AZOAP=。()(填推理的依据).

/.OALPA.

:点A在。。上，

：上4是。＜9的切线()(填推理的依据).

5.(2023•北京昌平•统考二模)在平面直角坐标系中，对于点P,点。和直线/,点尸关于/的对称点

P',点Q是直线/上一点，将线段PQ绕点P'逆时针旋转90。得到PK,如果线段PK与直线/有交点，称

点K是点P关于直线/和点Q的“双垂点”.

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oxoX⑴若P（2,l）,

备用图

点降(1,1),K2(l,0),4(1,-2)中是点P关于无轴和点Q的“双垂点”的是；

(2)若点Q(0,5),点尸,K是直线y=x+3上的点，点K是点尸关于〉轴和点。的“双垂点”，求尸点的坐标;

⑶点尸在以(。,£)为圆心，1为半径的圆以上，直线/：y=x+2,若圆加上存在点K是点P关于直线/和点

。的“双垂点”，直接写出才的取值范围.

6.(2023•北京海淀•统考二模)如图，尸为0。外一点，PA,，阳是0。的切线，A,3为切点，点C在

0。上，连接。A,OC,AC.

⑴求证：ZAOC=2ZPAC；

(2)连接。2,若AC〃OB,。。的半径为5,AC=6,求至的长.

7.(2023•北京朝阳•统考二模)在平面直角坐标系中，对于图形M给出如下定义；将M上的一点

(a㈤变换为点M上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为N,称N为M的变换图

形.

(1)①点(3,0)的变换点的坐标为；

②直线＞=x+l的变换图形上任意一点的横坐标为；

(2)求直线y=2x+1的变换图形与y轴公共点的坐标；

(3)已知。。的半径为1,若。。的变换图形与直线、=丘+2女传*0)有公共点，直接写出后的取值范围.

8.(2023•北京房山•统考二模)在平面直角坐标系xOy中，有图形少和点尸，我们规定：若图形少上存在

点M、N(点M和N可以重合)，满足RW=PN,其中点P，是点尸关于x轴的对称点，则称点尸是图形少

的“对称平衡点

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图1图2

⑴如图1所示，已知，点4(0,2),点3(3,2).

①在点耳(。，1)，鸟4(4,1)中，是线段AB的“对称平衡点”的是；

②线段AB上是否存在线段AB的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的“对称平衡点”的横坐标的范

围，若不存在，请说明理由；

(2)如图2,以点A(0,2)为圆心，1为半径作坐标系内的点C满足AC=2,再以点C为圆心，1为半

径作。C,若上存在的“对称平衡点“，直接写出C点纵坐标为的取值范围.

9.(2023•北京顺义•统考二模)在平面直角坐标系中，已知点尸，直线/与图形G.连接点尸与图形G

上任意一点。，取PQ的中点点“关于直线/的对称点为N,所有的对称点组成的图形少称为图形G

关于点尸及直线/的“对应图形

已知点4(4,0).

(1)对于直线l:x=a,若直线y=-2x-4关于点/及直线I的“对应图形”与直线y=-2%-4的交点在x轴的

上方，求”的取值范围；

⑵已知点8(0,4),C(TO),0(6,4),直线=©T的圆心T&0),半径为2.若存在关于点。

及直线/的“对应图形''与AABC的边有交点，直接写出t的取值范围.

10.(2023•北京西城•统考二模)在平面直角坐标系xQy中，给定圆c和点尸，若过点p最多可以作出左条

不同的直线，且这些直线被圆c所截得的线段长度为正整数，则称点尸关于圆c的特征值为既已知圆。

的半径为2,

(1)若点M的坐标为。，1),则经过点”的直线被圆。截得的弦长的最小值为,点”关于圆。

的特征值为;

(2)直线y6分别与x,y轴交于点4B,若线段AB上总存在关于圆。的特征值为4的点，求6的取

值范围；

(3)点T是x轴正半轴上一点，圆T的半径为1,点尺S分别在圆。与圆T上，点R关于圆7的特征值记

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为r,点S关于圆。的特征值记为s.当点T在无轴正轴上运动时，若存在点上S,使得r+s=3,直接写

出点7的横坐标f的取值范围.

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参考答案

1.B

【分析】先利用格点找出的外接圆的圆心，再判断哪个点在△MNP的外接圆上即可.

【详解】解：如图，

由网格可知，点。是和垂直平分线的交点，

即点。是△MNP的外接圆的圆心，

OM=OB=y]]2+2l=>/5>

点〃■在△MNP的外接圆上，

ZMPN=NMBN,

二船处于位置3时，也一定无触礁危险，

故选B.

【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外心，勾股定理与网格问题等，解题的关键有两个，一是找出

△MNP的外接圆的圆心，二是掌握同弧所对的圆周角相等.

2.(1)®P2；®V2-1<CP<V2+1

(2)君—J26+70

【分析】(1)①根据“直点”的定义即可解决问题；②求出CP的最大值和最小值即可得结论；

(2)以O为圆心作圆，求出半径的最小值与最大值，可得结论.

【详解】(1)①如图；

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L----------u---------2-----」------：

,?r=\,

.•.点A(-1,O),5(1,0).

:点尸为线段AB的直点，

点尸在。。上.

；•点2(0/)，片(-L-1)这三个点中，£(0」)为线段AB的直点,

故答案为：£;

②情况1：连接CO交。。于点P,此时CP最短，连接CA,

Vc(-u),A(-l,0),

AC=OA=\,CA1AO,

OC=JAO。+AC°，

；•OC=V2.

,/CP=CO-OP,

CP=A/2-1.

情况2：延长CO交0。于点P,此时CP最长.

•••CP'=CO+OP',

,•CP—V2+1-

.♦.CP的取值范围是逝—lWCPV逝+1，

故答案为：V2-1<CP<V2+1.

(2)•.•点P为线段AB的直点，

.•.点尸在以为直径的。。上，DP=1

如图，

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22

在RSDQE中,Dx0=Vl+2=V5,

”出=1,

O^=A/5-1；

过点£作1G_!x轴于点G,过点D2作D2H1£G轴于点H,

.•.四边形便尸G〃是矩形，AAm为等腰直角三角形，

/.HG=D2F,D2H=FG,

■：D2Pl=1,

/.D°H=FG=£

当％=4时，y=4—1=3,gpD2F=3=HG,

P2H=3+立,0G=4+—,

222

在RbO£G中，0g=4+—+3+—=J26+70,

V\2JI2,

r取值范围是右一1<rW,26+70.

【点睛】本题考查了圆的有关知识，一次函数的性质，“直点”的定义等知识，解题关键是理解题意，熟练

掌握圆的相关性质、勾股定理等知识，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想思考问题.

3.⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）连接。C,求出/胡C=/AC。可得AE〃OC,然后得出。CLCE即可；

（2）如图，连接。C,证明■="=〃，可得/AOF=〃OC=/COB=60。，然后根据圆周角定理求

出NO=30。，再由直角三角形两锐角互余求出ZH=30°即可.

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【详解】（I）证明：连接0C,

・・・AC平分NE4H,

・・・/EAC=/CAH,

•：OA=OC,

：.ZCAO=ZACO,

：.ZEAC=ZACO,

：.AE//OCf

•・•AE1CE,

：.OCLCE,

♦・,OC是。。的半径,

・・・EH是0。的切线;

（2）证明：如图，连接。C,

•・・AC平分NE4H,

・・・NEAC=NCAH,

:.FC=CB，

•・,夕为AC中点，

・•・AF=FC>

AF=FC=CB，

：.ZAOF=ZFOC=/COB=60°,

JZ£）=-ZFOC=30°,

2

由（1）知。C_L£H,即/OCH=90。,

・・・ZW=90°-ZCOB=30°,

：.ZD=ZH.

【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识，作出合适

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的辅助线，灵活运用相关性质定理是解题的关键.

4.⑴见解析

（2）90；直径所对的圆周角是直角；切线的判定定理

【分析】（1）根据题意作图即可；

（2）证明NOAP=90。得到。4_LPA,则由切线的判定定理可得PA是。。的切线.

【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）证明：由作法可知，点B为线段OP的中点.连接。4.

尸为©3的直径，

AZOAP=90°（直径所对的圆周角是直角）.

OA±PA.

•.•点A在。。上，

是。O的切线（切线的判定定理）.

故答案为：90；直径所对的圆周角是直角；切线的判定定理.

【点睛】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，线段垂直平分线的尺规作图等等，灵活运用所学

知识是解题的关键.

5.⑴

（2）P（T2）

⑶-+0

【分析】（1）根据新定义进行判断即可求解；

（2）根据题意得出点P是直线y=》+3上的点，则点P关于y轴的对称点在直线y=r+3上，点K在直

线>=尤+3上，9。=「/且尸'。_12R,别作轴，KCJ_y轴，KC交y轴于点B,PC与KC交

于点C,证明AQPA/AKPC,设尸'0",一"7+3）得出K（-2,-2根+3）代入直线>=尤+3,求得P'（l,2）,即可

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求得P（-l,2）；

（3）根据新定义可得K的轨迹与直线y=x+2垂直，在。AT上找到一点P,得K点落在y=x+2上，则

当K的轨迹所在直线左与0W相切时，，取得最大值，根据题意画出图形，求得/的最大值，同理可得/的

最小值.

（2）解：根据题意，点P是直线y=x+3上的点，则点P关于y轴的对称点在直线y=-x+3上，

由题意可得，点K在直线y=x+3上，尸'。=「£且尸’。，尸£,

如图所示，作尸轴于点A,分别作PCLx轴，KCLy轴，KC交》轴于点8,PC与KC交于点

■:NQPK=ZAPC=90。

：.ZQP'A=ZKPrC

又；P'Q=P'K,NQAP=NKCP=90°

AQPA'KPC

：.P'A=P'C,QA=KC

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・・・四边形ABCP为正方形，

设P\m,-m+3)

/.A(O,-m+3),C(m,-2m+3)

QA=KC=5—(-m+3)=机+2

・・.K(—2,—2m+3)

将点K(—2,—2m+3)代入直线y=%+3中，

解得：，"=1

尸'(1，2)

尸(-1,2)

(3)解：由(1)可得，K点的轨迹为垂直于直线/垂直的一条直线，

当t>0时，如图所示，

在。M'上找到一点P,得K点落在y=x+2上，则当K的轨迹所在直线上与相切时，，取得最大

如图所示，当K刚好在直线丫=尤+2上时，K(l,3),依题意，AQPK是等腰直角三角形,

•••直线/与直线左垂直，且过点K(l,3)

直线上的解析式为'=-工+4

Vr=l

t=4+V2，

如图所示，当f<0时，

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同理可得/=-四，

综上所述，-V2<r<4+V2.

【点睛】本题考查了几何新定义，理解新定义中K点轨迹是解题的关键.

6.⑴见解析

⑵4尸=10

【分析】(1)根据切线的性质得出/丛。=90。，则ZPAC=/B4。-/0AC=9(T-/0AC,根据等腰三角

形的性质，三角形内角和定理得出/AOC=180-2NOAC,即可得证；

(2)延长AC交依于点。，过。作OE1AC于点E,根据垂径定理勾股定理求得E。，证明四边形

OEC8是矩形，进而可得DB=£0=4,根据切线长定理得出上4=尸3,进而设设PA=x,则

PD=PB—DB=x-3,在RtAPAD中，AP2^PD2+AD2,建立方程，解方程即可求解.

【详解】(1)证明：•••/%是。。的切线，

ZPAO=90°,

V0A=0C,则/OC4=/Q4C,

Z.ZAOC=180-2ZOAC,

又ZPAC=ZPA0-ZOAC=90°-ZOAC,

ZAOC=2ZPAC；

(2)解：如图所示，延长AC交PB于点。，过。作OE/AC于点E,

AO=5

在RtA4EO中，EO=y/AO2-AE2=752-32=4-

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,/AC//OB,OBVBP,

：.ADA.PB,

，四边形OEDB是矩形，

DB=EO=4,

：.£D=O3=5,AD=AE+ED=3+5=8,

,/PA,P5是。。的切线，

PA=PB,

设尸A=x,则=—=x—3

在RtARW中，AP~=PD1+Ab1

X2=82+(X-4)2

解得：x=10,

即PA=10.

【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，矩形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，熟练掌握以上

知识是解题的关键.

7.(1)@(3,3)；②-I；

⑵(。，-2)；

(3)—14左41且左。0.

【分析】(1)①按定义操作即可得出答案；

②设直线y=x+i的图像上任意一点坐标为(x,x+i),然后按定义操作即可得出答案；

(2)设直线y=2x+l的图像上任意一点坐标为(。,2.+1),求出该点的变换点坐标，根据横纵坐标之间的

关系求出直线y=2x+i的变换图形的解析式即可得出答案；

(3)设。。上点的坐标为(X,y),可得f+y2=i,然后求出其变换点到原点的距离为0,可得0。的变

换图形是以原点为圆心，半径为0的圆，再根据直线>=履+2上恒过点(-2,0),求出直线>=履+2人与

的变换图形相切时的左值即可.

【详解】(1)解：①按定义操作：3-0=3,3+0=3,

二点(3,0)的变换点的坐标为(3,3),

故答案为：(3,3)；

②设直线y=x+l的图像上任意一点坐标为(羽％+1),

按定义操作：x-(x+l)=-l,

直线y=x+l的变换图形上任意一点的横坐标为-1,

故答案为：-1；

(2)解：设直线y=2x+l的图像上任意一点坐标为(°,20+1),

则该点的变换点坐标为1,3a+1),

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人JX=—ci—]①

殳[y=3〃+1②'

①x3+②得：3x+y=-2,

y——3x—2,

当x=0时，y=-3x-2=-2,

・・・直线y=2x+l的变换图形与y轴公共点的坐标为(0,-2)；

(3)解：设。o上点的坐标为(x,y),

的半径为1,

...点(羽，)到原点的距离为1,

22

x+y=1f

:。。上的点(元,丁)的变换点坐标为(尤-y,尤+y),

,其变换点到原点的距离为：J(x-»+(%+»=&-2母+_/+1+2孙+/=小2优+力=0,

二。。的变换图形是以原点为圆心，半径为夜的圆，

又•.•直线>=履+2无=左(犬+2),

...直线V=依+2上恒过点(-2,0),

如图，点A(-2,0),直线>=履+2左与了轴交于点C,

当直线y=履+2左与的变换图形相切于点2时，可得ZABO=90°,

二AB=y/OA1-OB2=74^2=72)

AB—OB,

.•.△AB。是等腰直角三角形，

Z.ZBAO=45°,

AAOC是等腰直角三角形，

/.OA=OC=2,

：,止匕时直线y=丘+2上过点(o,2),

2=2左，

解得：k=l,

同理，当直线丁=履+2k与QO的变换图形相切于x轴的下方时，可得上=-1,

若。。的变换图形与直线>=履+2乂人/0)有公共点，%的取值范围为-1〈左W1且

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【点睛】本题考查了新定义，一次函数的应用，圆的基本概念，切线的性质，两点间的距离公式，勾股定

理等知识，正确理解变换图形的定义，能够准确表示出变换点的坐标是解题的关键.

8.(1)①4，4；②不存在，理由见解析

(2)0<yc<2

【分析】(1)①根据对称平衡点的定义进行判断即可；②不存在，根据对称平衡点的定义进行讨论可得结

论；

(2)画出图形进行判断即可.

【详解】(1)①如图所示，点。。,2),耳0=质,勺8=如，则6'0=弓8；P3Q=y/10,P^B=y/10,贝。

PQ=P；B，

线段AB的“对称平衡点”的是：,月；

故答案为：4，鸟;

②不存在

设尸为线段A6上任意一点，则它与线段4?上点的距离最小值为0,最大值为PA和尸8中的较大值；显然

PA<3,PB<3

点尸关于x轴的对称点为P',它到线段AB上任意一点的距离>4

即若M,N是线段AB上的任意两点，PM&3,P'N>4,不存在=

线段AB上不存在线段AB的“对称平衡点”；

(2)如图，由②可知线段MN上不存在0A的“对称平衡点“，0。上存在的“对称平衡点”，

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A（0,2）,0（0,0）

?.0<yc<2

【点睛】本题考查了对称平衡点.两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，

学会取特殊点特殊位置解决问题.

9.

⑵74-20W/V-l4+20或-6-20与4-6+2逝

【分析】（1）根据题意可得否（-2,0）,歹（O,T）,根据新定义可得，点A（4,0）与直线-2尤-4上的任意一点

所成的线段的中点，即为直线EN',设直线关于/：尤=。的对称直线与天轴的交点为“，直线

，=-2》-4关于点/及直线/的“对应图形”与直线y=-2x-4的交点在无轴的上方，则只需要点H在点E

左侧，据此可得无H〈尤E，即可求解.

（2）根据题意，先画出图形，由的圆心T&0）,半径为2,③丁关于点。及直线/的“对应图形”，

0（6,4）,根据新定义求得中点坐标，再关于产-1对称，根据直线与圆的位置关系，即可求解.

【详解】（I）解：如图所示，直线y=-2x-4,

当x=0时，>=-4,当y=0时，元=一2,

则E（-2,0）,网0,-4），

则点A（4,0）与直线-2尤-4上的任意一点所成的线段的中点，即为直线EF,

.•.£（1,0）,F（2,-2）

设直线EP的解析式为y=%（尤-1）,

—2=左（2-1）

解得：k=-2

：,直线E'F'的解析式为y=-2x+2,

设直线EF关于，：x=a的对称直线与x轴的交点为H,

直线y=-2x-4关于点/及直线/的“对应图形”与直线y=-2x-4的交点在x轴的上方，则只需要点“在

点E左侧，

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因止匕/<九,

xH<-2

X-a=XH^XE'

•-2+1口口1

,・。<———,Bp6Z<—-

(2)07的圆心T&O),半径为2,07关于点。及直线/的“对应图形”，。(6,4),

t+60+4

则厂是以为圆心,半径为i,

作。T'关于x=T的对称的圆。M,则此圆是以1;-5,2)为圆心的圆，半径为1,

•.•点4(4,0),3(0,4),C(-4,0),

直线BC的解析式为>=尤+4,当y=2时，尤=-2,

直线的解析式为>=-尤+4,当y=2时，x=2,

,/QM与AABC的边有交点，

当。/在BC的左侧，与8C相切时，”到(-2,2)的距离为应,

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一（0+2）=一：一5,

解得：r=2四-6，

当。M在3c的右侧，与8c相切时，M到（-2,2）的距离为亚

-（2-V2）=-1-5,

解得：r=-6-272>

当0M在A5的左侧，与相切时，M至1」（2,2）的距离为④

2-V2=-^-5；

解得：/=—14-2逝，

当。/在AB的右侧，与相切时，〃至!]（2,2）的距离为友

2+V2=-^-5；

解得：r=—14+2也，

结合图形可知：-14-2夜WtW-14+2日或-6-20W/V-6+20.

【点睛】本题考查了几何新定义，一次函数的性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握新定义，中点坐标公

式以及轴对称的性质是解题的关键.

10.⑴20，3

（2）6的取值范围是或-CvbW-石；

（3）2--<Z<—+1

22

【分析】（1）设经过点〃的直线与0。交于石、F两点,过点。作于X,连接OM,OE,利用

垂径定理得到£F=2E”，由勾股定理可得当由最大时，EH最小,即此时EF最小，求出0河=0,再

由得到当点〃与点M重合时，OH有最大值0,即可求出EF的最小值为2&，则被圆。截

得的弦长取值范围为204*44,再由被圆。截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦

只有1条，可得点初关于圆0的特征值为3；

（2）根据题意得，关于圆。的特征值为4的所有点都在以。为圆心，厉为半径的圆周上，分当方>。时

和当6<0时，两种情况讨论即可求解；

（3）由于同一平面内，对于任意一点。，经过。、。的直线与圆。截得的弦（直径）都为4,则点。关

fr=1fr=2

于圆。的特征值不可能为0,由此可得小。0,贝！J。或1;经过点S且弦长为4（最长弦）的直线

[s=21s=1

有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，由（2）可知点S一定在以。为圆心，以立为半径的圆上，

2

同理点R一定在以T为圆心，以且为半径的圆上，则当满足以。为圆心，2为半径的圆与以7为圆心，

2

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正为半径的圆有交点，且同时满足以。为圆心，立为半径的圆与以7为圆心，1为半径的圆有交点时f

22

的值符合题意，由此求解即可.

【详解】（1）解：设经过点M的直线与。。交于E、尸两点，过点。作于连接OM,0E,

EF=2EH,

在RtAOEH中，由勾股定理得EH=yJOE2-OH2=J4-W,

.•.当OH最大时，耳/最小，即此时所最小，

•••点M的坐标为。，1）,

•,OM=Vl2+12=V2>

XVOH<OM,

当点〃与点加•重合时，有最大值0,

此时EH有最小值,4一（闾?=72,

；.所的最小值为20

•••过点〃的直线被圆。截得的弦长的最大值为4（直径），

被圆。截得的弦长取值范围为204尤44，

被圆。截得的弦长为正整数的只有是3或4,

•••被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长