2023年人教版八年级下册数学 第17章 勾股定理 压轴题训练（含答案解析）

第17章勾股定理期末压轴题训练

1.如图1所示，等边AABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”

特性，AD平分NBAC,且AD_LBC,则有/BAD=30。，BD=CD=；AB.于是可得出结论

“直角三角形中，，30。角所对的直角边等于斜边的一半”.

请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题:

(1)如图2所示，在AABC中，ZACB=90°,BC的垂直平分线交AB于点D,垂足

为E,当BD=5cm,NB=30。时，Z\ACD的周长=.

(2)如图3所示，在AABC中，AB=AC,ZA=120°,D是BC的中点，DE_LAB,垂

足为E,那么BE：EA=.

(3)如图4所示，在等边AABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC,AD、

BE交于点P,作BQLAD于Q,若BP=2,求BQ的长.

2.定义：若三角形三个内角的度数分别是X。，V和Z。，满足X2+/=Z2,则称这个三角

形为勾股三角形.

(1)根据上述定义，判断“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题，并说明理由;

(2)已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x。，/和z。，且孙=2160,求x+y的值;

(3)如图，在△N3C中，AB=46,BC=2,NC=1+打，求证：△/3C是勾股三角形.

3.如图，在比△/BC中，N/2C=90°,AB=S,3c=6,点D为/C边上的动点，点

。从点C出发，沿边C4向点/运动，当运动到点/时停止，若设点。运动的时间为/

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秒.点。运动的速度为每秒1个单位长度.

(1)当t—2时，CD—_,AD=_；

(2)求当:为何值时，是直角三角形，说明理由;

⑶求当/为何值时，△C2。是以3。或CD为底的等腰三角形？并说明理由.

(备用图)

4.我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方,

则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.

•特例感知

①等腰直角三角形一勾股高三角形(请填写“是”或者“不是”)；

②如图1,已知A43C为勾股高三角形，其中。为勾股顶点，CD是边上的高.若

BD=2AD=2,试求线段CD的长度.

图1

•深入探究

如图2,已知及43。为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且C4>C2,CD是AB边上的

高.试探究线段与CZ?的数量关系，并给予证明；

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BDA

图2

•推广应用

如图3,等腰A48C为勾股高三角形，其中=CD为A8边上的高，过点

。向BC边引平行线与NC边交于点£.若CE=a,试求线段的长度.

图3

5.在△NBC中，AB=AC,NB/C=90。，点。为线段8C上的一个动点，以/£＞为直角

边向右作等腰口尸，®AD=AF,ZDAF=90°.

(1)如图1,连结CF,求证：4ABD咨AACF；

(2)如图2,过N点作△/£)尸的对称轴交于点£,猜想BO?,DE,CE关系，并证

明你的结论；

(3)点E在的延长线上时，其他条件都不变时，上述(2)的结论还能成立吗？如

果不能成立，请说明理由；如果能成立，请证明结论.

6.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形.

(1)如图1,四边形48co中，4c平分NB4D,ZB=ZD.求证：四边形48co为等

邻边四边形.

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(2)如图2,RM/8C中，ZABC=90°,AB=2,BC=1,将沿/ABC的平分

线8"的方向平移，得到AZ'B'C',连接44」BC,若平移后的四边形Z8CW是等邻

边四边形，求平移的距离.

(3)如图3,在等邻边四边形48CD中，AB=AD,ZBAD+ZBCD=90°,/C和2。

为四边形对角线，ABCD为等边三角形，试探究/C和N3的数量关系.

7.(1)问题发现：如图1,4ACB和4DCE均为等边三角形，当4DCE旋转至点A,

D,E在同一直线上，连接BE,易证△BCEgZkACD.贝(J：

①/BEC=_。；②线段AD、BE之间的数量关系是

(2)拓展研究：

如图2,ZkACB和4DCE均为等腰三角形，且/ACB=NDCE=90。，点A、D、E在同

一直线上，若AE=15,DE=7,求AB的长度.

(3)探究发现：

如图3,P为等边aABC内一点，且/APC=150。，且NAPD=30。，AP=5,CP=4,

DP=8,求BD的长.

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8.如图1,在等边△A8C中，线段为BC边上的中线，动点。在直线(点。

与点A重合除外)上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△(7£)£,连接BE.

(1)判断/。与是否相等，请说明理由；

(2)如图2,若NB=8,点P、0两点在直线BE上且C尸=CQ=5,试求P。的长；

(3)在第(2)小题的条件下，当点。在线段的延长线(或反向延长线)上时.判

断尸。的长是否为定值，若是请直接写出尸0的长；若不是请简单说明理由.

9.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC,CD是/ACB的角平分线，点E、F

分别是边AC、BC上的动点.AB=V32＞设AE=x,BF=y.

(.1)AC的长是」

(2)若x+y=3,求四边形CEDF的面积;

(3)当DE_LDF时，试探索x、y的数量关系.

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10.如图，将两块腰长相等的三角尺（ZkABC和△DEF,其中NACB=NDFE=90。）

置于水平面上，直角边BC=EF=lcm,且始终紧贴在水平直线/上.

（1）在图①中，当边DF与边AC重合时，AB与AE的大小关系是；

（2）将三角板ABC以lcm/s的速度从图①的位置沿直线/向右平移，设平移的时间为

t（s）,如图

②所示.当0<t<l时，DE分别交AC、AB于点G、H,DF分别交AB、BG于点P、

Q，

连结BG、AE.

①求证：BG=AE；

②在平移过程中，是否存在某时刻t,使得以点D、G、Q为顶点的三角形是等腰三角

形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

11.【问题情境】

徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题：

如图1,△48C中，NB=2Z.C,40是/A4C的平分线.求证：AB+BD=AC

小敏的证明思路是：在/C上截取

连接。E.（如图2）

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小捷的证明思路是：延长CB至点E,使BE=4B,连接/£可以证得：(如图

3)

请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明.

【变式探究】

%。是/A4c的平分线”改成“4D是3C边上的高”，其它条件不变.(如图4)

成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出你的正确结论，并说明理由.

【迁移拓展】

△/2C中，NB=2NC.求证：AC2^AB2+ABBC.(如图5)

12.如图，C为线段8。上一动点，分别过点优。作48_L5。,连接/C,EC.已

知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.

(1)用含x的代数式表示/C+CE的值；

(2)探究：当点C满足什么条件时，/C+CE的值最小？最小值是多少？

(3)根据(2)中的结论，请构造图形求代数式4r1+J(12-x)2+9的最小值.

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A

D

E

13.如图①，在等腰直角三角形BCD中，ZBDC=9Q°,BF平分/DBC,与CD相交

于点尸，延长AD到/,使D4=DF.

(1)求证：MBD安△ACD；

(2)延长B9交/C于点E,S.BELAC,求证：CE=?F；

(3)在(2)的条件下，〃是8C边的中点，连接与相交于点G,如图②.试

探索CE,GE,3G之间的数量关系，并证明你的结论.

14.如图1,△43C中，NC=90。，点。在/C上，过点。作于点E,过点。

作直线/LNC,点£和£关于/对称，射线。£与三角形的另一边交于点E设4。的

长度为x,△NBC在线段D9右侧部分的面积为y,y与x的函数图象如图2所示(其中

0<x<m,〃z<xW8时，函数的解析式不同).

(1)填空：NC的长度为,8c长度为；

(2)求正的值；

(3)求了关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

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m8

15.已知：ZUCD和△8C£都是等腰直角三角形，ZACD=ZBCE=90°.

(1)如图，摆放ANCD和△8CE时(点/、C、8在同一条直线上，点E在CD上)，连

接/£、BD线段4E与8。的数量关系是—，位置关系是.(直接写出答案)

(2)如图，摆放△4CD和△BCE时，连接4£、BD,(1)中的结论是否仍然成立？请说

明理由；

C

(3)如图，摆放和△3CE时，连接/£、DE.若有/£2=。印+20£2,试求/QEC

的度数.

16.在菱形ABCD中，点Q为AB边上一点，点F为BC边上一点连接DQ、DF和QF.

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(1)如图1,若NADQ=NFDQ,ZFQD=90°,求证：AQ=BQ；

(2)如图2,在(1)的条件下，ZBAD=120°,对角线AC、BD相交于点P,以点P

为顶点作/MPN=60。，PM与AB交于点M,PN与AD交于点N,求证：DN+QM=AB；

(3)如图3,在(1)(2)的条件下，延长NP交BC于点E,延长CN到点K,使CK=CA,

连接AK并延长和CD的延长线交于点T,若AM：DN=1：5,S四边形MBEP=12V3.求线

段DT的长.

17.如图1,在正方形48CD中，点E为AD上一点，FG_LCE分别交AB、CD于F、

G,垂足为0.

(1)求证：CE=FG；

(2)如图2,连接02,若AD=3DE,ZOBC=2ZDCE.

①求?1的值;

②若AD=3,则0E的长为_(直接写出结果).

18.如图，在△48C中，ZACB=90°,AC=BC,AB=2,CD是边N2的高线，动点E

从点N出发，以每秒1个单位的速度沿射线/C运动；同时，动点尸从点C出发，以相

同的速度沿射线C8运动.设E的运动时间为f(s)(t>0).

<1)AE=(用含/的代数式表示)，ZBCD的大小是度;

(2)点£在边NC上运动时，求证：MDE咨4CDF；

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（3）点E在边/C上运动时，求NEDF的度数；

（4）连结3E,当CE=4D时，直接写出/的值和此时对应的值.

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参考答案:

1.(1)15cm；(2)3：1；(3)BQ=V3.

【解析】整体分析：

（1）由“直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半”求AC的长；（2）连接AD,由“三

线合一”得NBAD=60。，利用直角三角形中的30。角所对的直角边的性质，分别把BE,EA

用BD表示；（3）证明ABAE之△ACD,得NBPQ=60。，结合勾股定理求解.

解：（1）；DE是线段BC的垂直平分线，ZACB=90°,

；.CD=BD,AD=BD.

又：在AABC中，ZACB=90°,ZB=30°,

.*.AC=-AB,

2

AAACD的周长=AC+AB=3BD=15cm.

故答案为15cm；

（2）连接AD,如图所示.

•.•在AABC中，AB=AC,ZA=120°,D是BC的中点，

.,.ZBAD=60°.

XVDEXAB,

AZB=ZADE=30°,.\BE=^BD,EA=-AD,

22

1

VBD=V3AD,.,.EA=-AD=—BD.

26

ni

.e.BE:EA=—BD：-AD,

22

・・・BE:AE=3:1.

故答案为3:1.

答案第1页，共36页

(3)VAABC为等边三角形.

AAB=AC,ZBAC=ZACB=60°,

在4BAE和4ACD中，

AE=CD,ZBAC=ZACB,AB=AC,

.,.△BAE^AACD(SAS),AZABE=ZCAD.

・.,/BPQ为AABP外角，

・•・ZBPQ=ZABE+ZBAD.ZBPQ=ZCAD+ZBAD=ZBAC=60°,

VBQXAD,

・・・NPBQ=30。，・・・BP=2PQ=2,APQ=1,

；.BQ=dBP-PQ272T=6

2.(1)“直角三角形是勾股三角形”是假命题；(2)102；(3)△N8C是勾股三角形.

【解析】试题分析：(1)直接根据“勾股三角形”的定义，判断得出结论即可；

(2)利用已知得出等量量关系组成方程组，进而求出x+y的值；

(3)过2作B/LL/C于X,设AH=x,利用勾股定理首先得出//，HC=1,进而

得出乙4=45。，ZC=60°,48=75。，即可得出结论.

试题解析：(1)解：“直角三角形是勾股三角形”是假命题.理由如下：

•对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x。、y。和z。，若满足/+j?=z2,则称这个三

角形为勾股三角形，，无法得到所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；

答案第2页，共36页

x+j/+z=180

(2)解：由题意可得：,肛=2160,解得：x+y=102；

x2+y2=z2

(3)证明：过B作5"_L4C于H,如图所示，设

中，BH=yj6-x2-中，(巡-号,+(1+6-'=4，解得：x=也,

：.AH=BH=y/3,HC=l,：.ZA=ZABH=45°.,：BC=2,HC=\,：.ZHBC=3>0°,：.ZBCH=60°,

/ABC=75°,452+602=752,.♦.△ABC是勾股三角形.

点评：本题主要考查了新定义、多元方程组解法、勾股定理，利用勾股定理得出/〃，HC

的长是解题的关键.

3.(1)2,8；(2)1=3.6秒或10秒(3)f=6秒或7.2秒时

【解析】试题分析：(1)根据CD=速度x时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出

AC,再根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解；

(2)分①NCDB=90。时，利用AABC的面积列式计算即可求出BD,然后利用勾股定理列

式求解得到CD,再根据时间=路程+速度计算；②NCBD=90。时，点D和点A重合，然后

根据时间=路程+速度计算即可得解；

(3)分①CD=BC时，CD=6；②BD=BC时，过点B作BFLAC于F,根据等腰三角形三

线合一的性质可得CD=2CF,再由(2)的结论解答.

试题解析：(l)t=2时，CD=2xl=2,

VZABC=90°,AB=8,BC=6,

**,AC=yjAB2+BC2=A/S2+62=10，

AD=AC-CD=10-2=8；

答案第3页，共36页

故答案是：2；8.

(2)①/CDB=90。时，SAABC=|AC-BD=yAB-BC,

即gxlO.BDugxgxG,

解得BD=4.8,

**-CD=y/BC2-BD2=V62-4.82=3.6,

t=3.6+l=3.6秒；

②/CBD=90。时，点D和点A重合，

t=10+l=10秒，

综上所述，t=3.6或10秒；

故答案为(1)2,8；(2)3.6或10秒；

(3)①CD=BC时，CD=6,t=6-l=6；

②BD=BC时，如图2,过点B作BF_LAC于F,

则CF=3.6,

CD=2CF=3.6x2=7.2,

•,.t=7.2-l=7.2,

综上所述，t=6秒或7.2秒时，ACBD是以BD或CD为底的等腰三角形.

4.•特例感知:①是；②6；•深入探究：AD=CB,理由见解析；•推广应用：2a.

答案第4页，共36页

【分析】•特例感知①根据勾股高三角形的定义进行判断即可;

②设CD=x,根据勾股定理可得：CB2^CD2+4,CA2^CD2+1,根据勾股高三角形的定义列

出方程，解方程即可；

•深入探究：根据勾股高三角形的定义结合勾股定理即可得出它们之间的关系；

・推广应用：运用探究的结果进行运算即可

【解析】解：•特例感知①等腰直角三角形是勾股高三角形，

故答案为：是；

②设CD=X,

根据勾股定理可得：。32=。。2+4,02=。。2+1,

于是CZ)2=(cr>2+4)-(CZ>2+l)=3,

/.CD=6

•深入探究：由CT-C8?可得：CA1-CD1^CB-,IfnCA2-CD2AD2,

AD2=CB1,即4D=C8；

图2

答案第5页，共36页

•推广应用

过点/向引垂线，垂足为G,

「'勾股高三角形F/BC为等腰三角形，SLAB=AC>BC,

/.只能是NC?-Be?=CD?,由上问可知4D=3C.

5LED//BC,：.Zl=ZS.

而44GD=/CD3=90°,

.,.△AGD名ACDB(AAS),

DG=BD.

'：LADE与△/BC均为等腰三角形，

根据三线合一原理可知ED=2DG=2BD.

又4B=AC,4D=AE,

BD=EC=a,

ED=2a.

图3

5.（1）证明见解析；（2）DE2=CE2+BD2,理由见解析；（3）结论成立，证明见解析.

【分析】（1）由已知条件可知：/8=/C，/D=/£，ZBAC=ZDAF=90°,由此可得

从而可由“SAS”证得△48。g△/CF；

（2）由（1）中所得结论且△NCF可得：CF=BD,ZACF=ZB=ZACB=45°,从而可

得NECF=45o+45o=90。；由/£是等腰直角尸的对称轴可得：/£垂直平分。尸，由此可

答案第6页，共36页

得DE=EF；在用中，iEF2=CE2+CF2,结合前面结论可得：DE-=CE2+BD-.

(3)如图3,由已知条件可证以ZUCF,由此可得CF=AD,/4CF=/B=/4CB=45。,

从而可得/。CF=N/C8+N/CF=90。，贝!JN£CF=90。；由NE是等腰直角△/£)厂的对称轴可

得：/£垂直平分。下，从而可得。£=跖；在瓦△ECF中，由E产=C0+c严结合前面结论可

得：DE2=CE2+BD2,即(2)中结论成立.

【解析】(1)VZBAD+ZDAC=90°,ZDAC+ZCAF=90°,

：.ZBAD=ZCAF,

在△ABD与△/(7尸中，'：AB=AC,ZBAD=ZCAF,AD=AF,

：.AABD^/\ACF；

(2)•:AABD冬AACF,

：.ZACF=ZB=45°,DB=CF,

又；ZACD=45°,

：.ZFCD=ZFCA+ZACD=90°,

：.EF2=CE2+CF2,

是△D/F的对称轴，

：.DE=EF,

：.DE2=CE2+BD2；

(3)结论成立，

易证△NBD之△/CF,

AZACF=ZB=45°,DB=CF,

：.ZECF=^0°-ZBCF=90°,

：.EF2=CE2+CF2,

是△£>/尸的对称轴,

答案第7页，共36页

：.DE=EF,

：.DE2=CE2+BD2.

【点评】(1)解决第2问的关键是通过证：/EC尸=90。，EF=DE,BD=CF,这样就可把在

同一直线上的三条线段：BD、DE.EC集中到口△所C中，通过勾股定理来证明它们之间

的数量关系；(2)解决第3问的关键是按题意在备用图中画出符合题意的图形，然后参照第

2间的思路即可证明在新的图形中，第2问中的结论仍然成立.

6.(1)证明见解析；(2)平移距离可为石、2、夜、巫二包；(3)AC=42AB.

2

【解析】试题分析：

(1)由已知条件通过证△ABC^^ADC可得结论；

(2)由已知易得：平移距离=5夕=44,，由/8=2,BC=l,AABC=90°,易得

AC=A'C'=45.再分以下四种情况讨论计算即可：①==时；②W4'=4B=2；

③3。=。'/'=百时；④4B=BC'=2时；

(3)如图，把AABC绕点逆时针转到△ADC处，连接CC,通过证△ACCs^ABD及证

△CCD是等腰直角三角形即可求得AC与AB间的数量关系.

试题解析：

(1)平分Z8/。，

ABAC=ADAC,

,:NB=ND,AC^AC,

：.AABC也"DC,

AB=AD,BC=DC,

答案第8页，共36页

?./BCD是等邻边四边形.

（2）由平移可知平移距离=8夕=44,

由/5=2,BC=1,AABC=90°,

由勾股定理可得：AC=AC'=5

①HC=©/=后时，

：.BB，=AA=5

②/4=48=2时，

BB'=AA'=1.

③8C'=C'4=V^时，如图1,延长CB，交AB于点H,设BH=x,

则在RtABCH中，有（1+苫）2+/=心『，

易得XI=l,x2=-2（舍），

•,BB'—y[2x=V2-

④/8=3。=2时，如图1,

则在Rt2\BCH中，有（l+xY+/=2?,

易得再=三"，X2=Z1V7（舍），

：.BB'=4ix=^^H,

2

综上，平移距离可为石、2、及、色二包；

答案第9页，共36页

(3)AC=4^AB，理由如下：

将A48C绕A旋转至处，连接CC',

则由旋转的性质和已知可得：ZC,AC=ZDAB,AC'=AC,AD=AB,CD=BC=DC,

由此可得：AACCSABD,

VZl+Z2+Z3+Z4=90°,Z5=Z2,Z6=Z4,

AZl+Z5+Z3+Z6=90°,

.,.ZADC,+ZADC=180o+180o-90o=270°,

ZC,DC=360°-270°=90°.

又：CD=BC=DC,

/.△C'DC是等腰直角三角形，

；•CC'=叵CD=CBD，

/.AACC与&ABD的相似比为血：1,

.ACCC41

••---=----=---,

ABBD1

/•AC=亚AB-

答案第10页，共36页

6

点评：解第(2)小问时，需注意两点：①根据“等邻边四边形”的定义可知：使四边形NBC'7'

是等邻边四边形，存在四种可能性，每种都要分析讨论到，不要忽略了任何一种情况；②在

讨论后两种情况时，抓住BB，是直角的平分线这一点，通过延长CB，交AB于点H构造等腰

直角三角形问题就很容易解决了.

7.(1)①120。，②AD=BE；(2)AB=17；(3)BD的长为13.

【解析】解：(1)①和△DCE均为等边三角形，

：.CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°.

：.ZACD=ZBCE.

在和△BCE中，

4C=BC

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

：./\ACD^/\BCE(”S).

NADC=/BEC.

,/△DCE为等边三角形，

：.NCDE=/CED=60°.

•.,点4,D,E在同一直线上，

AZADC=\2Q°.

答案第11页，共36页

，NBEC=120°.

故答案为：120.

②由①得：△/CO且△3CE,

：.AD=BE；

故答案为：AD=BE.

(2)和△Z)CE均为等腰直角三角形，

：.CA=CB,CD=CE,NACB=NDCE=9Q°.

：.ZACD=ZBCE.

在△ZCZ)和△3C£中，

AC=BC

-ZACD=ZBCE,

CD=CE

:.LACD名LBCE(£4S).

:・AD=BE=AE-DE=15-7=8,NADC=/BEC,

•••△OCE为等腰直角三角形

：.ZCDE=ZCED=45°.

,点4D,£在同一直线上，

，/4DC=135°.

:.NBEC=135°.

：.NAEB=/BEC-NCED=90°.

^AB=ylAE2+BE2=7152+82=17；

(3)把△4PC绕点。逆时针旋转60°得△8EC,连接PE,如图所示:

贝|J△8EC名△4PC,

答案第12页，共36页

:.CE=CP,ZPCE=60°,BE=AP=5,/BEC=/APC=150°,

4PCE是等边二角形，

:./EPC=NPEC=6Q°,PE=CP=4,

：.ZBED=/BEC-/PEC=9Q°,

VZAPD=30°,

：.ZDPC=150°-30°=120°,

又；/DPE=/DPC+/EPC=12Q°+60°=180°,

即。、P、£在同一条直线上，

DE=DP+PE=8+4=12,

在RSDE中，BD=dDE?+BE。=7122+52=13，

即BD的长为13.

8.(1)AD=BE；(2)尸。=2尸N=2><3=6；(3)是定值，见解析

【分析】(1)根据等边三角形的性质可得/C=3C,CD=CE,再求出然后利

用“边角边”证明和△3CE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；

(2)过点C作CNL80于点N,根据等腰三角形三线合一的性质可得尸Q=2PN,CMLAD,

根据全等三角形对应边上的高线相等可得CN=CM,然后利用勾股定理列式求出PN的长度,

从而得解；

(3)根据(2)的结论，点C到P。的距离等于CM的长度，是定值，所以，P。的长是定

值不变.

【解析】解：(1)AD=BE.理由如下：

答案第13页，共36页

MABC,△COE都是等边三角形，

：.AC=BC,CD=CE,

9：ZACD+ZBCD=ZACB=60°,

ZBCE+ZBCD=ZDCE=60°,

：.NACD=/BCE,

在△ZCZ）和△5C£中，

AC=BC

<ZACD=/BCE,

CD=CE

「△ACD会ABCE（SAS）,

：.AD=BE；

（2）如图，过点。作CNLB。于点N,

•：CP=CQ,

：.PQ=2PN,

:△45C是等边三角形，4A/是中线，

：.CM±AD,CM="C=；X8=4,

：.CN=CM=4（全等三角形对应边上的高相等），

•：CP=CQ=5,

・•・PN=y]cP2-CN2=752-42=3，

・••尸0=2尸22x3=6；

（3）尸。的长为定值6.

・・,点。在线段加/的延长线（或反向延长线）上时，△ZC。和△5CE全等,

答案第14页，共36页

二对应边BE上的高线对应相等,

ACN=CM=4是定值,

：.PQ的长是定值.

【点评】此题考查了等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质.

9.(1)4；(2)5；(3)x+y=4.

【分析】(1)根据锐角三角函数得到AC的长；

(2)过点D作DG_LAC于点G,DH_LBC于点H,由/ACB=90。，AC=BC,CD是/ACB

的角平分线得到/A=NB=NACD=/BCD=45。，CD±AB,AD=CD=BD,在等腰直角三角

形ACD中，DGLAC,/A=45。求出DG=AG=^AC=2,DH=2,求出四边形CEDF的面积;

(3)当DE_LDF时，ZEDF=90°,又因为CD±AB得至l」NADE+/EDC=/EDC+/CDF=90。,

证得△ADEdCDF,AE=CF,AE+BF=CF+BF=BC,即x+y=4.

【解析】(1)在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,

.-.AC=—AB,

2

VAB=V32,

AACM；

(2)如图，过点D作DG_LAC于点G,DHLBC于点H

答案第15页，共36页

VZACB=90°,AC=BC,CD是/ACB的角平分线

/.ZA=ZB=ZACD=ZBCD=45°,CDXAB

；.AD=CD=BD

•.•在等腰直角三角形AC.D中，DG_LAC,ZA=45°

.,.DG=AG=yAC=2

同理DH=2

,/SACDE=|CE.DG=4-x,SACDF=|CF-DH=4-y,

二・S四边形CEDF=SACDE+SACDF=(4-x)+(4-y)=8-(x+y)=8-3=5；

(3)当DE_LDF时，NEDF=90。

VCDXAB

I.ZADE+ZEDC=ZEDC+ZCDF=90°

AZADE=ZCDF,

又「NA=NDCF=45。，AD=CD

在4ADE与ACDF中，

ZADE=ZCDF

<AD=CD,

NA=NDCF

AAADE^ACDF

・・・AE=CF

答案第16页，共36页

；.AE+BF=CF+BF=BC即x+y=4.

10.(1)AB=AE；(2)®BG=AE；②(亚-l)s

【解析】试题分析：

试题解析：(1)AB=AE；

(2)①证明：

VAABC和4DEF都是等腰直角三角形

，AC=BC,DF=EF,ZACB=ZDFE=90°,

ZDEF=ZD=45°,

AGCE是等腰直角三角形.

同理可证ABEP是等腰直角三角形.

.\CG=CE.

ZACB=ZACE=90°,

二ABCG^AACE(SAS).

；.BG=AE.

②存在.

ZD=45°,可分三种情况讨论：

i)当NDGB=ND=45。时，

ZDGB=ZDEB+ZGBE=45°+ZGBE,

AZGBE=0°,即t=l.

;平移时间0<t<l,

...当/DGB=/D=45。时，不符合题意.9分

ii)同理可证，当/DQG=/D=45。时，不符合题意.10分

答案第17页，共36页

iii)当NDGB=NDQG时，

ZDGB=ZDEB+ZGBE=45°+ZGBE,

ZDQG=ZBPQ+ZPBQ=45°+ZPBQ,

.,.ZGBE=ZPBQ.11分

由已知易得NBHE=NACB=90。，

・・・GH=GC.

当平移时间为ts时，CF=tcm,

CE=CG=GH=(1-t)cm,AG=l-(l-t)=tcm,

VBC=AC=lcm,

•*«AB=V12+12=V2.12分

VS.=-AB-GH=-AGBC,

AADR(CJ22，

：.V2(1-i)=Z,解得，=^^=(3-1)(s).14分

考点：全等三角形；等腰直角三角形的性质与判定

11.证明见试题解析.

【分析】［问题情境］

小敏的证明思路是：在NC上截取4£=/瓦由角平分线的性质就可以得出

再证明八4。3空4DE就可以得出结论；小捷的证明思路是：延长C2至点E,使2£=/瓦连

接NE.就可以得出N£=NC,就有/£=/C,进而得出即可；

［变式探究］

CD上截取。连接由4D_LBC就可以得出NAED=NB,由

ZAED=ZC+ZCAE就有NC=/C4E得出AE=EC,进而得出结论；

［迁移拓展］

答案第18页，共36页

过点A作ADLBC于D.IS：AB2=BD2+AD2,AC2=CD2+AD2,AC2-AB2=CD2-BD-=BC

(CD-BD),由(2)的结论就可以得出(CD-BD)即可.

【解析】解：［问题情境］小敏的证明思路是：如图2,在NC上截取连接(如

图2)

是NA4c的平分线，

ZBAD=ZEAD.

在△48。和中，

"AB=AE

</BAD=ZEAD,

AD=AD

：./\ABD^/\AED(SAS),

：.BD=DE,ZABD=ZAED

VZAED=ZEDC+ZC,ZB=2ZC,

：.NEDC=/C,

：.DE=EC,

即AB+BD=AC；

小捷的证明思路是：如图3,延长C2至点E,使BE=AB,连接/E.

图3

ZE=ZBAE.

答案第19页，共36页

*.*/ABC=NE+/BAE,

：./ABC=2/E.

,?ZABC=2ZC,

：.NE=NC,

:・AAEC是等腰三角形.

・・Z。是NA4C的平分线，

，ZBAD=ZDAC.

・：/ADE=/DAC+/C,ZDAE=ZBAD+ZBAE

：.NADE=/DAE,

：.EA=ED=AC,

：.AB+BD=AC；

［变式探究］

AB+BD=AC不成立正确结论：AB+BD=CD...

理由：如图4,在CD上截取连接4E,

U：ADLBC,

・・・40是5月的中垂线,

：・AE=AB,

：.ZB=ZAED.

■:/AED=NC+/CAE,且NB=2NC,

答案第20页，共36页

:.NC=/CAE,

：.AE=EC.

即AB+BD=CD；

［迁移拓展］

证明：如图5,过点/作/£>_L2C于D

由勾股定理得：AB2=BD2+AD2,AC2=CD2+AD2,

：.AC2-AB2=CD2-BD2=(CD+BD)(CD-BD)=BC(CD-BD)

'：AB+BD=CD,

：.CD-BD=AB,

：.AC2-AB-=BC(CD-BD)=BC・AB,

即AC2=AB2+AB-BC.

【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的

运用，三角形的外角一内角的关系的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答时证明三角

形全等及运用勾股定理是关键.

12.(1)yl(S-x)2+25+ylx2+1；(2)A,C,E三点共线时；(3)13

【分析】(1)由于△NBC和都是直角三角形，故NC+CE可由勾股定理表示；

(2)若点C不在NE的连线上，根据三角形中任意两边之和大于第三边知，AC+CE>AE,

故当N、C、E三点共线时，/C+CE的值最小；

(3)由(1)(2)的结果可作8。=12,过点3作过点。作使/2=2,

答案第21页，共36页

ED=3,连接/E交AD于点C,则/E的长即为代数式"74+7(12二抗"的最小值，然

后构造矩形/ED3,MAAFE,利用矩形的直角三角形的性质可求得/£的值.

【解析】(1)J(8-xy+25+&+l；

(2)当4C,E三点共线时，/C+CE的值最小.

(3)如下图所示，作AD=12,过点B作4B_L5。，过点。作ED_LAD,使48=2,ED=3.连

接AE交BD于点C,AE的长即为代数式，Y+4+J(12-尤了+9的最小值.

过点A作/尸〃BZ)交ED的延长线于点F,得矩形ABDF,

贝!尸=2,AF=BD=812.

所以4E=7122+(3+2)2=13,即J/+4+"(12T)2+9的最小值为13.

考点：本题考查的是轴对称一最短路线问题

【点评】本题利用了数形结合的思想，求形如4rTZ+J(12-加+9的式子的最小值,可通

过构造直角三角形，利用勾股定理求解.

13.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)CE2+GE2=BG2,理由见解析.

【分析】(1)由已知等腰直角三角形△D2C可推出。3=。。，且/ADP=N4DC=90。，与己

知DA=DF通过SAS证得△F8D出△NCO；

(2)先由(1)AFBD名AACD得出BF=AC,再由3尸平分ZDBC和BEL4c通过ASA证

得AABEQACBE,即得"=/£=*/C,从而得出结论；

(3)连接CG,由〃是2。边的中点和等腰直角三角形△O3C得出2G=CG,再由直角三角

形CEG得出CE2+G£2=3G2,从而得出C£,GE,8G的关系.

答案第22页，共36页

【解析】（1）证明：•••△BCD是等腰直角三角形，且/3£>C=90。,

：.BD=CD,ZBDC=ZCDA=90°.

BD=CD

在AFBD和A4czl中，,NBDF=ZCDA

DF=DA

：.4FBD^AACD(SAS)；

(2)证明：；BE_LAC,

：./BEA=NBEC=90。.

•:BF平分NDBC,

：.ZABE=ZCBE,

5L'：BE=BE,

：.LABE名△CBE(ASA),

：.AE=CE.

：.CE=^AC.

由(1)知△FBDQdACD,

：.BF=CA,

：.CE=^BF；

(3)解：CE2+GE?=BG?.证明如下:

如图，连接CG,

答案第23页，共36页

A

是2c边的中点，BD=CD,

.♦./TO垂直平分3C,

.♦.3G=CG（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.

'JBELAC,

：.在RtACEG中,CG?=GE2+CE2,

,CE1+GE2=BG1.

【点评】考查的知识点是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分

线的性质，运用好"S、判定三角形全等及勾股定理是关键.

-4+2,

77《\2由乙）

14.(1)8,6；(2)-；(3)y=

NT•

才8一城

【分析】⑴利用图象信息求出/C、8C即可；

（2）如图3中，当点尸与8重合时，AD=m,解直角三角形求出CD即可解决问题；

7

（3）分两种情形：①如图4中，当时，作8G//D尸交/C于G.根据）=邑小-邑的，

71

计算即可；②如图5中，当时，根据＞=SA.C=5-OC-C尸，计算即可.

【解析】解：（1）由题意：AC=8,；x/Cx8C=24,

：.BC=6,

故答案为8,6.

答案第24页，共36页

(2)如图3中，当点尸与5重合时，AD=m.

图3

设直线/交于点H.

•・,直线/_L4C,DELAB,

：./AED=NADH=ZC=90°,

：.DH//BC,

：.ZBDH=/DBC,

•・•/EDH=/BDH,

：.ZDBC=NEDH,

VZADE+ZA=90°,/ADE+/EDH=90。,

,N4=NEDH=ZDBC,

tanZA=tmZDBC,

,BC=DC

**AC-BC，

.A=DC

••可一T，

9

:・CD=g

2

97

：.AD=AC-CD=8--,

22

,_7

.»m—

2

7

(3)①如图4中，当0〈止•时，作5G〃。尸交4C于G.

答案第25页，共36页

B

图4

7qi

由(2)可知：AG=-^-,CG=q,^5=.,/62+g2=io,

■:DF〃BG,

：.AD：AG=AF：AB,

7

•*»x：-—AF：10,

2

.".AF=y-x,

3

*.*DE=AD*sinA=­x,

5

：.y=S^ABC-S/DF=24-上与xqx=-%+24/

7

②如图5中，当彳■〈烂8时，

一：

图5।

1142

y=SDFC=-=->D&CF=(8-x)•-=-(8-%)=-=-(8-%)2,

A223