浙江省温州市第五十一中2025届数学高二下期末达标测试试题含解析

浙江省温州市第五十一中2025届数学高二下期末达标测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（）A．甲和丁B．乙和丁C．乙和丙D．甲和丙2．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．设，则“”是“直线与平行”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．设i是虚数单位，则复数i3A．-i B．i C．1 D．-15．甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为，则甲获胜的概率为()．A． B．C． D．6．已知函数存在零点,则实数的取值范围是()A． B． C． D．7．已知曲线在点处的切线方程是，且的导函数为，那么等于A． B． C． D．8．已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则（）A．函数的周期为 B．函数图象关于点对称C．函数图象关于直线对称 D．函数在上单调9．已知向量、、满足，且，则、夹角为（）A． B． C． D．10．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A．60 B．48 C．36 D．2411．执行如图程序框图，若输入的，分别为12，20，则输出的（）A．2 B．3 C．4 D．512．已知函数，则方程的根的个数为（）A．7 B．5 C．3 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，在圆锥中，为底面圆的两条直径，，且,，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为__________.14．已知点在不等式组，表示的平面区域上运动，则的取值范围是__________15．已知随机变量的分布列如下，那么方差_____.01216．在复数范围内解方程（i为虚数单位），________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，点，分别在棱，上，且满足，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.18．（12分）设全集为.（Ⅰ）求（）；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.19．（12分）设函数，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若对所有的，都有，求实数的取值范围．20．（12分）已知函数，其中为常数.（1）证明：函数的图象经过一个定点，并求图象在点处的切线方程；（2）若，求函数在上的值域.21．（12分）设函数f（x）＝x2+bln（x+1），其中b≠1．（1）若b＝﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于不同的两点，，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁答案选B真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证2、B【解析】

利用指数函数与对数函数的单调性，即可得到判定，得出答案.【详解】由题意，指数函数时，函数是增函数，所以不正确，是正确的，又由对数函数是增函数，所以不正确；对数函数是减函数，所以不正确，故选B.本题主要考查了指数函数以及对数函数的单调性的应用，其中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、C【解析】

先由直线与平行，求出的范围，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为直线与平行，所以，解得或，又当时，与重合，不满足题意，舍去；所以；由时，与分别为，，显然平行；因此“”是“直线与平行”的充要条件；故选C本题主要考查由直线平行求参数，以及充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.4、C【解析】分析：由条件利用两个复数代数形式的除法运算，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．详解：i3∴复数i3故选C点睛：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．5、C【解析】

先确定事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，再利用独立重复试验的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率．【详解】事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，若甲三局赢两局，则第三局必须是甲赢，前面两局甲赢一局，所求概率为，若前两局都是甲赢，所求概率为，因此，甲获胜的概率为，故选C．本题考查独立重复事件的概率，考查概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中等题．6、D【解析】

函数的零点就是方程的根，根据存在零点与方程根的关系，转化为两个函数交点问题，数形结合得到不等式，解得即可．【详解】函数存在零点，等价于方程有解，即有解，令，则，方程等价于与有交点，函数恒过定点（0,0），当时，与图象恒有交点，排除A，B，C选项；又当时，恰好满足时，，此时与图象恒有交点，符合题意；故选：D.本题考查函数的零点与方程根的关系，此类问题通常将零点问题转化成函数交点问题，利用数形结合思想、分类讨论思想，求参数的范围，属于较难题.7、D【解析】

求出切线的斜率即可【详解】由题意切线方程是x+y﹣8＝0，即y＝8﹣x，f'（5）就是切线的斜率，f′（5）＝﹣1，故选：D．本题考查了导数的几何意义，考查了某点处的切线斜率的求法，属于基础题．8、D【解析】

根据对称轴之间的距离，求得周期，再根据周期公式求得；再平移后，根据关于y轴对称可求得的值，进而求得解析式。根据解析式判断各选项是否正确。【详解】因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为所以周期，则所以函数函数的图象向左平移单位，得到的解析式为因为图象关于y轴对称，所以，即，k∈Z因为所以即所以周期，所以A错误对称中心满足，解得，所以B错误对称轴满足，解得，所以C错误单调增区间满足，解得，而在内，所以D正确所以选D本题考查了三角函数的综合应用，周期、平移变化及单调区间的求法，属于基础题。9、C【解析】

对等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义得出，由此可求出、的夹角.【详解】等式两边平方得，即，又，所以，，因此，、夹角为，故选：C.本题考查平面向量夹角的计算，同时也考查平面向量数量积的运算律以及平面向量数量积的定义，考查计算能力，属于中等题.10、D【解析】

由排列组合中的相邻问题与不相邻问题得：不同的排课方法数为，得解．【详解】先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为，故选：D．本题考查了排列组合中的相邻问题与不相邻问题，属中档题．11、C【解析】

由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算当前的值，即可得出结论．【详解】解：由，则.

由，则.

由，则.

由，则输出．

故选：C．本题考查了算法和程序框图的应用问题，也考查了古代数学文化的应用问题，是基础题．12、A【解析】

令，先求出方程的三个根，，，然后分别作出直线，，与函数的图象，得出交点的总数即为所求结果.【详解】令，先解方程.（1）当时，则，得；（2）当时，则，即，解得，.如下图所示：直线，，与函数的交点个数为、、，所以，方程的根的个数为，故选A.本题考查复合函数的零点个数，这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数，考查数形结合思想，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由于与是异面直线，所以需要平移为相交直线才能找到异面直线与所成角，由此连接OP再利用中位线的性质得到异面直线与所成角为,并求出其正切值．【详解】连接，则，即为异面直线与所成的角，又，，，平面，，即，为直角三角形，.本题考查了异面直线所成角的计算，关键是利用三角形中位线的性质使异面直线平移为相交直线．14、【解析】

画出可行域，然后利用目标函数的等值线在可行域中进行平移，根据或含的式子的含义，目标函数取最值得最优解，可得结果.【详解】如图令，则为目标函数的一条等值线将等值线延轴正半轴方向移到到点则点是目标函数取最小值得最优解将等值线延轴负半轴方向移到到点则点是目标函数取最大值得最优解所以所以故答案为：本题考查线性规划，一般步骤：（1）作出可行域；（2）理解或含的式子的含义，利用等值线在可行域中移动找到目标函数取最值得最优解，属基础题.15、【解析】

由离散型随机变量的分布列的性质求出，然后求出，即可求出.【详解】解：由离散型随机变量的分布列的性质得：，解得：，所以，所以.故答案为：.本题考查离散型随机变量方差的求法，是基础题，注意离散型随机变量的分布列的性质的合理运用.16、-.【解析】分析：首先对等式的右边进行复数的除法运算，得到最简形式，设出要求的复数的结果，把设出的结果代入等式，根据复数相等的充要条件写出关于x的方程，解方程即可．详解：原方程化简为,设z=x+yi（x、y∈R），代入上述方程得x2+y2+2xi=1﹣i，∴x2+y2=1且2x=﹣1，解得x=﹣且y=±，∴原方程的解是z=﹣.故答案为﹣.点睛：本题主要考查复数的除法和乘方运算，考查复数相等的充要条件，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）在棱上取一点，使得，连接，，可证明是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理可得结果；（2）以为坐标原点以为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，结合平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.【详解】（1）在棱上取一点，使得，连接，，因为，，所以，所以.又因为，，所以，，所以是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）依题意，以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，所以，.设平面的法向量为，则，即，取，则.又平面，所以平面的一个法向量为，所以，又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18、(1);(2).【解析】分析：⑴化简集合，根据集合的运算法则即可求出结果⑵化简集合，根据得到，即可求得答案详解：由得，即由，得，即（Ⅰ）由已知得C，∴C（Ⅱ）∵，∴又∵，∴有解得所以的取值范围为.点睛：本题是一道基础题，主要考查了集合的运算法则．在语句中，将其转化子集问题，即可求出结果．19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】

试题分析：（Ⅰ）令，求导得单调性，进而得，从而得证；（Ⅱ）记求两次导得在递增，又，进而讨论的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值.试题解析：（Ⅰ）令，由∴在递减，在递增，∴∴即成立．（Ⅱ）记，∴在恒成立，，∵，∴在递增，又，∴①当时，成立，即在递增，则，即成立；②当时，∵在递增，且，∴必存在使得．则时，，即时，与在恒成立矛盾，故舍去．综上，实数的取值范围是．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为.20、（1）证明见解析，；（2）【解析】

（1）将函数解析式重新整理，解得定点，再求导数，根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得切线方程，（2）先解出，再利用导数求函数值域.【详解】（1）因为，所以，所以函数的图像经过一个定点，因为，所以切线的斜率，.所以在点处的切线方程为，即；（2）因为，，所以，故，则，由得或，当变化时，，的变化情况如下表：1200单调减单调增从而在上有最小值，且最小值为，因为，，所以，因为在上单调减，，所以，所以，所以最大值为，所以函数在上的值域为.本题考查导数几何意义以及利用导数求函数值域，考查综合分析求解能力，属中档题.21、（1）4﹣12ln2（2）【解析】

（1）当b＝﹣12时令由得x＝2则可判断出当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，2]时，f（x）单调递增故f（x）在[1，2]的最小值在x＝2时取得；（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点即使在（﹣1，+∞）有两个不等实根即2x2+2x+b＝1在（﹣1，+∞）有两个不等实根这可