2024-2025高一数学下册期中复习题（压轴60题12类题型专练）原卷版

2024-2025学年高一下学期期中复习真题精选（压轴60题12类题型专

练）

【人教A版（2019）］

题型归纳

题型2平面向量基本定理的应用

题型4向量与几何最值（范围）问题

题型6求三角形面积的副靛范围

题型8复数的模的最值（范围）问题

题型10立体几何中的截面问题

题型12立体几何综合

向量线性运算的几何应用（共5小题）

1.（23-24高一下•云南昭通•期中）已知。为△4BC内一点，且满足瓦＜+%适+（4-1）无=6,若△04B的

面积与△04C的面积的比值为:，则4的值为（）

4

3-4

A.D.2

4cI

2.（23-24高一下•江苏南京•期中）如图，在△ABC中，点P是边4B上一点，点Q是边BC的中点，4Q与CP

交于点M,有下列四个说法:

A

甲：AM=2MQ；乙：CM=3MP；

丙：=1：3；丁：2CA+CB=3CP；

若其中有且仅有一个说法是错误的，则该错误的说法为（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

3.（23-24高一下•四川广安•期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同

一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则

被称为欧拉线定理.设点O,GH分别为三角形48c的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（）

A.AH^20MB.GA+~GB+GC=0

C.|明=|国=|国D.m=颍+押

4.（23-24高一下•山西•期中）在四边形力BCD中，BC=2AD,点P是四边形2BCD所在平面上一点，满足

PA+10PB+PC+WPD=6.设s,t分别为四边形28C。与△P4B的面积，贝*=.

5.（23-24高一下•河南周口•期中）如图，在梯形力BCD中，\DA\=2,ACDA=^,CB=^DA,E为4B的中

点，DP=ADC（/l^0）.

⑴若无=河+次，试确定点P在线段DC上的位置;

⑵若|瓦|=3当4为何值时，|丽|最小？

题型2平面向量基本定理的应用（共5小题）。

1.（23-24高一下•安徽宿州•期中）在△口£1中，点。满足丽=薄，点E在射线（不含点⑷上移动,

若族=筋5+〃前厕0+2）2+22的取值范围是（）

A.[4,+8）B.（4,+8）C.（1,+8）D.[1,+8）

2.（23-24高一下•江苏徐州•期中）如图，在△ZSC中，Z-BAC=p前=2而，尸为CD上一点，且满足

4

AP=mAC+^AB,若4c=3,AB=242,则而•丽的值为（）

c

3.（23-24高一下•福建漳州•期中）在aTIBC中，点P满足BP=2PC,过点P的直线与4B、AC所在的直线分

别交于点M、N,AM=AABAN=/z^C（Z>0,/z>0）,则下列说法正确的是（）

A.丽=|屈+次B.4+〃的最小值为孚+1

C.AP=^AM+^AND.加的最小值为9

4.（23-24高一下•山东聊城•期中）如下图，在△力BC中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交直线4B/C

于不同的两点N.设AB=mAMMC=TL4N,则m+几=.

5.（23-24高一下•江西景德镇•期中）已知租>0刀>0,如图，在△ZBC中，点MJV满足前=也彳瓦丽=九

尼,D在线段2C上且丽=4而，点E是40与的交点，AD=3AE.

⑴分别用来表示力。和4E

（2）求爪+2n的最小值

题型3r用向量解决夹角、线段的长度问题（共5小题）

1.（23-24高一下•山东•期中）设H是△4BC的垂心，J.3/M+4HB+5HC=0,则cos乙4HB的值为（）

A—场B.~C_逅V70

*10J6~\A

2.（23-24高一下•福建•期中）在△48C中，点。是边BC的中点，zBXC=120°,/IB=3,4D=孚，贝必。

的值为（）

A.5B.6C.V31D.V33

3.（23-24高一下•浙江•期中）已知无办为非零向量，且满足⑷=2,忖―同=1,则（）

A.a,石夹角的取值范围是B.同的取值范围是[1,3]

C.27的取值范围是[2,4]口.|五+目的取值范围是[3,5]

4.（23-24高一下•广东广州•期中）如图，正方形4BCD的边长为6,E是4B的中点，尸是BC边上靠近点B的

三等分点，4F与DE交于点M,则cosNEMF=.

5.（23-24高一下•湖南常德・期中）如图，正方形力BCD的边长为6,E是4B的中点，F是BC边上靠近点B的三

等分点，4尸与DE交于点M.

⑴求NEMF的余弦值.

（2）若点P自4点逆时针沿正方形的边运动到C点，在这个过程中，是否存在这样的点P,使得EFIMP?若存

在，求出MP的长度，若不存在，请说明理由.

题型43向量与几何最值（范围）问题（共5小题）

1.（23-24高一下•四川泸州•期中）在梯形N3CZ）中，AB||DC,AD1DC,AD^AB=2DC=2,£为BC的

中点，尸为DC上的动点（含端点），则族的取值范围是（）

2.（23-24高一下•北京•期中）如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心。重合，M,N分别在圆周上,

正方形的四条边上运动，贝川殖+而|的取值范围是（）

A.[1,2V2]B.[1,272+1]C.[V2,2V2]D.[V2,2>/2+l]

3.（23-24高一下•广东广州•期中）己知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点（含边界）,且方=乐+4

AFA£R,则下列正确的是（）

A.△PCD的面积为定值B.“使得|无|>|港|

C.〃「。的取值范围是2⑶D.|而|的取值范围是[1,㈣

4.（23-24高一下•上海•期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图

中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形42546a74的边长为10,点P在其边上

运动，则证•备的取值范围是.

5.（23-24高一下•浙江宁波•期中）已知矩形48CD中，|4B|=2,恒。|=1万为4B中点，P为边DC上的动点

（不包括端点）.

⑴求丽•丽的最小值；

（2）设线段4P与DE的交点为G,求正■而的最小值.

题型5平面向量中的新定义问题（共5小题）

1.（23-24高一下•山东聊城•期中）设向量己与方的夹角为仇定义不㊉石=|五sin。—石cosj|,已知同=鱼,

|a+=V5,\b\=1,则:㊉1=（）

A.V3B.苧C.V2D.Y

2.（23・24高一下•江苏镇江•期中）如图，设aE（Ojr）,且仇。方，当4%Oy=a时，定义平面坐标系％。y为a

的斜坐标系，在a的斜坐标系中，任意一点p的斜坐标这样定义：设分应是分别与久轴，y轴正方向相同的单

位向量，若亦=%^+y弓记。尸=（%》），则下列结论中正确的是（）

A.设五二（租,九）石=（s,t）,若则zns+7it=。

B.设五=,贝■引=Vm2+n2

C.设五=（m,n）^b=（s,t）.若五〃后,则就一九s=0

D.设2=（1,2）3=（2,1）,若五与石的夹角为今则a4

3.（23-24高一下•浙江•期中）定义一种向量运算“⑤”：2⑤3=『解位霹*，其中标是任意的两

个非零向量，。是为与茄勺夹角.对于同一平面内的非零向量3给出下列结论，其中不正确的是（）

A.若♦<8）1=0,则同=同

B.若4CR,470,贝⑤丹=（疝）区加

C.（a+b）0c=a<s）c+b0c

D.若尼|=2,贝收0工W同+2

4.（23-24高一下•北京•期中）对于非零向量访完,定义运算“*”：访*云=|访|•|宿sin"其中。为沆，元的夹角.

有两两不共线的三个向量日%总下列结论不一定成立的是.（只需写出序号）

①若3*3=己*工，贝!

②（弓*b）c=a（b*c）

③4*b=（—a）*b

（4）（a+b}*c—a*c+b*c

5.（23-24高一下•云南昆明•期中）设平面内两个非零向量访,五的夹角为仇定义一种运算"③"：m®n=|

m||n|sin6.试求解下列问题:

⑴已知向量就满足五=（2,1）,历|=2/7=4,求2⑤族的值；

（2）①若五=（%i，yi）,fe=（x2,y2）,用坐标孙外如及表示往®b；

②在平面直角坐标系中，已知点力（2,l）,B（—L2）,C（0,4）,求荏③配的值；

（3）已知向量方=（工,3）3=（―,—-二）/6（0,?,求不®9的最小值.

\cosasina/'sincecos"\2/

题型6'I求三角形面积的最值或范围（共5小题）

1.（23-24高一下•山东淄博•期中）在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,6,c,^sin12X-sin2C+sin2B=sin

AsinB,且c=3,则△ABC面积的最大值为（）

A.V3B.平C.乎D.2V3

44

2.（23-24高一下•重庆・期中）在△ABC中，入4BC的角平分线BD交力C于点D,若BD=2,N4BC=全则△ABC

的面积的最小值为（）

A.V3B.2V3C.挛D.挈

3.（23-24高一下•福建福州•期中）在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,下列四个命题中，正

确的有（）

A.当a=5,b=7,A=60。时，满足条件的三角形共有1个

B.若ayiBC是钝角三角形，则tanH-tanC<l

C.若o^tanB=/^tanA,则a=6

D.若4=60。，a=2,则△ABC面积的最大值为g

4.（23-24高一下•广西钦州•期中）在△A8C中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2力一siMB+si/C=sin

AsinC,且△48C的外接圆的半径为2月则△ABC面积的最大值为.

5.（23-24高一下•江苏无锡・期中）从①asin=csinA；②siMa+sin12B3—sin2C—sin?lsin5=0；（3）ccosS—

（2a-b）cosC=0,这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.

在△ABC中，三边a,6,c分别是角A,B,C的对边，若.

（1）求C；

（2）若c=2,求△ABC的面积的最大值.

题型7求三角形边长或周长的最值或范围（共5小题）

1.（23-24高一下•广东茂名•期中）在△4BC中，角4B,C的对边分别为aec,若管+?£=空除⑶岩,

则。+C的取值范围是（）

A.（|,V3）B.[|,V3]C.除闯D.停，同

2.（23-24高一下•湖北武汉•期中）在锐角△ABC中，角4B,C的对边分别为a,仇c,S为△ABC的面积，a=4,

且2S=a2—（6—c）2,则△力的周长的取值范围是（）

A.（8,4V5+4]B.（12,275+2]C.（8,2而+21D.（12,4通+41

3.（23-24高一下•浙江绍兴•期中）已知在锐角△力BC中，内角4B,C所对的边分别为a,6,c,若△ABC的

面积为丝号出，b=l,则（）

4

A.4=3B.边c的取值范围是（辛，鱼）

C.△ABC面积取值范围是Qi）D.△48。周长取值范围是［&+1,2+@

4.（23-24高一下•四川泸州•期中）在锐角△4BC中,角4,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=2,B=

p则△ABC周长的取值范围为.

5.（23-24高一下•广东茂名•期中）设△ABC内角48,C的对边分别为a,b,c,已知6=2K，2a-c=2bcosC.

⑴求角B；

（2）若a+c=4,求△力BC的面积；

（3）求△ABC的周长的取值范围.

题型8复数的模的最值（范围）问题（共5小题）

1.（23-24高一下•河北石家庄•期中）当复数z满足|z-（3+4i）|=1时，则|z|的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

2.（23-24高一下•福建福州•期中）已知复数z满足|z|=2,则|z+3+4i|最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

3.（23-24高一下•安徽芜湖•期中）下列命题正确的是（）

A.若Z1，Z2是复数，则Z1+Z2=万+及

B.若复数z的共轨复数为万，z-z=\z\12345=\z\2

C.虚轴上的点对应的均为纯虚数

D.己知复数z满足|z+3i|=1（i为虚数单位），则|z-l+2i|的最小值是鱼一1

4.（23-24高一下•河北•期中）若复数zi，Z2满足|zi-5-7“=1,匠+i|=忆2-“，则|z「Z2|的最小值为.

5.（23-24高一下•福建三明•期中）已知复数2=。—l+ai（aeR）,i为虚数单位.

（1）若z是纯虚数，求a；

（2）若团=追，求2；

（3）在（1）的条件下，复数w满足|w-z|=l,写出复数W在复平面上对应点的轨迹.

题型9卜几何体与球的切、接问题（共5小题）。|

I.（23-24高一下•福建莆田•期中）一个正四面体的棱长为2,则它的外接球与内切球表面积之比为（）

A.3:1B.V3：lC.9:1D.27:1

2.（23-24高一下•福建厦门•期中）把△。道2。3沿三条中位线折叠成四面体4BCD,其中小。2=24,DrD3

=20,。2。3=16,则四面体2BCD的外接球表面积为（）

A.B.77TlC.154nD.308ir

3.（23・24高一下•广东广州•期中）如图，在直三棱柱ZBC—Zi/Ci中，AAt

=2,AB=BC=l,^ABC=120°,侧面44忑1。的对角线交点O,点E是侧棱8防上的一个动点，下列结论正

确的是（）

A.直三棱柱的侧面积是4+2班

B.直三棱柱的外接球表面积是8TT

C.直三棱柱的内置球的最大表面积为4兀

D.4E+EC1的最小值为2或

4.（23-24高一下•浙江•期中）己知直三棱柱ABC-AiBiCi中，侧棱441=4,AB=BC=3,AC=4,则三

棱柱4BC-力iBiCi的外接球表面积为.

5.（23-24高一下•重庆・期中）如图，在四棱锥P—ABC。中，底面4BCD是平行四边形，与尸分别为比同的

中点，G为线段BD上一点，且BD=4BG.

（1）证明：EG〃平面2CF；

（2）若四棱锥P-4BCD为正四棱锥，且/\4=再8,求四棱锥P—4BCD的外接球与正四棱锥P-4BCD的体积

之比.

题型101立体几何中的截面问题（共5小题）

I.（23-24高一下•福建福州•期中）已知正方体力BCD-a/iCiDi的棱长为2,E,F,G分别是48方方方停1的中

点，则过这三点的截面面积是（）

A.3V2B.6V2C.6V3D.3g

2.（23-24高一下•安徽合肥・期中）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围

成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，

共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知力B=l,则关

于图中的半正多面体，下列说法正确的有（）

A.该半正多面体的体积为平

B.该半正多面体过4B,C三点的截面面积为乎

C.该半正多面体外接球的表面积为8n

D.该半正多面体的表面积为6+2店

3.（23-24高一下•浙江温州•期中）如图所示，在等腰梯形48CD中，已知ADIIBC,AD=AB=^BC=1,将

△沿直线BD翻折成△4BD,则（）

A.翻折过程中存在某个位置，使得4C1BD

1

B.当二面角4—B。—C为150。时，点C到平面4BD的距禺为5

C.直线42与CD所成角的取值范围为4

D.当三棱锥4-BCD的体积最大时，以4c为直径的球被平面48。所截的截面面积为5

4.（23-24高一下•安徽宿州•期中）现有一块如图所示的三棱锥木料，其中N4ZB=NaUC=NBUC=40°,

VA=VB=VC=6,木工师傅打算过点力将木料切成两部分，则截面△AEF周长的最小值为.

5.（23-24高一下•河南•期中）如图，在正方体4BCD-&BiCiDi中，棱长为2,E是线段4公的中点，平面a

过点。1、C、E.

（1）画出平面a截正方体所得的截面，并说明原因；

（2）求（1）中截面多边形的面积；

（3）平面a截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式:

U棱台=却（9+盾+S））

题型11"立体几何中的探索性问题（共5小题）

1.（23-24高一下•浙江温州•期中）设a是给定的平面，M、N是不在a内的任意两点，则下列命题中正确的

是（）

A.在a内一定存在直线与直线MN相交

B.在a内一定存在直线与直线MN异面

C.一定存在过直线MN的平面与a平行

D.存在无数过直线MN的平面与a垂直

2.（23-24高一下•重庆荣昌・期中）如图，正方体4BCD-4中传1。1的棱长为1,动点E在线段力上，F,

M分别是4D,CD的中点，则下列结论中错误的是（）

A.FM//A1C1

B.当E为41cl中点时，BE1FM

C.三棱锥B-CEF的体积为定值

D.存在点£使得平面BEF//平面CCiDi。

3.（23-24高一下•浙江•期中）己知正方体4BCD-41B1C1D1的棱长为2,棱2C的中点分别为E,F,

点G在上底面4道1的。1上（包含边界），则下列结论正确的是（）

A.存在点G,使得平面EFG〃平面

B.不存在点G,使得直线4%〃平面EFG

C.三棱锥G-BEF的体积不变

D.存在点G,使得DG1平面AC小

4.（23-24高一下•北京昌平・期末）在棱长为1的正方体4BCD-中，E,F,G分别为棱人乙，的

。1，CQ的中点，动点H在平面EFG内，且DH=1.给出下列四个结论：

①〃平面EFG；

②点H轨迹的长度为n；

③存在点使得直线DHL平面EFG；

④平面EFG截正方体所得的截面面积为乎.

其中所有正确结论的序号是.

5.（23-24高一下•浙江宁波・期中）如图，已知三棱台ABC-A/iG的体积为磐，平面平面BCG

Bi，△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，且2B=2441=241B1=2BB1.

（1）证明：BC1平面力BBiAi；

⑵求点B到面ACCMi的距离；

（3）在线段CCi上是否存在点F,使得二面角尸-4B-C的大小为也若存在，求出CF的长，若不存在，请说明

理由.

题型12J立体几何综合（共5小题）

1.（23-24高一下•海南省直辖县级单位•期中）如图，棱长为2的正方体力8。£）-4/1的。1中，E为棱。外的

中点，尸为正方形C1CD以内一个动点（包括边界），且BiF〃平面&BE,则下列说法不正确的有（）

A.动点F轨迹的长度为近

1

B.三棱锥比-小EF体积的最小值为石

C.BiF与不可能垂直

D.当三棱锥Bi-DiDF的体积最大时，其外接球的表面积为彳口

2.（23-24高一下•天津北辰•期中）如图所示，正方体4BCD-力iB